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1、一维势垒散射 7.1.1分波包的自相关7.1波包的反射和透射系数公式波包的反射和透射系数公式考虑不对称的一维势，这给出了哈密顿量和势能函数图7.1是波包分开的过程。A表示波包从左边入射，在这里定义t趋向于负无穷时刻入射，这使得入射波包只含有动量大于零的成分。为了方便，书上把入射方向的称为反应物，把出射方向的成为生成物。在图7.1中，波包的平均能量要小于势垒能量的最大值。在经典力学中，入射粒子将会被完全反射，而在量子中，波包将会分开，一部分被反射，一部分被透射。b图是碰撞过程，碰撞之后波包分开，如图c所示。在这里我们定义碰撞之前即t=0时刻，入射波包接近势垒但只含有动量大于零的平面波成分。t=T
2、时刻，波包完全被分开，定义在生成物这边的几率波幅为 ，在生成物这边的为 ，得到下面这几幅是波包在动量表示中的图，和坐标表示一一对应。同理可得到7.5式中的交叉项消失，我们可以定性的理解为这些函数在坐标和动量空间处于不同的区域，它们没有重叠项。我们把归一化的条件运用到7.2式，得到通过分离透射和反射波包，构造它们各自的自相关函数，傅立叶变换，得到反射和透射波包的光谱设在上述推导中，第一步和最后一步用到了自相关函数的性质习题习题6.25 同样，这里的交叉项 。也就说即使 随时间向后扩散，它也不可能与 有重叠项。在出射时刻两个波包正交，不管以后波包怎样随时间演化，两个波包还是正交，同理，若入射时刻两
3、个波包正交，则它们的正交性不变。对7.7式两边进行傅立叶变换上式两边同时除以 ，得到这时，定义反射系数 和透射系数7.9式也说明粒子要么反射要么透射，只有这两种情况a为入射波包，反射波包和透射波包的自相关函数b为三个波包的光谱图7.1.2分波包在平面波上的投影 我们继续讨论波包分开的过程，根据波包在平面波上的投影给出反射和透射系数的另一种表达式。要做这个计算首先用到能量归一平面波。可以根据动量归一平面波得到能量归一平面波。现在我们从平面波的动量归一定义开始。动量归一化与能量归一化平面波动量归一化与能量归一化平面波 既然有了自由粒子薛定谔方程，我们可以得出它们的解方程的解已由表格7.1给出，满足
4、归一化条件利用 函数的性质事实上，我们所说的动量归一化，是用k代替了p。为了得到光谱项的表达式，应该用能量表示类似的，我们也可以得到势垒右边的能量归一化波函数。为了确定完整性，在能量归一化波函数中，我们需要考虑处于能量E时，有两个动量+k三个光谱的投影三个光谱的投影首先考虑入射波包的光谱公式 为入射波包，是入射波包的能量光谱。这个式子中最重要的点是用 代替 。我们知道在散射过程中入射波包的自相关函数在有限的时间内一定会衰退为零，尽管有一些特例，比如共振，衰退时间会延长，但在散射过程中也是有限的。对于时间零点时刻的转换自相关函数不变。我们可以选取时间为负无穷远为时刻零点，这样在波包到达相互作用势
5、之前入射波包的相关函数已衰退为零。借助这种时间变换，在反应物区域相关函数就已经完全被确定，因此在传播中可以用 代替 。应该指出对于入射波包，态 是完备的，得到，这里，用到了7.14式，而且入射波包在 态上没有投影。现在考虑反射波包的能级光谱。它的导出与入射波包的能级光谱相似，我们也用 代替 ，这时候取T为波包分开后足够长时间的时刻。最后考虑透射波包的能级光谱反射和透射系数反射和透射系数 现在，计算反射和透射系数。将上述得到的入射光谱，反射和透射光谱代入到反射和透射系数公式，得到7.25中，反射系数和透射系数是渐进波包 和 在能量归一化的自由粒子本征态的投影，由入射波包 ，处于能量E的波函数进行
6、归一化。根据在k归一本征态的投影比率，7.25式可表示成 上述公式用到了7.13式和 等。这些表达式给出了反射系数和透射系数的关系，以及 和 的关系，其中 是波包 和 在动量空间的表示，可由傅立叶变换得到。在透射系数公式中出现了因子 ，我们也可以从物理的角度来理解，在能量E时，相应的态密度为 和利用这个关系，7.26式也可表示成，7.2势垒散射的交叉相关函数公式和势垒散射的交叉相关函数公式和S-矩阵矩阵7.2.1波包的相关矩阵在上述过程，我们从入射波包的扩散得出反射和透射系数。如果入射波包从相反方向入射，那透射系数和反射系数还满足上述的简单关系吗？答案是肯定的。从两个方向入射时，透射系数仍相等
7、，并且 也同样成立。所以反射系数公式也相等（对于在渐进区域能量处于一定的范围内的波包是成立的）为了推导出这个结果，在散射过程中可以引入更为对称的方法。我们定四个基本波包 和 ，其中 表示势垒左边的区域，表示势垒右边的区域，角标+表示t小于零时刻波包的入射，角标-表示t大于零时刻波包从势垒的出射。因此，这四个基本波包分别表示从左边入射到左区域，出射到左区域，从右边入射入射到有区域和出射到右区域的波包，如图7.47.28式说明入射波包和出射波包是归一化的。7.29式说明两个入射波包正交，两个出射波包正交。严格的证明在后面会讲到。现在，我们可以通过图7.5进行简单的解释。图7.5是一维势的等电位能量
8、轮廓的相空间图。在维格纳表象中，图中的轮廓为四个基本波包的相空间等振幅曲线。在t 趋近于负无穷时，两入射波包不仅在坐标空间中相距无限远，而且动量符号相反，所以没有重叠项。类似的，在t趋向于正无穷时，两个出射波包不仅在坐标空间被分开，动量方向也相反，即两出射波包也没有重叠项。这也就说明了7.29式。但是，从图上看入射波包与出射波包存在重叠项。我们可以定义一个2 2 的相关函数矩阵。注意，这个相关矩阵是对称的7.34是时间反演对称的表达式：从 到 的变换等于从 到 的变换。7.2.2 S-矩阵矩阵假定，我们只考虑在特定能量E时从 的跃迁振幅。这种振幅跃迁应该由从 入射的波包与从 出射的波包的交叉项
9、 确定。因为反应物波包和生成物波包能量取值有一定的范围，当我们计算某一时刻的交叉项时,是对所有的能量取平均。但是当前考虑的是在特定能量时振幅的跃迁，因此我们希望从时间到能量的傅立叶变换，只存在对应振幅变换时的特定能量。现在引入S矩阵，S-矩阵是衡量在能量E时，从 的跃迁振幅。我们可以认为它的矩阵元是由交叉相关函数矩阵的傅立叶变换得到的。波包傅立叶变换波包傅立叶变换:散射本征态散射本征态在求S-矩阵之前，我们需要了解一下散射本征态。在7.3.1节会详细讨论散射本征态。散射本征态是含时薛定谔方程的解 。可以先看一下书上图7.7，给出了基本散射本征态的示意图。在第六章，从一个波包到本征态的转变利用的
10、是光谱的方法。在一维势垒散射中对于每一个E都存在本征态。波包的边界条件决定了本征态的的边界条件，它们是相互对应的，由左边入射的波包，在能量为E时的傅里叶变换得到相应的本征态相应的，本征态 是完备的，可以对 展开 为 在 的展开式中的系数。把7.37代入7.36，得到 类似的，我们也可得到S-矩阵元为散射本征态的交叉项矩阵元为散射本征态的交叉项S-矩阵元由+本征态和-本征态的重叠项积分决定。例如类似的，我们可以定义 和 。一般情况下，由于散射本征态是发散的而非归一化的，所以两个散射态的交叉项也是发散的。于是，上式出现了 因子。这时，可以定义发散的交叉项积分的系数是有限的，这就是S-矩阵元。通过代
11、换和积分，得到该式与7.42比较，得到从7.45可以看出S-矩阵的矩阵元是相关函数矩阵中相应的矩阵元的傅立叶变换。现在，得到S-矩阵其中，反射与透射系数反射与透射系数S-矩阵中的矩阵元与反射和透射系数相关，得到从左边入射的波包的反射与透射系数为从右边入射的波包的反射和透射系数由7.31式 ，知道 与 相等，即从左边入射波包的透射系数与从右边的透射系数相等，又因为透射系数反射系数和仍为1，所以从左边入射波包的反射系数与从右边入射波包的反射系数相等。但应注意，一般 ，只是它们绝对值的平方相等。图7.6给出了交叉相关项，它们的傅立叶变换项，以及反射和透射系数图形7.3用本征态表示的散射理论用本征态表
12、示的散射理论7.3.1散射本征态的渐进行为现在我们回到散射哈密顿量的本征态，它满足如图7.7，在I区域，V=0,这时本征态的行为类似于 ，E=;在III区域，V=V0，本征态的行为类似于 ，这时 。既然本征态都由同一个能量E表征，所以在区域II势能发生改变，本征态没有简单的形式；它们由含时薛定谔方程和在该处的 与 的边界条件确定。由7.7，我们可以得到散射的本征态，复共轭的作用效果就是 和 。既然k决定了动量，改变符号就相当于时间反演。态可以这样解释，在t小于零时刻的反射和透射波形成了t大于零时刻的出射波，它继续向势垒左边运动，这也就是 的时间反演过程。在量子力学中取复共轭就等于时间反演因为本
13、征态是简并的，可以选取两个本征态的任意线性组合，在E处仍为含时薛定谔的解。和 的复共轭就是 和这样，我们就得到四个基本散射本征态，如图表格7.27.3.2动量与能量的归一化本征态这四个基本散射态与平面波一一对应，其中平面波为表格7.1对应关系如下：观察图7.7，这种对应关系可以这样理解：标有 的散射态与 的含时薛定谔的解相联系，标有 的散射态与 的含时薛定谔的解相联系。在 区域散射态上标的+表示向左运动或向右运动的自由粒子的解 ；在 区域表示向右运动或向左运动的自由粒子的解 。与平面波的动量归一化条件一样，散射态本征态类似于平面波的归一化公式，因此，上式也称为动量归一散射本征态。散射本征函数也
14、满足类似于平面波的正交性定理，在7.1.2节，我们讨论了平面波的能量归一化，可以类比得到能量归一化的散射本征态 与 满足归一化条件7.3.3反射和透射系数:通量守恒法在这一节，我们将会给出在散射态中振幅r与t的关系，以及反射与透射系数，首先考虑，在一个稳态中入射粒子的反射与透射流。在每处的流都相等，否则，流入的不等于流出的，在某处就会有累积，这与稳态的假设相矛盾。一般的，流 ，v是粒子的速度，是粒子流的密度。在量子力学中，几率流密度公式为现在证明 ，就是指在坐标空间每点处本征态的流都相等其中，我们用到了下面的公式，利用 使势垒左右两边的流相等。为了表达清晰，反射与透射振幅可以用 和 表示。因此
15、，对于从左边入射的波，用 和 表示，从右边入射的波，用 和 表示。流对应流密度为 。在左边 ，因此在右边由上述两式，得到其中，我们定义了反射和透射系数同样，对于从左边入射波可以得到类似的表达式其中，定义了接下来，计算与 对应的流，得到最后，计算与 对应的流，得到得到与广义密度对应的反射与透射振幅的关系，以及交叉积分，如下表格7.3由7.74，7.70与7.72式，得到由7.75，7.69与7.71式，也可得到7.75式说明从左边入射的粒子被散射和透射的概率等于从右边入射的。7.73和7.74是包含7.75与7.76所没有的信息。7.74式表示，从两边入射的波的透射振幅的相位相等。类似的，7.7
16、3式表示，从左边入射和从右边入射的粒子的反射振幅的相位的关系，尽管它与透射振幅的相位有关。7.4散射本征态的重叠积分 在7.3.2，我们讨论了散射本征态之间的归一化和正交性关系。本节由这些归一化和正交性导出 和 之间更普遍的关系式。这些关系一一对应于由通量守恒得到的关系式。它们之间的可以从归一化和正交性条件推导出，不需要利用通量守恒。我们的方法是计算散射本征态之间的重叠积分，利用各自归一和正交性条件进行比较。计算这种重叠积分需要一定的数学技巧，尤其是，如何结合平面波以获得 函数。7.4.1 和 之间的关系首先，计算入射波包本征态的归一化。根据7.57式，上式等于 。我们可以根据这些积分是旋转还
17、是反向旋转，同类的放在一起。在K=K时，只有旋转项需要考虑。在这里需要用的公式 和 。利用这些公式和K=K时的归一化条件，旋转项可以写作，注意在7.79式的积分中0积分限可由有限数值代替。我们可以取第一项的积分范围为 ，第二项的积分范围 ，这两个数值定义了散射区域的边界。7.80式仅仅依靠于散射区域的渐进系数，因此对于任何形式的散射势都成立。在本节中，为了简单，我们将继续将积分用0取代 和 。7.80式也可以由 相似分析得到。接下来，需要考虑的是 ，与前面的分析类似，我们也可以得到旋转项7.82是也可从 的分析得到。类似的，可以得到 交叉项的旋转项，7.84式也可以由 得到。最后，考虑 ，得到
18、旋转项，由这些散射本征态的归一化和正交关系，我们得出来振幅和 之间的关系，如表格7.3所示，与用通量方法导出的关系一一对应。7.4.2S-矩阵现在考虑由左边入射和从右边出射的散射本征态的交叉项积分，。当 时，在每一能量处，定态薛定谔方程有两个本征态。可以用不同的方法来表示这个二维的希尔伯特空间，例如，用正交态 或 。第一种方式是根据粒子的由来对希尔伯特空间进行分割，就是指时间趋向于负无穷粒子在左边还是在右边。第二种方式是指时间趋向于正无穷时粒子在左边还是在右边 代表了一个粒子在时间趋向于负无穷从左边开始，在时间趋向于正无穷在右边结束的几率振幅，它与入射粒子的势能与能量有关。类似的，可以定义 ，
19、这样就得到了S-矩阵的矩阵元。在这里，定义小写s为K表象中 -函数的系数，得到，7.79式的第一个式子可由7.86式推得。为了把小写s变换为大写S，存在两个必须步骤。首先，在交叉项的每个本征态必须乘以适当的转换因子，使从k表象转为E表象，即散射本征态 和 乘以 ，和 乘以 。第二步，利用和 ，得到这样，就得到了S-矩阵，7.86式 也说明了，因此，S-矩阵是对称的从7.80式 和7.82式 得到，最后，由7.84式 得到从上面也可得出，S-矩阵是酉矩阵7.5用散射本征态重组波包既然得到了散射本征态的形式，现在反过来考虑由散射本征态叠加重组波包。随之而来的问题，如何用未归一的散射本征态叠加来描述
20、波包的运动，碰撞和最终的反射和透射。在这一节，我们考虑简单形式的散射势，研究不同渐进势对散射和透射波包的影响。现在考虑不同能量散射本征态的叠加，因此得到 的叠加 是峰值在k=k0时，平滑的包络函数。把 表达式代入上式，为了方便简明，我们采用未归一的散射本征态，将它的归一化系数吸收到 。根据波包图，在t趋向于负无穷时，波包在势垒左边（即只含有 ），在t趋向于正无穷时，只对势垒左边的波包有贡献，只对势垒右边的波包有贡献。这样，可以考虑将7.96式的两项积分分开，第一项为入射波包，第二项为反射波包对右边式子的第一项进行进行稳定相位分析，得到同样，从第二项可以得到 。因此，当t趋向于负无穷时，右边式子
21、的第一项确实在势垒的左边，因此第二项作为I区域的解是不适用的。所以，在时间趋向于负无穷时只有第一项对积分有贡献。在t趋向于正无穷时，第一项在势垒的左边，该解对于I区域不存在，而第二项在势垒左边，对应于反射波包。类似的，可以得到势垒右边的透射波包，：注意，在I区域时积分变量为k,而在III区域平面波用波矢量表示，我们可以把 看成k的函数，两者之间的函数关系由7.51式确定现在把函数 在k=k0处泰勒展开，透射波包可以被表示成，由稳定相位分析，此函数的以 中心，其中因此，透射波包的扩散速度可由经典力学预测。在t趋向于负无穷时，函数主要在势垒的左边，这个解是无效的，在t趋向于正无穷时，函数在势垒的右
22、边，对积分有贡献。因此，由稳定相位分析法得到了波包图：在t趋向于负无穷时，粒子从左边撞击，t趋向于正无穷时，波包被散射和透射。比较透射波包和入射波包的表达式，得到，7.105式有一个明显的关系，透射波包是入射波包的近似复制，透射波包的宽度相对于入射波包为 ,相应的速度为 。类似的，反射波包与入射波包之间满足下列关系式，反射波包类似于入射波包的镜像，运动方向相反，强度随因子 减小。7.6共振与时间延迟在散射理论中，最显著的影响之一就是共振相位移动或者反射透射系数突变。从含时的角度来看，部分波包立即被反射和透射，然而，满足束缚态能量的波包到达反应物和生成物的渐进区域之前，在相互作用势运动的时间不可
23、忽略。现在，我们看一下在准束缚态的能量附近散射本征态的相位如何发生突变。势能函数如图7.8所示。在x=0处，波函数为零，则波函数的形式如下其中，A为振幅因子，为相位的移动，它们都是k的函数现在，我们仍把波函数写成如下的形式首先，根据复数指数形式，将7.108重新改写为下一步，用 将上式分成两部分，得到类比于7.52式，我们可以定义 ，也就表明无限深势垒没有透射最后，构建波包正如上述讨论的，积分式中的两项对应于入射波包和反射波包，并且满足稳定相位条件。对于入射波包，由稳定相位法可得，定义 ，也就说明波包中心以经典粒子的速度向右运动。同样，对于反射波包，得到 对于经典粒子，在x=-b处被反射，位置
24、由 给出。这里我们可以得到其中，如果未发生共振，则 。发生共振时，很大，则延迟时间会很大。总结在本章，我们讨论了一维势垒散射。在经典力学中，一维势垒散射很容易理解：入射波包与势垒发生碰撞，然后分为两部分透射波包和反射波包。波包的分开过程是散射理论的核心过程。在本章介绍了几种计算反射和透射系数公式的方法。第一种方法是利用自相关函数，即入射波包分开之后反射和透射波包的自相关函数。再由这些自相关函数的傅立叶变换，以及入射波包的自相关函数，得到反射和透射系数。第二种方法，我们定义了四个基础波包从左边入射的波包，从左边入射的波包，从右边入射的波包，从右边出射的波包。我们可以根据四个波包自相关函数的傅立叶
25、变换得到散射矩阵或者说是S-矩阵，从中可以得到S-矩阵中的矩阵元与反射透射系数的关系。对应于四个波包的是四个基础本征态。第三种方法，是利用散射本征态的交叉项积分得到S-矩阵。这种方法容易理解，但需要一定的数学技巧，因为散射本征态是未规一化的。不过，利用交叉项积分可以得到散射本征态的正交性和归一性关系式。最后，我们利用散射本征态重塑波包，说明了如何用散射本征态的叠加来理解波包的分开行为。在本章最后一节，简单介绍了共振与时间延迟。由于相位突变或者反射和透射系数发生变化，导致发生共振，即波包在到达渐进区域时，波包在势垒的运动时间不可忽略，从而也就产生了时间延迟。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢