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1、因式分解与平方差公式 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望a -b=(a+b)(a-b)因式分解因式分解整式乘法整式乘法平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b两个数的两个数的平方差平方差，等于这两个数的等于这两个数的和和与这两个数的与这两个数的差差的的积积整式乘法与因整式乘法与因式分解是互逆式分解是互逆的的过程程1.把下列各式写成完全平方的形式：把下列各式写成完全平方的形式：如：如：36x2y4=(6xy2)2(1)121a 2=_,(2
2、)49a4=_;(2)(3)0.04a6b2=_,(4)0.16(ab)2=_;(3)(5)=_,(6)=_.(11a)2(7a2)2(0.2a3 b)20.4(a-b)2八年级 数学第十五章 因式分解把下列各式分解因式把下列各式分解因式平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)(2)m -9(3)x-4y=（x+1)(x-1)=（m+3)(m-3)=（x+2y)(x-2y)八年级 数学第十五章 因式分解(1)x-1=x -12=m -32=x-(2y)2a2 b2=(a+b)(a-b)1.具备什么特征的多项式是平方差式具备什么特征的多项式是平
3、方差式?答答：一一个个多多项项式式如如果果是是由由两两项项组组成成，两两部部分分是是两两个个式式子子(或或数数)的平方，并且这两项的符号为异号的平方，并且这两项的符号为异号.2.2.运用运用a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)公式时公式时,如何区分如何区分a a、b?b?答答:平方前符号为平方前符号为正正，平方下的式子（数）为，平方下的式子（数）为 平方前符号为平方前符号为负负，平方下的式子（数）为，平方下的式子（数）为1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？下列多项式能否用平方差公式来分解因式？(1)x2+y2(2)x2-y2(3)-x2+y2(4)-x2
4、-y2不能，这是平方和不能，这是平方和能能,x2-y2=(x+y)(x-y)能，能，-x2+y2=(y+x)(y-x)不能，这是平方和的相反数不能，这是平方和的相反数2.下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？为什么？下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？为什么？(1)4x2+y2 (2)4x2(y)2(3)4x2y2 (4)4x2+y2(5)a24 (6)a23例例3 分解因式分解因式:(1)4x2 9;(2)(x+p)2 (x+q)2.分析分析:在在(1)中中,4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2 3 2,即可用平方差公式分解即可用平方差公式分解因式因式.(1)4x2 9
5、(2)=(2x)2 3 2(3)=(2x+3)(2x-3).(2)(x+p)2 (x+q)2(3)=(x+p)+(x+q)(x+p)(x+q)(4)=(2x+p+q)(p-q).把把(x+p)和和(x+q)各看成一个整体各看成一个整体,设设x+p=m,x+p=n,则原式化为则原式化为m2-n2.例例4 分解因式分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b ab.分析分析:(1)x4-y4可以写成可以写成(x2)2-(y2)2的形式的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解这样就可以利用平方差公式进行因式分解了了.(2)a3b-ab有公因式有公因式ab,应先提出公因式应先提出公因式,再进一步分解再
6、进一步分解.解解:(1)x4-y4 =(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).分解因式分解因式,必须进行必须进行到每一个到每一个多项式都多项式都不能再分不能再分解为止解为止.1.1.把下列各多项式分解因式把下列各多项式分解因式:1).1-25b2 2).x5-x3 3).81x4-y4 4).(a-b)x2+(b-a)y2 5).ab(a+b)2-ab 6).9(a+b)2-16(a-b)2 7).4a2-(b+c)2 2.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 x2y2 1m2 a2b2 x2y2 916x
7、2 x29y2 4x29y2 0.09a24b2 0.36x2y2 x4y2 x2y2z2 (12)(12)x2(xy)2 (13)(13)9(xy)2y2 (14)(14)(x2y)2(2xy)2(15)(15)16(ab)29(ab)2(16)(16)(a2b2)2a2b23.因式分解：因式分解：、a4+16 2、4(a+2)2-9(a-1)2 3、(x+y+z)2-(x-y-z)2 4、(a-b)n+2-(a-b)n4.利用因式分解计算利用因式分解计算(1)782-222(2)251012-99225解解：782-222=(78+22)(78-22)=10056=5600251012-9
8、9225=25(1012-992)=25(101+99)(101-99)=252002 =10000提取公因式提取公因式用平方差公用平方差公式分解因式式分解因式2、设、设n为整数，用因式分解说明为整数，用因式分解说明(2n+1)2 -25能被能被4整除。整除。3、若、若a、b、c是三角形的三边长且满足是三角形的三边长且满足(a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（，则此三角形是（）A、等腰三角形、等腰三角形 B、等边三角形、等边三角形C、直角三角形、直角三角形 D、不能确定、不能确定 1、运用简便方法计算：、运用简便方法计算：1）20032 92）（）（1-）（）（1-）（）（1-）（1-
9、）（）（1-）122132142192 1 102巩固练习：1.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4X+y B.4 x-(-y)C.-4 X-y D.-X+y2)-4a+1分解因式的结果应是 （）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)D.2.把下列各式分解因式：E.1）18-2b 2)x4 1 DD1)原式=2（3+b)(3-b)2)原式=(x+1)(x+1)(x-1)练习练习:分解因式：分解因式：(1)2y2 (2)x2n+1-100 x1 8x21 8x22y2=(x216y2)=(x+
10、4y)(x4y)1 81 8解：解：x2n+1100 x=x(x2n100)=x(xn+10)(xn10)分解因式分解因式:(1)x5x3解：解：(1)x5x3 =x3(x2 1)=x3(x+1)(x1)结论：结论：1、先提出公因式，、先提出公因式，再考虑平方差公式再考虑平方差公式.2、分解因式分解到不能分解为止、分解因式分解到不能分解为止.(2)2x4-32y4(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)(3)=2(x2+4y2)(x2-4y2)(4)=2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)分解因式：分解因式：解：原式解：原式3.观察下列各式：观察下列各式：19=-8,4-16=-12,
11、9-25=-16,16-36=-20（1）把以上各式所含的）把以上各式所含的规律用含律用含n(n为正整数）的等式表正整数）的等式表示出来。示出来。（2）按照）按照（1）中的规律，请写出第）中的规律，请写出第 10个等式。个等式。4 4证证明明：两两个个连连续续偶偶数数的的平平方方差差能能被被4 4整整除除吗吗？请与你的同伴交流。？请与你的同伴交流。5.25.248481 1可可以以被被6060和和7070之之间间的的两两个个数数整整除除，请请求求出这两个数。出这两个数。小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。2.公式a-b=(a+b)(a-b)中的字母 a,b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止。