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1、平面与平面的关系 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望复习回顾复习回顾1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.2.在立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？直线直线a a、b b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经
2、过空间任意一点O,O,分别引直线分别引直线a a/a,b/b,/a,b/b,我们把相交直线我们把相交直线a a 和和 b b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫（或直角）叫做做异面直线所成的角异面直线所成的角。3.3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫叫做这条做这条直线和这个平面所成的角直线和这个平面所成的角。思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的什么共同的特征特征？它们的共同特征都是将三
3、维空间的角转化为二维空间它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角的角,即即平面角平面角。拦拦洪洪坝坝水平面水平面 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成两个部分，其中的分成两个部分，其中的每一部分都叫做每一部分都叫做半平面半平面。一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两个部分分成两个部分，其中的每其中的每一部分都叫做一部分都叫做射线射线。OBA 从一条从一条直线直线出发的两个出发的两个半平面半平面所组成的图形叫做所组成的图形叫做二面角二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的
4、面。平面角由平面角由射线射线-点点-射线射线构成。构成。二面角由二面角由半平面半平面-线线-半平面半平面构成。构成。lABPQ二面角的表示二面角的表示 l二面角二面角 l 二面角二面角CAB D二面角的画法二面角的画法CEFDAB第一种是卧式法，也称为平卧式第一种是卧式法，也称为平卧式第二种是立式法，也称为直立式第二种是立式法，也称为直立式ABCD 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为上任意一点为端点，在端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于于棱的两条射线，这两条射线所成棱的两条射线，这两条射线所成的的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直
5、角的二面角叫做直二面角.二面角的度量二面角的度量 l二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上点在棱上2.线在面内线在面内3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围:例例1:如图所示如图所示:在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中:(1)(1)求二面角求二面角D D1 1-AB-D-AB-D的大小的大小;(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-AB-D-AB-D的大小的大小.解解(1)在正方体在正方体ABCD-A1 1B1 1C1 1D1中中,AB平面平面AD1,所以所以ABAD1,ABAD,所以所以D1AD即
6、为二面角即为二面角D1-AB-D 的平面角的平面角.在在RtD1AD中，中，D1AD45.所以二面角所以二面角 D1-AB-D的大小为的大小为45.(2)同理，同理，A1AD为二面角为二面角A1-AB-D 的平面角的平面角，A1-AB-D的大小为的大小为901111数学运用数学运用 AOD已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD得得 AD lAO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离，AD为
7、为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO=ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在Rt ADO中，中，AOADlAO AOl,OD ll平面平面AOD二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“求求”平面与平面垂直平面与平面垂直 一般地，如果两个平面所成的二面角是一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这直二面角，我们就说这两个平面垂直两个平面垂直记作记作:l合作探究
8、：合作探究：为什么教室的门为什么教室的门转到任何位置时，门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂所在平面都与地面垂直？直？l如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直条垂线，那么这两个平面垂直平面与平面垂直判定定理平面与平面垂直判定定理符号语言：符号语言：建构数学建构数学 l图形语言：图形语言：例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求证求证:平面平面A1C1CA平面平面B1D1DB.AA1BD BD平面平面A1C1CA平面平面A1C1CA平面平面B1D1DB数学运用数学运用CA1C1D1B1DAB证：证：AA1平面平面ABCD BD
9、平面平面ABCDACBDBD平面平面B1D1DB思考思考:如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线是否那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面一定垂直于另一个平面?合作探究：合作探究：如果两个平面垂直，那么一个平面内如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？的直线是否一定垂直于另一个平面？要使一个平面内的一条直线垂直于另要使一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，须满足什么条件？一个平面，须满足什么条件？l AB 如果两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面于它们交线的直线垂直于另一个平
10、面.已知：已知：，=l，AB ，AB l，B为垂足。为垂足。求证：求证：AB 。分析分析:因为因为ABl，所以要，所以要证证AB，只需在，只需在 内找一内找一条与条与l相交的直相交的直线垂直于垂直于AB。平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理C bP例例.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内一个平面内已知：已知：，P ，P P a，a 求证：求证：a .数学运用数学运用l bPl bP已知：已知：，P ，P P a，a 求证：求证：a .数学运用数
11、学运用a bPall证：设证：设 =l过点过点P在平面在平面 内作直线内作直线bl，根据平面与平面垂直的性质定理，知根据平面与平面垂直的性质定理，知b 因为经过一点有且只有一条直线与平面因为经过一点有且只有一条直线与平面 垂直垂直，所以直线所以直线a与直线与直线b重合，即重合，即a 。练习：练习：1.判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确,并说明理由并说明理由.（）若（）若 g g，g g，则，则 .()（）若（）若 ，g g，则，则 g g.()（）若（）若 1 1，1，则，则 1 1 1.()2.如图，如图，l,AB,AB l，BC，DE，BCDE.求证：求证：AC DE课堂练习课堂练习 lABDCEABCDA1B1C1D1练习练习3:3:在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求证：求证：课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结一、二面角的定义一、二面角的定义二、二面角的表示方法二、二面角的表示方法三、三、二面角的平面角二面角的平面角四、二面角的平面角的作法四、二面角的平面角的作法五、平面与平面垂直的判定定理五、平面与平面垂直的判定定理六、平面与平面垂直的性质定理六、平面与平面垂直的性质定理作业学案学案