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1、弹塑性力学第九章弹塑性力学第九章 1.11.1空间轴对称问题特点：空间轴对称问题特点：1.1.域内所有物理量（体力、面力、位移、域内所有物理量（体力、面力、位移、应力、应变）均为应力、应变）均为r、z的函数。的函数。与平面轴对称问题类似，空间轴对称问与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴）对轴）对称，导致如下简化，称，导致如下简化，2 2荷载：体力荷载：体力f=0，面力，面力 ，位移，位移u u=0=0，应，应力力 r=z=0，应变，应变 r=z=0。第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程11/17/202
2、211/17/20222 2第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程(r,z)满满足足第第一一个个平平衡衡微微分分方方程程，而而第第二二个个平平衡衡方程及四个相容方程，共同要求方程及四个相容方程，共同要求 2 2=4 =0(r,z)应满足的基本微分方程。应满足的基本微分方程。11/17/202211/17/20229 97按位移法解按位移法解第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程其中其中a基本未知函数：基本未知函数：ur和和w基本方程两个：基本方程两个：并考虑适当的边界条件。并考虑适当的边界条件。11/17/202211/17/20221010b.
3、引引入入Love（拉拉甫甫、勒勒夫夫）位位移移函函数数（当当无无体体力作用时）力作用时）第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程对对于于位位移移法法的的基基本本方方程程的的解解可可由由考考虑虑体体力的一个特解加上齐次方程的通解。力的一个特解加上齐次方程的通解。轴轴对对称称问问题题齐齐次次拉拉梅梅方方程程的的通通解解可可以以引引入入一一个个Love位移函数位移函数(r,z),使得位移由使得位移由(r,z)表示：表示：11/17/202211/17/20221111代代入入齐齐次次拉拉梅梅方方程程，第第一一式式自自然然满满足足，而而第第二式为基本方程：二式为基本方程：4=0
4、(r,z)为双调和方程。为双调和方程。第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程同时应力分量由同时应力分量由(r,z)表示为：表示为：11/17/202211/17/20221212轴轴对对称称问问题题按按位位移移求求解解，归归结结为为寻寻找找一一个个恰恰当当的的重重调调和和函函数数(r,z)，使使按按其其导导出出位位移移和和应力能满足给定的边界条件。应力能满足给定的边界条件。第一节第一节 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程比比较较应应力力函函数数解解法法和和love位位移移法法知知：(r,z)=(r,z)11/17/202211/17/20221313第二节
5、第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）半半空空间间体体，体体力力不不计计，边边界界受受法法向向集集中中力力P作用作用.轴对称问题，轴对称问题，P作用在坐标原点上。作用在坐标原点上。zRrPx yz已已知知，当当z=0且且r 0时时,z=0,zr=0；当当R 0时，应力奇异。时，应力奇异。当当R 时时，R=(r2+z2)1/2，应力、位移应力、位移 0；11/17/202211/17/20221414选选(r,z)为为r和和z的正一次幂式的正一次幂式:(r,z)=A1R+A2R-zln(R+z)为双调和函数为双调和函数第二节第二节半空间体
6、在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）Boussinesq采采取取Love函函数数求求解解，(r,z)为为重重调调和和函函数数，由由(r,z)的三次微分导出应力。的三次微分导出应力。zRrPx yz11/17/202211/17/20221515(r,z)=A1R+A2R-zln(R+z)则则(r,z)自然满足自然满足 4=0。代入位移、应力计算式代入位移、应力计算式.第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）zRrPx yz位移：位移：11/17/202211/17/20221616应力：
7、应力：第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）11/17/202211/17/20221717根据边界条件来确定根据边界条件来确定A1和和A2：第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）zRrPx yz在在z=0且且r 0边界上边界上,z=0自然满足。自然满足。在在z=0且且r 0边界上边界上,zr=0（1-2）A1+A2=0(a)11/17/202211/17/20221818在在z=z0 0平平面面上上，要要求求 z的合力与的合力与P平衡。平衡。还需一个条件（包括还需一
8、个条件（包括P的）。的）。第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）将将 z 表达式代入，得表达式代入，得zPrrdrz0 z11/17/202211/17/20221919 P-4 A1(1-）-2 A2=0(b)第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）而而11/17/202211/17/20222020由式由式(a)、(b)解得解得 A1=P/(2)、A2=-（1-2）P/（2）第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问
9、题）问题）代代回回位位移移、应应力力表表达达式式，见见徐徐芝芝纶纶（上上册册）P.297（917）、（918）式式，称称为为Boussinesq问问题解。题解。由由P.297（917）、（918）式式见见：位位移移和应力随和应力随R 的增加而减小。的增加而减小。11/17/202211/17/20222121Prz第二节第二节半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题）问题）在在z=0平面上平面上11/17/202211/17/20222222第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q已知条件：半空间体在边界上受已知条件：半空
10、间体在边界上受均布法向荷载均布法向荷载q作用，在半径作用，在半径为为a的圆面积。的圆面积。zaqar寻求解答：寻求解答：1.z=0边界上的沉陷边界上的沉陷w z=0=?2.r=0（对称轴）上的应力和位移。（对称轴）上的应力和位移。求求解解方方法法：采采用用叠叠加加法法和和半半空空间间体体边边界界受受法法向向集中力集中力P的计算结果求解。的计算结果求解。11/17/202211/17/202223233.1边界上一点边界上一点M的竖向位移的竖向位移w：第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q1.设设M点为圆面积之外：点为圆面积之外：M点可以在荷载圆面积之点可以在荷载
11、圆面积之外也可在之内。外也可在之内。zaqar当半空间体边界上受法向集中力当半空间体边界上受法向集中力P时，时，边界上距边界上距P点为点为r的点竖向位移为的点竖向位移为：11/17/202211/17/20222424圆面积均布荷载圆面积均布荷载q对圆外对圆外M 点竖向位移影响可点竖向位移影响可取一个微面元，距取一个微面元，距M点为点为s，角度为，角度为 处，处，dA=sd ds，dA上上q对对M点影响：点影响：第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力qrraMs1s2sdsdzaqar11/17/202211/17/20222525rraMs1s2sdsd第三节第
12、三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/20222626整体圆面积荷载对整体圆面积荷载对M点影响为点影响为第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q而而rraMs1s2sdsd11/17/202211/17/20222727 1为为M点作为圆相切线点作为圆相切线OM线的夹角线的夹角第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd为为了了简简化化积积分分将将积积分分变量变量 转变为转变为 11/17/202211/17/20222828由由由由图图图图形形形形可可可可见
13、见见见 asinasin =rsin=rsin ,两边微分两边微分两边微分两边微分 acosacos d d =rcos=rcos d d 第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd11/17/202211/17/20222929第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q 的取值范围：由的取值范围：由0 1rraMs1s2sdsdq的取值范围：的取值范围：0 11/17/202211/17/20223030第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/2022
14、3131第二类椭圆积分第二类椭圆积分第二类椭圆积分第二类椭圆积分 第一类椭圆积分第一类椭圆积分第一类椭圆积分第一类椭圆积分第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q对于不同对于不同a/r可由椭圆积分表得到。可由椭圆积分表得到。11/17/202211/17/202232322M点载荷在圆之内：点载荷在圆之内：Masdsdrmn第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q圆圆内内距距M点点s处处微微面面积积q对对M点沉陷的影响仍为点沉陷的影响仍为11/17/202211/17/20223333整个圆面积荷载引起整个圆面积荷载引起M点沉陷为：点
15、沉陷为：第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q第二类椭圆积分第二类椭圆积分利用利用asin=rsin 11/17/202211/17/20223434当当r=0为圆心处沉陷：为圆心处沉陷：当当r=a时圆周上沉陷：时圆周上沉陷：3.2在在z轴轴r=0上的应力和位移上的应力和位移在在z轴轴上上的的应应力力和和位位移移比比同同一一水水平平面面上上其其它它点点的应力和位移要大。的应力和位移要大。第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/202235351.应力：由于应力：由于z轴对称轴，所以在轴对称轴，所以在z
16、 轴上的应力轴上的应力无剪应力，均为主应力：无剪应力，均为主应力：r=、z第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/202236362位移：位移：z轴上的轴上的ur=0，仅存在，仅存在w第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/20223737第三节第三节半空间体在边界上受法向分布力半空间体在边界上受法向分布力q11/17/202211/17/20223838第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 接接触触压压力力问问题题是是在在机机械械工工程程、土土木木工工
17、程程中中经经常常碰碰到到的的问问题题，接接触触问问题题在在18811881年年由由德德国国赫赫兹兹（Heinrich Herty）首首先先用用数数学学弹弹性性力力学学导出了计算公式。导出了计算公式。4.1 4.1 接触问题的特点：接触问题的特点：1两两个个弹弹性性体体互互相相接接触触，当当无无压压力力作作用用时时，为为点点接接触触或或线线接接触触。当当有有压压力力作作用用时时，弹弹性性体体发发生变形，点接触（或线接触）变为面接触。生变形，点接触（或线接触）变为面接触。11/17/202211/17/202239392弹弹性性体体变变形形后后的的接接触触面面为为非非常常小小的的局局部部区区域域（
18、相相对对于于弹弹性性体体几几何何尺尺寸寸）所所以以可可看看成成半半空空间间（半半无无限限平平面面）体体法法向向受受局局部部分分布布力力作作用用问问题题，但但这这里里分分布布力力q不不是是均均匀匀的的，同同时时q也未知，接触面的局部区域也是未知的。也未知，接触面的局部区域也是未知的。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力3不计接触面摩擦力。不计接触面摩擦力。11/17/202211/17/20224040 4.2 4.2 两球体之间的接触压力：两球体之间的接触压力：已已知知两两球球体体变变形形前前在在o点点接接触触，两两个个坐坐标标系系roz1、roz2第四节第四节 两球体之间的
19、接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1球球1：E1、1、R1球球2：E2、2、R2M1M2r距接触点距接触点z轴为轴为r的两球的两球表面上表面上M1和和M2点的点的z坐标分别为（坐标分别为（M1和和M2与点与点o很近）很近）11/17/202211/17/20224141第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r则则11/17/202211/17/20224242第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力在已知在已知P压力作用下，两球在接触点附近发压力作用下，两球在接触点附近发生变形有一个接触面，根据对称性接触面为
20、生变形有一个接触面，根据对称性接触面为以以a为半径的圆。为半径的圆。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar11/17/202211/17/20224343第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 1 1a为为待待求求量量，同同时时接接触触面面上上有有接接触触压压力力q q（待求）。（待求）。2由由于于接接触触问问题题是是局局部部变变形形，在在球球体体远远离离o o点点的的任任意意点点位位移移为为刚刚体体位位移移。两两球球内内距距o点点很远处的相对位移（刚体位移）为很远处的相对位移（刚体位移）为？下下面面要要建建立立（找找出出）三三个个条条件件（几几
21、何何、物物理理、平衡方程）寻求平衡方程）寻求a、q和和。11/17/202211/17/20224444第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力求求解解：首首先先根根据据接接触触面面变变形形（位位移移）来来建建立立一一个关系个关系球球1 1：触面上：触面上o点、点、M1点点沿沿z1轴位移为轴位移为w1(o)、w1而而 w1(o)=w1+z1 M1rPPoz1z2O1M2ar11/17/202211/17/20224545第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力球球2 2：触面上：触面上o点、点、M2点点沿沿z2轴位移为轴位移为w2(o)、w2 w2(o)=w2+z2
22、 而而w1(o)+w2(o)=w1+z1+w2+z2w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2或或M1rPPoz1z2O1M2ar11/17/202211/17/20224646而而w1(o)+w2(o)=第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力两球体距两球体距o点较远处两点的趋近距离。点较远处两点的趋近距离。=w1+w2+r2 变性协调关系变性协调关系w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2由由于于接接触触问问题题可可看看成成半半无无限限体体受受局局部部垂垂直直分分布布力力问问题题，w1和和w2可可以以利利用上一节的结果。用上一节的结果。M1rPPoz1z2O1M2ar11/17
23、/202211/17/20224747第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力相当物理和几何关系相当物理和几何关系 11/17/202211/17/20224848代入代入 =w1+w2+r2在此式中在此式中a、q 和和 未知。未知。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力11/17/202211/17/20224949第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 q与与P P 有关，为寻求解，赫兹假设接触面有关，为寻求解，赫兹假设接触面上的分布力上的分布力q的。的。假假设设：q 分分布布为为以以a为为半半径径的的半半球球面面乘乘q0/a，q0为接触面中心
24、接触压力的集度。为接触面中心接触压力的集度。11/17/202211/17/20225050第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力Masdsdrmnrrq0z11/17/202211/17/20225151第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力赫兹通过这样假设，并利用赫兹通过这样假设，并利用11/17/202211/17/20225252或或第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力得得代回代回赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使等式右端的积分为一个常数项和等式右端的积分为一个常数项和r2的二次项。的二次项
25、。11/17/202211/17/20225353第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力的积分，在任意的积分，在任意 rra11/17/202211/17/20225454第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力11/17/202211/17/20225555积分得积分得第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力比较上式两边得比较上式两边得11/17/202211/17/20225656将将代入可确定代入可确定a和和。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 q0、a和和 表达式见徐芝纶弹性力学（上册）表达式见徐芝纶弹性力学（上册）P.308（926）、（、（927）式式，q0、a和和 确定确定后，可求球体内应力。后，可求球体内应力。11/17/202211/17/20225757