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1、 MATLAB与差分方程与差分方程西南交通大学数学建模西南交通大学数学建模差分方程差分方程 离散时段上描述变化过程的数学模型离散时段上描述变化过程的数学模型 一年期存款一年期存款年利率年利率为为r，存入，存入M，记记第第k年本息年本息为为xkn年后本息年后本息为为 污水处理厂每天将污水浓度降低比例污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第记第k天的天的污水浓度为污水浓度为ck,离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的 天后污水浓度降低一半天后污水浓度降低一半 1.一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程2.高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差
2、分方程3.线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组 建立离散动态过程的数学模型建立离散动态过程的数学模型;用用MATLAB计算数值解计算数值解;作理论分析作理论分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性).差分方程差分方程例例1 濒危物种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演的自然演变变 和人工孵化和人工孵化 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程 在较好自然环境下，年平均增长率为在较好自然环境下，年平均增长率为1.94%在中等自然环境下，年平均增长率为在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%在较差自然环境下，年平均增长率为在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自
3、然保护区内开始有如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.生态学生态学家估计家估计 如果每年人工孵化如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?模型及其求解模型及其求解 例例1 濒危物种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演的自然演变变 和人工孵化和人工孵化 记记第第k年沙丘年沙丘鹤鹤的数量的数量为为xk，自然自然环环境下年平均增境下年平均增长长率率为为r设每年人工孵化的数量为设每年人工孵化的数量为b，结果分析结果分析
4、 例例 濒危物种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演变的自然演变 和人工孵化和人工孵化 时间充分长后时间充分长后(k)沙丘鹤数量的变化趋势沙丘鹤数量的变化趋势 a1(r0)时时xk,a1(r0)时时xk0在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。人工孵化条件下人工孵化条件下 a1(r0)时时xkx=b/(1-a)x=5/0.0324=154.32 自然环境下自然环境下 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的一般形式差分方程的一般形式 差分方程的平衡点差分方程的平衡点 代数方程代数方程 x=
5、ax+b 的根的根 x=b/(1-a)差分方程的解差分方程的解c=x0-b/(1-a)由初始由初始值值x0 和和a、b确定确定 若若k时时xkx,平衡点平衡点x稳稳定定,否否则则平衡点平衡点x不不稳稳定定 平衡点平衡点稳稳定的充要条件是定的充要条件是 a 1 高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 1,2,n c1,c n由初始由初始值值x1,x n确定确定 特征方程特征方程 特征根特征根 平衡点平衡点差分方程的解差分方程的解 平衡点稳定的条件平衡点稳定的条件:所有特征根的模小于所有特征根的模小于1 高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 例例
6、一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐没有腐烂烂、风风干、被人干、被人为为掠去的那些种子可以活掠去的那些种子可以活过过冬冬天，其中的一部分能在第二年春季天，其中的一部分能在第二年春季发发芽，然后开花、芽，然后开花、产产种，其中的另一部分种，其中的另一部分虽虽未能未能发发芽，但如又能活芽，但如又能活过过一一个冬天，个冬天，则则其中一部分可在第三年春季其中一部分可在第三年春季发发芽，然后开芽，然后开花、花、产产种，如此种，如此继续继续。一年生植物只能活一年，且近似地一年生植物只能活一年，且近似地认为认为，种子最，种子
7、最多可以活多可以活过过两个冬天两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律，建立数学模型研究植物数量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件及它能够一直繁殖下去的条件.模型及其求解模型及其求解 例例 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 设一棵植物平均产种数为设一棵植物平均产种数为c,种子能够活过冬天种子能够活过冬天的比例为的比例为b,活过冬天的那些种子在来年春季发芽的活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为比例仍为b,在下一年春季发芽的比例为在下一年春季发芽的比例为a2。xk第第k年的植物数量年的植物数量设设
8、今年种下今年种下(并成活并成活)的数量的数量为为x0 记 p=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bc 寻找形如寻找形如xk=k的解的解 设设c=10，a1，a2，b，x0=100 模型及其求解模型及其求解 例例 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 特征方程特征方程 特征根特征根 差分方程差分方程 常数常数c1,c2由由x0,x1确定确定 差分方程的解差分方程的解 1,2 1时时xk(k)植物能够一直繁殖下去的条件为植物能够一直繁殖下去的条件为b0.191 线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组 例例 汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营 汽车租赁公司在汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个
9、个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.在在A市租市租赁赁在在A,B,C市市归还归还的比例分的比例分别为别为在在B市租赁在市租赁在A,B,C市归还的比例分别为市归还的比例分别为在在C市租赁在市租赁在A,B,C市归还的比例分别为市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6 公司开公司开业时业时将将600辆辆汽汽车车平均分配到平均分配到3个城市，个城市，建立运建立运营营中汽中汽车车数量在数量在3个城市个城市间转间转移的模型，移的模型，讨论时间讨论时间充分充分长长以后的以后的变变化化趋势趋势.例例 汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营 模型及其求
10、解模型及其求解 0.10.20.10.10.30.30.70.60.6ABCx1(k),x2(k),x3(k)第第k个租个租赁赁期末公司在期末公司在A,B,C市的汽市的汽车车数量数量x(k)=x1(k),x2(k),x3(k)T k012345678910 x1(k)200 180 176 176 178 179 179 180 180 180 180 x2(k)200 260 284 294 297 299 300 300 300 300 300 x3(k)200 160 140 130 125 123 121 121 120 120 120开始时开始时600辆汽车平均分配到辆汽车平均分配到
11、3个城市个城市 开始时开始时600辆汽车全分配给辆汽车全分配给A市市 k012345678910 x1(k)600 360 258 214 195 187 183 181 181 180 180 x2(k)0180 252 281 292 297 299 300 300 300 300 x3(k)06090105 113 116 118 119 120 120 120例例 汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营 模型及其求解模型及其求解 时间时间充分充分长长后后3个城市的汽个城市的汽车车数量数量趋趋向向稳稳定，定，稳稳定定值值与初始分配无关与初始分配无关 例例 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种
12、群增长 动物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡动物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少和人为屠杀而减少;不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别;将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间离散化为时段时间离散化为时段;在稳定环境下假定各年龄组种群的繁殖率和在稳定环境下假定各年龄组种群的繁殖率和死亡率与时段无关死亡率与时段无关;建立按年龄分组的种群增长模型建立按年龄分组的种群增长模型;预测未来各年龄组的种群数量预测未来各年龄组的种群数量;讨论时间充分长以后的变化趋势讨论时间充分长以后的变化趋势.种群按年龄大小
13、等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的繁殖率为时段内的繁殖率为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率为存活率为si=1-dixi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量(设至少设至少1个个bi0)例例 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 模型及其求解模型及其求解 例例 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)模型及其求解模型及其求解 归一化归一化:例例 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 模型及其求解模型及其求解 设一种群分成设一种群分成 n=5个年龄组个年龄组,繁殖率繁殖率 b1b5=0,0.2,1.8,0.8,0.2,存活率存活率s1s4=0.5,0.8,0.8,0.1,各年各年龄组现龄组现有数量均有数量均为为100 x1(k)x5(k)的图的图形形（自上而下（自上而下)的图形的图形（自上而下（自上而下)