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1、导数Derivative的概念 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望导数导数 DerivativeDerivative的概念的概念函数函数 自变量自变量 函数函数 导数导数 其它形式其它形式 例题例题 设设 ，求，求 解解所以所以 如果将式中的定点如果将式中的定点x=2改为任意点改为任意点x,则有如下结果则有如下结果 其结果表示是其结果表示是x的函数，称之为的函数，称之为导函数导函数。基本导数公式基本导数公式记记熟熟、记记牢牢、记记准准 函数的和差积商的
2、求导法则函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别特别例例1 设设解解例例2解解 例例3 设设解解求下列函数的导数求下列函数的导数复合函数的求导法则复合函数的求导法则推广推广链式法则链式法则Chain Rule 也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量例例6 设设例例7 设设解解解解 因为因为所以所以可分解为可分解为所以所以代入代入由外及由外及里，环里，环环相扣环相扣例例8 设设解解求下列函数的导数求下列函数的导数例例9例例10解解解解求下列函数的导数求下列函数的导数高阶导数高阶导数 导函数的导数导函数的导数函数函数 一阶导数一阶导数 二阶导数二阶导数 三阶导数三阶导数 n阶导数阶导数 求下列函
3、数的二阶导数求下列函数的二阶导数 解解 隐函数的导数隐函数的导数隐函数的求导方法隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量将方程两边同时对自变量x求导。求导。将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：解解所以所以注意：注意：y是是x的函数，的函数，则则y的函数的函数f(y)视为视为x的复合函数。的复合函数。例例12求由方程求由方程 确定的隐函数的导数确定的隐函数的导数 解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：因为当因为当 x=0时，从原方程可以解得时，从原方程可以解得 y=0 所以所以例例 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的导数的导数解解 将
4、方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：注意：注意：y是是x的函数，的函数，siny则是则是x的复合函数。的复合函数。例例 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的导数的导数幂指函数的导数幂指函数的导数两边取对数，得两边取对数，得将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：解法解法2解法解法1转化为初等转化为初等函数，直接函数，直接求导法求导法转化为隐函转化为隐函数，对数求数，对数求导法导法例例14一般地，幂指函数一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：如如
5、练习练习 设设解答解答对数求导法对数求导法两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。为主的函数的求导。例例15解解解解由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导注意一阶导数也是数也是 t t 的函数的函数求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。所确定的函数的一阶导数。解解例例16解解 解解单侧导数单侧导数 左导数左导数 右导数右导数 函数在点函数在点x0处可导处可导 左导
6、数和右导数都存在，并且相等。左导数和右导数都存在，并且相等。例例5 已知已知解解 因为因为所以所以 ，从而，从而导数的几何意义导数的几何意义MxyoT法线是过切点法线是过切点且与切线垂直且与切线垂直的直线的直线的切线方程为的切线方程为法线方程为法线方程为解解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线的斜率为所求法线方程为所求法线方程为例例6 6 求双曲线求双曲线 在点在点 处的切线方程和法线方程。处的切线方程和法线方程。即即即即例例 曲线曲线 在点在点 处的切线平行于直线处的切线平行于直线 例例 曲
7、线曲线 在点在点 处的切线垂直于直线处的切线垂直于直线 例例 曲线曲线 在点在点 处的法线垂直于直线处的法线垂直于直线 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系可导可导 连续连续 连续是可导的必要非充分条件连续是可导的必要非充分条件 故函数在点故函数在点 x=0 处连续处连续故函数故函数 f(x)=|x|在点在点 x=0 不可导不可导解解 函数函数 f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。在某点连续，却不一定在该点可导。例例7 讨论函数讨论函数 在点在点 的连续性和可导性。的连续性和可导性。不存在不存在 例例8 设设 在在 点可点可导导，求常数，求常数 的的值值。解解 因为函数在因
8、为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。点可导，所以函数在该点连续。所以有所以有 又又 即有即有 （1）所以所以 代入（代入（1）式得）式得 所以所以 即为所求。即为所求。又又 函数的微分函数的微分 结论：结论：可导可导 可微，可微，且且 一般形式一般形式导数公式导数公式 微分公式微分公式 一一对应一一对应 复合函数的微分法则和微分形式不变性复合函数的微分法则和微分形式不变性例例1解解例例2解解例例3解解例例4求由方程求由方程 确定的隐函数的微分确定的隐函数的微分 解解 两边同时微分，得两边同时微分，得 即即 所以，所求微分为所以，所求微分为 罗尔定理罗尔定理 Rolle Theorem R
9、olle Theorem(2)在开区在开区间间内可内可导导；则则在在内至少存在一点内至少存在一点，使，使 (1)在闭区间在闭区间 上连续上连续(3)若函数若函数满满足：足：罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义 连续曲线连续曲线 y=f(x)的弧的弧AB除端点外处处具有不垂直除端点外处处具有不垂直x轴的轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点至少存在一点C，使得，使得曲线曲线在该点处的切线是水平的在该点处的切线是水平的.xy例例1 验证函数验证函数 在区间在区间 上满足罗尔上满足罗尔定理，并求出定理中的定理，并求出定理中的 值。值。解解 因
10、为函数在因为函数在 上连续，在上连续，在 内可导，且内可导，且所以，函数在所以，函数在 上满足上满足罗尔定理罗尔定理而而令令得得所以，所以，即为所求的点。即为所求的点。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 lagrange Theorem lagrange Theorem若函数若函数满满足：足：(2)在开区在开区间间内内可可导导；则则在在内内至少存在一点至少存在一点，使，使 (1)在闭区间在闭区间上上连续连续；xy几何意义几何意义:连续曲线连续曲线 y=f(x)的弧的弧AB除端点外处处有不垂直除端点外处处有不垂直x轴的切轴的切线，则弧上至少线，则弧上至少至少存在一点至少存在一点 ，使得曲线在点，使
11、得曲线在点 处的处的切线切线平平行弦行弦AB。推论：推论：如果函数如果函数 f(x)在区间在区间I上的导数上的导数恒为零恒为零，那末，那末 f(x)在在区间区间I上是一个常数上是一个常数例例 证明证明证明证明 令令则则 在在 内满足内满足Lagrange中值定理中值定理而而所以所以而而所以所以由由LagrangeLagrange中值定理可知中值定理可知例例2解解因为因为所以所以即即所以所以 即为所求。即为所求。练习练习解答解答构造有关的函数构造有关的函数确定应用区间确定应用区间应用应用Lagrange定理定理计算导数后的等式计算导数后的等式转化为不等式转化为不等式例例3解解所以所以即即所以所以
12、解题思路：解题思路：洛必达法则洛必达法则 若若 属属 类型的极限问题，则可考虑用洛类型的极限问题，则可考虑用洛必达法则，如果必达法则，如果 存在或为存在或为 ，则，则 注意：法则只能解决注意：法则只能解决 存在时，未定式存在时，未定式 的定值问题。的定值问题。即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，则则法则失效法则失效。例例1 1 求下列极限求下列极限型型型型型型解解 原式原式解解 原式原式解解 原式原式例例2 2 求极限求极限解解 这是这是 型的未定式，且当型的未定式，且当 时，时，所以，原式所以，原式适当使用等价无穷适当使用等价无穷小替换，再使用洛小替换，再使用洛必达法则，可简化必达法
13、则，可简化极限运算。极限运算。练习练习（1 1）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解题方法：解题方法：将未定式变形将未定式变形例例3 3 求极限求极限解解 原式原式（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解题方法解题方法：将未定式变形：将未定式变形例例4 4 求极限求极限解解 原式原式（3 3）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解题方法解题方法：将未定式先取自然对数、变形，：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（再按情形（1）处理）处理例例5 5 求极限求极限解解 令令则则所
14、以所以而而例例6 6 求极限求极限解解 令令则则而而所以所以解解 令令例例7 7 求极限求极限则则所以所以所以所以求下列极限求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）（提示：利用等价无穷小替换）函数的单调性函数的单调性 yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调递增，则函数单调递减，则函数单调递减，则由由Lagrange中值定理：中值定理：于是有函数单调性的判别定理于是有函数单调性的判别定理函数单调性的判别定理函数单调性的判别定理（1）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递增的。上是单调递增的。（2）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递减
15、的。上是单调递减的。例例1 判别函数判别函数 的单调性。的单调性。解解 因为因为所以，函数在所以，函数在 内是单调递增的。内是单调递增的。设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则例例2 求函数求函数 的单调区间的单调区间解解 因为因为令令得驻点得驻点列表讨论列表讨论+0_0+3-1 所以，函数在所以，函数在 及及 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。例例3 求函数求函数 的单调区间的单调区间解解 因为因为当当 时，时，不存在不存在当当 时，时，当，当 时，时，所以，函数在所以，函数在 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。小结：驻点（使一
16、阶导数为零的点）或一阶导数不存在小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。的点可将单调区间分开。小结：小结：求函数的单调区间的一般方法：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；）求函数的一阶导数；（2）找出所有的）找出所有的驻点驻点及及一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导 数的符号；数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。）根据单调性的判别定理，确定单调区间。例例4 证明不等式证明不等式证明证明 令令则则所以，当所以，当 时，不等式时，不等式 成立。成立。函
17、数的极值函数的极值极值的概念极值的概念：如果函数：如果函数 在点在点 的某邻域内有定义，对于的某邻域内有定义，对于该邻域内任意该邻域内任意异于异于 点的点的 ，都有，都有 ，则称，则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；如果有；如果有 ，则称，则称 为函数为函数的一个的一个极大值极大值。极大值和极小值统称为函数的。极大值和极小值统称为函数的极值极值。使函数取。使函数取得极值的点称为函数的得极值的点称为函数的极值点极值点。由于函数在不同的区间的单调性不同，由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现因而在图象上会出现“峰峰”与与“谷谷”，使函数，使函数值在局部范围内出现值在局部范围内出
18、现“最大最大”、“最小最小”，称，称之为函数的极大、极小值。之为函数的极大、极小值。例如例如-13 函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数如函数Y=x 在区间在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一；如如 y=x2 在区间在区间-1，2 内，只有极小值。内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内
19、部取得。）极值一定在区间内部取得。函数的极值说明函数的极值说明极值存在的必要条件（费马定理）极值存在的必要条件（费马定理）如果函数如果函数 在点在点 处可导，且在点处可导，且在点 处有极值，处有极值，则则导数为零的点称为函数的驻点。导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件设函数设函数 在点在点 的某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；则则 在点在点
20、 处取得处取得极小值极小值；则则 在点在点 处处无极值无极值；例例1 求函数求函数 的极值的极值解解 因为因为令令得驻点得驻点列表讨论列表讨论+极小值极大值0_0+3-1所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。函数过极小值。例例2 求函数求函数 的极值的极值解解 因为因为当当 时，时，不存在不存在当当 时，时，当，当 时，时，小结：驻点或一阶导数不存在的点小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能可能是函数的极值点，是函数的极值点，必须必须按第一充分条件进行按第一充
21、分条件进行判别判别。所以，函数有极小值所以，函数有极小值 。例例3 求函数求函数 的极值的极值解解 因为因为所以，函数无极值。（虽然有所以，函数无极值。（虽然有 ）极小极小值值-1/2-1/2极大极大值值0 0+0 0_ _不存在不存在+(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)单调单调增区增区间为间为(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)单调单调减区减区间为间为(0,1)(0,1)f(0)=0为极大值；为极大值；f(1)=-1/2 为极小值为极小值 o1练习练习解解极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件例例4 求函数求函数 的极值的极值解解 因为因为
22、所以，函数有驻点所以，函数有驻点而而所以所以所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。须用第一充分条件判别。函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：由极小值的特性，可知：极小值极小值 最小值；极大值最小值；极大值 最大值最大值 已有结论：如果函数在已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在该区间上上连续，则函数在该区间上一定有最
23、大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。为函数在区间上的最小值。例例5 求函数求函数 在在 上的最值。上的最值。解解 因为因为令令得得而而
24、所以函数所以函数 在在 上的最大值是上的最大值是最小值是最小值是曲线的凹凸向及拐点曲线的凹凸向及拐点 yxoabyoabx 定义定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方上方，则称该，则称该曲线弧是曲线弧是（向上）凹的（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每如果曲线弧总位于它的每一点的切线的一点的切线的下方下方，则称该曲线弧是，则称该曲线弧是（向上）凸的（向上）凸的(convex)凹弧凹弧凸弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。凹凸弧的判别定理凹凸弧的判别定理定理定理 设函数
25、设函数 在区间在区间 上具有二阶导数上具有二阶导数 ，则在，则在该区间上：该区间上：（1）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凹的；是向上凹的；（2）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凸的。是向上凸的。例例1 试证明函数试证明函数 的图形是处处向上凹的。的图形是处处向上凹的。所以，函数的图形在所以，函数的图形在 内是向上凹的。内是向上凹的。证明证明 函数的定义域为函数的定义域为 判断曲线判断曲线 y=lnx 的凹凸性的凹凸性内是凸的。内是凸的。解答解答解解 函数的定义域为函数的定义域为 例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。令令得得列表列表因为因为所以，曲线在所以，曲线在 及及 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点内是向上凸的，有拐点 及及 。解解 函数的定义域为函数的定义域为 例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。令令得得因为因为例例3 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。解解 因为因为 所以，当所以，当 时，时，当，当 时，时，所以，曲线在所以，曲线在 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的。内是向上凸的。有拐点有拐点 。