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1、数学模型中国海洋大学数学科学学院高存臣本课程为考试课作业（10%）+笔记（10%）+考卷（论文80%）序言一 教学目的1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数学模型等内容,使学生了解数学模型是用数学方法解决实际问题时的数学形式,它是实际问题和数学间的桥梁.2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天,数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚至是不可缺少的.3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析中,数学模型是非常重要的.4.让学生进一步掌握数学的学科特点.5.了解数学的理论体系.6.了解数学之发展概况.7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能力.8.培养学生的科研论文写作能力.二 本课性质作为数学
2、系毕业生,大部分从事初等数学教学的研究,而在大学学习阶段主要学习高等数学(这与初等数学相距甚远),这是为什么?实质:对数学有一个本质的理解(有利于数学的研究)-居高临下.数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争和社会实践服务的.数学在与实践的关系中,不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了解其它学科是有基础性的作用.数学的作用就是解决实际问题.有的就是直接解决实际问题.科学研究是由实验阶段进入理性阶段(以推理为主的),此时,数学的作用就更大了.例:卫星轨道的确定.(历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计算都是由数学系算出来的)现在自然科学方面的论文(物理,化
3、学,自动控制,)没有数学论证,价值就不大.定义:数学模型(Mathematical Model)是对客观世界中的某一特定对象,为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式,图表,图象等)解决实际问题的数学公式解决实际问题的数学公式:三角形中的正弦公式三角形中的正弦公式:余弦公式余弦公式:公式公式,方程方程,曲线曲线,图表图表等等为了解决实际问题为了解决实际问题,找出事物本身的找出事物本身的机理机理机理机理,建立建立数学模型数学模型(简称建模简称建模).).解出数学模型解出数学模型,找到规找到规律律.模型一.万有引力模型 万有引力定律的发现是人
4、类走向科学的一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它为当今的天文学和航天科学奠定了基础.在这个模型中,包括两个部分:.Newton是怎样通过数学方法得到这一定律的;.在比Newton更一般的情况下,用向量分析法推导定律.NewtonNewton推导万有引力的基础推导万有引力的基础.Kepler Kepler三定律三定律.Newton Newton第二定律第二定律.NewtonNewton对对“月球绕地球按圆形轨道运行月球绕地球按圆形轨道运行”进行研进行研究究,第一次提出：第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月球按圆形轨道运行是地球对月球的引力所致月球的引力所致”.”.NewtonNewto
5、n通过计算圆运动的向心加速度通过计算圆运动的向心加速度,又根据又根据NewtonNewton第二定律得到引力公式第二定律得到引力公式.为验证引力公式的为验证引力公式的正确性正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的向心加速度的向心加速度,计算结果二者是相同的计算结果二者是相同的.把这个无法把这个无法通过实验证明的规律从理论上给出了证明通过实验证明的规律从理论上给出了证明.Newton得到的万有引力定律是在特殊情况下得到的,对于一般情况,即椭圆轨道上的定律是否成立,还不能肯定,Newton曾试图研究一般情况,但未成功.今天数学发展了,数学工具也增加了.用向
6、量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表述的.要求学生了解Newton在知道万有引力过程中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他考虑到:月球按圆形轨道运行月球按圆形轨道运行,必有其动力学原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从这一坚定信念出发推得了定律.其次,当时通过实验方法是不能证明定律成立的.Newton通过他的第二定律(加速度定律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心加速度相等的方法,证明定律的正确性.太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分析法都能证出太阳对行星的引力符合万有引
7、力定律.太水金地火木土天海冥九大行星示意图万有引力模型.Newton:1684年在自然哲学发表的.定律:宇宙中任何物体之间,都存在相互作用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作用力方向沿两个物体联线方向.定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.(一)定律的来源探讨:不是通过实验得到的,而是通过数学推导得到的.此公式是Newton于1666年得到的,以后很多科学家都想通过实验证明它,都未成功.1740年.布格,Buger.1712年.马斯科林.Maskilin.1854年.艾里.Anlli.1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.他们的作法:把一个小
8、山作为 ,在山的附近用线垂下一个小球,考察小球的偏摆,然后确定引力系数 ,都未成功.直到1798年(离Newton发现定律130多年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂的试验确定了引力关系和定律的正确性,并确定了引力系数此后此数字相继得到修正.1892年.庞廷.Pantin.1895年.博斯.Boss.1930年.海尔.Hale.上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万有引力定律时,不是通过实验得到的.(二)Newton发明万有引力定律,是从地心引力开始的,是从地球对月球的引力开始的.此前已有的力学,天体力学知识:苹果熟了往地上落.月球按圆形轨道绕地球运行.这些现象都有其动力学原
9、因.按牛顿的惯性定律:苹果应在原位置上始终不落,月球应按直线匀速运动.以上两种现象,违反了惯性定律,其中必有其动力学原因.其中必有一种力作用着.这种力不是以明显的形式表现出.是以看不见的形式作用在苹果和月球上的(以场的形式作用着).这是地球产生的引力.II当时Newton还想到,苹果被引力拉到地面上了,而月球没被拉下来,只影响了它的运行状态,由直线变成曲线.II其原因是距离越大,引力就越小;距离越小,引力就越大.从地球对月球的引力着手研究.II月球沿圆形轨道围绕地球以匀速 运行,地球在圆的中心.II设地球引力为 ,则有 .为月球质量,为向心加速度.圆运动向心加速度 .地球心与月球心距离为 .圆
10、运动的速度为 .设月球运行周期为 ,即经过 的时间,月球运转一个周期,其走过的距离为 .II由 Kepler第三定律知 为椭圆的长半轴.(三)引力公式的验证得到的引力公式是否符合实际,对它的正确性要进行验证.方式:由圆运动推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?Newton在地球对月球的引力中,验证了他的公式.但是他认为必须在更大的范围内验证,以保证他的正确性.他着手研究太阳对于行星的引力来验证公式.由于行星轨道都是椭圆(长短轴相差较大),他用圆代替椭圆,把太阳放在焦点上.由于无法应用Kepler三定律,结果失败.今天,我们应用向量分析法很容易证出.今天我们在太阳系中,推
11、出太阳和各行星的引力(把地球对月球的引力推广到太阳系中成为万有引力).(五)万有引力定律的意义对于人类了解自然和指导人们实践,意义如何?有的人会认为:对于计算地球上两物体间的引力似乎意义不大,确实如此.但对于天体的研究,意义就十分大了.1.在太阳系中应用万有引力定律.经过计算,发现了新的行星-海王星.海王星的发现:1781年Herschel通过天文观测发现了天王星(体积是地球的100倍),天文学家观察这颗行星的运行轨道时,发现它不是椭圆.某些地方发现异常.对此现象的解释:一些人认为在太阳系的边界上,万有引力定律可能不成立,才出现此状态.但也有些天文学家从万有引力定律出发来分析这种现象,认为产生
12、这种现象的原因是天王星轨道附近存在一颗现在还看不见的星体,是它对天王星摄动的结果法国天文学家Leverrier就持有这种观点,根据万有引力定律研究天王星的异常.通过计算确定了那颗看不见的行星的位置,质量及其运行轨道.(采用微分方程的数值解法)Leverrier把自己的计算结果和算法告诉了柏林天文台.不长时间后,在1846.9.23,通过天文学家的搜索,就在Leverrier指定的空域上找到了这颗行星,其质量和运行轨道和Leverrier所得的结论完全相同.此行星称为海王星,居太阳第八颗行星.(水金地火木土天海冥)人们称海王星是算出来的.”笔尖上的行星”冥王星的发现Lowell及Pikering二人对海王星进行观测,也发现了天王星出现的状态,海王星也有摄动现象.于1930年在天文学家预测的空域中发现了冥王星(第九行星).2.宇宙航行宇宙时代.宇宙航行的力学基础就是Newton的万有引力定律.人造地球卫星土星卫星问题1能否由万有引力定律寻找太阳的行星？