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1、幺正变换幺正变换 4.4 幺正变换幺正变换（4.4.2）在 表象中的矩阵元为：（4.4.4）（4.4.3）为找出 表象和 表象之间的关系，将 表象中的本征函数 及 按 表象的本征函数系展开（4.4.5）其中（4.4.6）4.4 幺正变换幺正变换（4.4.24）利用（4.4.4）、（4.4.21）、（4.4.22）和本征函数系 的正交归一性，得上式写成矩阵形式或（4.4.25）（4.4.26）4.4 幺正变换幺正变换3.幺正变换不改变算符的本征值 设 在 表象中的本征值方程为（4.4.27）为相应的本征值。作表象变换，使得从 表象经过一个幺正变换 换到 表象，由于 ，因此在 表象中，算符 相应的
2、矩阵 满足（4.4.28）所以，表象变换不改变算符 的本征值。利用这个性质，又找到了另一个求算符本征值的方法。前面曾证实，算符在自身表象中对应对角矩阵，而且 4.4 幺正变换幺正变换对角线上的元素就是它的本征值。现在又证明了表象变换不改变算符的本征值。因此如果通过表象变换，使算符变回到自身表象，或者说，通过一个幺正变换 ，使得并不对角化的 矩阵，变成对角化的 矩阵，则 矩阵对角线上的元素，就是相应的本征值。于是，求本征值的问题就归结为使矩阵对角化的问题。为此，必须探讨一下要使 对角化的幺正变换 倒底如何选取？为使 对角化，必须（4.4.29）或写作（4.4.30）4.4 幺正变换幺正变换在方程
3、（4.4.30）式的两边同时乘上 后，在对 求和得（4.4.31）利用 的幺正性 ，即 ，代入上式，得（4.4.32）其矩阵形式为（4.4.33）4.4 幺正变换幺正变换（4.4.33）表明，矩阵的第 列正是算符 对应于本征值为 的本征函数。因此，一般说来，要使算符 对应的矩阵对角化，就要求出 对应得的本征函数系，然后把对应于不同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵 ，则 必为对角阵。例：设算符 在某一表象 中的矩阵为其中 为常数，求：（1）的本征值和在 表象中的正交归一本征函数；（2）求使矩阵 对角化的幺正变换 。4.4 幺正变换幺正变换上式有非平庸解的条件是解：（1）在 表象中的本征方程为即或写作（1）解得利用归一化条件 得：4.4 幺正变换幺正变换将 代入方程（1）可得：同理，当 时，代入方程，得：则本征函数为则 4.4 幺正变换幺正变换（2）为找出能使矩阵 对角化的幺正矩阵 ，我们将本征函数 、列排列，得：所以结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17