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1、微分方程应用题 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析：例例1YearPopulationGrowth rate19502,555,360,972 1.47 19512,593,139,857 1.61 19522,635,192,901 1.71 19532,680,522,529 1.77 19542,728,486,476 1.87 19552,779,929,940 1.89 19562,832,880,780 1.95 19572,888,699,042 1.94 19582,945,196,478 1.76 195
2、92,997,522,100 1.39 19603,039,585,530 1.33 19613,080,367,474 1.80 19623,136,451,432 2.19 19633,205,956,565 2.19 19643,277,024,728 2.08 19653,346,002,675 2.08 19663,416,184,968 2.02 19673,485,881,292 2.04 19683,557,690,668 2.08 19693,632,294,522 2.05 19703,707,475,887 2.07 1950-1970年人口及增长率年人口及增长率1950
3、-1970年人口年人口1950-1970年增长率年增长率1961年地球上的人口总数为3.06109 而在以后的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。17001961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。预测预测 25l0年：2,000,000亿；2635年：18,000,000亿；2670年：36,000,000亿。1961年人口预测年人口预测19713,784,957,162 2.00 19723,861,537,222 1.95 19733,937,599,035 1.90 19744,013,016,
4、398 1.81 19754,086,150,193 1.74 19764,157,827,615 1.72 19774,229,922,943 1.69 19784,301,953,661 1.73 19794,376,897,872 1.71 19804,452,584,592 1.69 19814,528,511,458 1.75 19824,608,410,617 1.75 19834,689,840,421 1.69 19844,769,886,824 1.70 19854,851,592,622 1.70 19864,934,892,988 1.73 19875,020,809,2
5、15 1.71 19885,107,404,183 1.68 19895,194,105,912 1.67 19905,281,653,820 1.57 1971-1990年人口及增长率年人口及增长率19915,365,480,276 1.55 19925,449,369,636 1.49 19935,531,014,635 1.44 19945,611,269,983 1.42 19955,691,759,210 1.38 19965,770,701,020 1.36 19975,849,885,301 1.32 19985,927,556,529 1.28 19996,004,170,05
6、6 1.25 20006,079,603,571 1.21 20016,153,801,961 1.18 20026,226,933,918 1.16 20036,299,763,405 1.15 20046,372,797,742 1.14 1991-2004年人口及增长率年人口及增长率1951-2004人口人口1951-2004增长率增长率YearPopulationGrowth rate19512,593,139,857 1.61 19562,832,880,780 1.95 19613,080,367,474 1.80 19663,416,184,968 2.02 19713,784,
7、957,162 2.00 19764,157,827,615 1.72 19814,528,511,458 1.75 19864,934,892,988 1.73 19915,365,480,276 1.55 19965,770,701,020 1.36 20016,153,801,961 1.18 简化数据表简化数据表YearPopulationGrowth rate19713,784,957,162 2.00 19814,528,511,458 1.75 19915,365,480,276 1.55 20016,153,801,961 1.18 简化图像简化图像当群体异常地庞大时，个体成员
8、相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。逻辑律逻辑律 数学生物学家GFGause对草履虫做了一个实验：把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量共持续六天。结果发现，当数量不大时这种草履虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律 dp/dtap-bp2增长，那么a2.309，b2.309/375；因此，逻
9、辑律预测草履虫实验草履虫实验模型求解模型求解 某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029我们还知道，当人口总数为(3.06)109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)a-bp，我们看到 0.02a-b(3.06)109因此，b294110-12这样，根据群体增长的逻辑律地球上的人类人口将趋于极限值常数估算常数估算预测人口预测人口预测增长率预测增长率 证明对于是正的。2、选择三个时间 ，且证明根据 可以唯一确定3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的
10、有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000(lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h 后群体总数将是多少。a)108 b)1091、在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt0.003p(t)其小t以分钟度量。在t0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马
11、哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。a)修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。b)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t 时会发生什么情况?5、如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量）a)修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市迁出，有4000人被杀这些因素。b)假设1970年纽约城的人口为8,000,000，求出在未来任意时刻的人口。t 时会发生什么情况？6、假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它
12、的模型。设该群体最初受逻辑律控制，并且一旦p达到某个小于极限总数a/b的特定值Q，流行病便开始传播。在此阶段中生命系数Aa，Bb，且(1)被7、所代替。假设QA/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值qA/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。a)证明当p从q增加到Q时，周期的第一部分T1为b)证明当p从Q减倒到q时，周期的第二部分T2为 据观察每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个
13、小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。a)在这些假设下证明b)设T1近似地为4yQ/q近似地为50证明a近似地为1，顺便说一下，a 的这个值非常符合老鼠在自然环境中的繁殖率。8、早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午4
14、点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车不管已扫过的路面）分析：设单位面积上单位时间降雪量为a(km/h)，路面宽度为b(km)，扫雪速度为c(km3/h)，路面上雪层厚度为H(t)(km)，扫雪车前进路程为s(t)(km)，降雪开始时间为T例例6、在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内搅拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶内。再将混合掖搅拌均匀然后用1升/min的速度输出。在任意时刻t0，从第二只桶流出的水中含多少盐？分析：例例7、在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每
15、个虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及会合前所经过的路程。分析：例例8、1、根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。如果空气的温度是20且沸腾的水在20min内冷却到60。那么水温降到30需多长时间?2、一滴球形雨滴，以与它表面积成正比的速度蒸发。求其体积V关于时间的t的函数式。3、在进入供水系统之前，对原污水进行处理。可减少谁的污染。一种常用的处理方法是使用一只活化污泥交换箱，在交换箱内装有一种浓度为c的活性污泥。把污染度c1的原污水灌入箱内，细菌将消化掉一部分污物。剩下的较清洁的混合物别被注入一只贮水器中。按规定排出物的污染度不得超过安全标准，如0
16、.3c1，故我们的问题是求出达到安全标准的时间。实际上。到那时(t)，可以把原污水引入一个交换箱中。而原箱内的活性污泥经交换处理后污染度由c降至一个适当的最低度c0。假定每分钟输进交换箱的污水为r1gal，而排出的水为r2gal，在t=0时，交换箱内有V0gal的污水，其中含有z0污染物。建立一个数学问题以求出何时应该对交换箱实行分流。4、如果一笔存款连同连续复利一道计算在16年内翻了一番，问利率是多少?5、某学院的教育基金，最初投资是P，以后按利率为r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的周年日都要加上新的资本，速率为A/yr。求七年的累积金额。6、污染物质的含量为2oz/gal的水以500
17、ga1/min的速度流过处理箱。在箱内，每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底搅匀。处理箱可容纳10,000 gal的水。在处理厂开张那天，箱内装满了净水。求流出的水中污染物浓度的函数。7、一只底部开口面积为0.5cm2的圆锥形漏斗高为l0cm、顶角=600，其内装满水。水流完需多长时间?8、试建立在作葡萄糖输液后，人体内葡萄糖浓度的模型：输液就是让某种液体以稳定的速度进入静脉的过程，当葡萄糖输入时自由葡萄糖的浓度势必下降(主要是由于与磷化物的结合所致)，浓度下降的速度与葡萄糖的数量成正比。用G表示葡萄糖的浓度，A表示输入的速度(mg/min)。B表示体内(血管内)液体的体积。寻求体内的葡萄糖浓度是否以及怎样达到平衡态。练习8中的模型有一个不足之处，它假设体内液体的体积为常量。然而，由于人体含有大约4600ml的血液，输入500ml的葡萄糖溶液后，体积的变化是不容忽视的。如何修正这个模型，使其能够反映体积变化？即如何修改微分方程？这会影响平衡值的答案吗？如何影响？这个模型的局限性是什么？9、在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的浓度成比例。转换A的一半用了20min。把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图像。