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1、定积分换元法和分部积分法定积分换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数 函数满足:1)2)在上证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则连续，且奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积 第五五章 第五五章 例例7 设函数设函数解解1所以所以 第五五章 解解2 令令x-2=t，有，有 第五五章 例例8 计算积分计算积分 解解 （1）当）当 时时 （2）当）当 时时（3）当）当证证（1）设）设 第五五章（2）设）设 第五五章 例例10 10 证明下列等式：证明下列等式：证明
2、证明:（1 1）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设 第五五章 对等式右端第二个积分设对等式右端第二个积分设所以原式成立所以原式成立.第五五章 例例1111 是连续函数且为奇函数是连续函数且为奇函数，证明证明 是偶函数是偶函数；是连续函数且为偶函数是连续函数且为偶函数，证明证明 是奇函数是奇函数。证明：令证明：令 对对 设设t=-ut=-u有有即即证毕证毕.课堂练习1.2.设3.证明 是以 为周期的函数.课堂练习提示课堂练习提示1.提示提示:令则2.设解法解法1解法解法2 对已知等式两边求导,思考思考:若改题为提示提示:两边求导,得得3.证明
3、证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例1 1 计算计算解解令令则则例例2 2 计算计算解解例例3 3 计算计算解解例例4 4 设设 求求解解例例5 设设f（x）在积分区间上连续，证明：）在积分区间上连续，证明：证明证明1：用分部积分法用分部积分法证明证明2 左端左端=证明证明3 设设则所以所以 又因又因例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止于是于是例例7 设设解解 例例8 设设f（x）连续，计算）连续，计算解解 （1）令）令x+t=u，则，则dt=du（2）小 结内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限作业作业P253 1(4),(10),(16),(24);7 (4),(9),(10)练练 习习 题题解解令令 第五五章 思考题思考题1思考题思考题1解答解答:计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是思考题思考题2思考题思考题2解答解答解：解：3.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端