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1、电阻串并联电阻串并联 一一个个电电路路不不论论它它的的联联接接有有多多复复杂杂，只只要要能能用用电电阻阻的的串串联联各各并并联联的的方方法法将将其其化化简简为为单单回回路路的的电电路路称称为为简简单单电电路。反之，如果不能化简为单回路的电路称为复杂电路。路。反之，如果不能化简为单回路的电路称为复杂电路。下面就分别介绍电阻的串联和关联及其性质。下面就分别介绍电阻的串联和关联及其性质。2.1 2.1 电阻的串联、并联和混联电阻的串联、并联和混联 在实际电路中，电阻的联接方式多种多样，最常用在实际电路中，电阻的联接方式多种多样，最常用的是电阻的串联，并联和串并联组合的是电阻的串联，并联和串并联组合(
2、又称为混联又称为混联)。l1.串连的电路形式：串连的电路形式：电路中若干个电阻依次连接，各电阻流过同一电流，电路中若干个电阻依次连接，各电阻流过同一电流，这种连接形式称为电阻的串联。这种连接形式称为电阻的串联。2.1.1电阻的串联及其分压电阻的串联及其分压2.电路的特点：电路的特点：l（1 1）通过各个电阻的电流相同，即：）通过各个电阻的电流相同，即：I I1 1=I=I2 2=I=I3 3=I=Ii il（2 2）串联时电路两端的总电压）串联时电路两端的总电压U U等于各串联电阻电压的等于各串联电阻电压的代数和，即：代数和，即：U U总总=U=U1 1+U+U2 2+U+Ui i （3 3）
3、串联电路的总电阻（等效电阻）串联电路的总电阻（等效电阻）R R等于各串联电阻值等于各串联电阻值的代数和，即：的代数和，即：R R总总=R=R1 1+R+R2 2+R+Ri i 推理略。高中物理知识。推理略。高中物理知识。l(4)该串联电路中，各电阻电压与它们各自的阻值呈正比。该串联电路中，各电阻电压与它们各自的阻值呈正比。可见，可见，电阻串联时，各电阻上分得电压大小与其电阻值电阻串联时，各电阻上分得电压大小与其电阻值成正比。成正比。上式说明各电阻上的电压是接电阻的大小进行上式说明各电阻上的电压是接电阻的大小进行分配的，即分配的，即具有具有分压限流分压限流 的特性。此特性在实际电路中的特性。此特
4、性在实际电路中得到了广泛应用，如扩展电压表量程等。得到了广泛应用，如扩展电压表量程等。l(5)(5)串联电阻电路消耗的总功率串联电阻电路消耗的总功率P P等于各串联等于各串联电阻消耗功率的代数和，即：电阻消耗功率的代数和，即：P=PP=P1 1+P+P2 2+P+P3 3 推理过程如下：推理过程如下：P=IP=I2 2R=(RR=(R1 1+R+R2 2+R+R3 3)I)I2 2=R=R1 1I I2 2+R+R2 2I I2 2+R+R3 3I I2 2将以上特性推广到一般情况下。将以上特性推广到一般情况下。例例2-1 2-1 如下图所示为某万用表直流电压挡等效电路，其表头如下图所示为某万
5、用表直流电压挡等效电路，其表头内阻内阻R Rg g=3K=3K，满偏电流，满偏电流I Ig g=50A=50A，各挡电压量程分别为，各挡电压量程分别为U U1 1=2.5V=2.5V，U U2 2=10V=10V，U U3 3=50V=50V，U U4 4=250V=250V，U U5 5=500V=500V，试求各分压，试求各分压电阻电阻R R1 1、R R2 2、R R3 3、R R4 4、R R5 5的大小。的大小。要点：要点：l1.并联的连接方式：并联的连接方式：电路中若干个电阻连接在两个公共点之间，每个电阻电路中若干个电阻连接在两个公共点之间，每个电阻承受同一电压，这样的连接形式称为
6、电阻的并联，如图承受同一电压，这样的连接形式称为电阻的并联，如图2-1-4所示。所示。2.1.2电阻的并联及其分流电阻的并联及其分流 2.并联电阻电路的特点：并联电阻电路的特点：（1 1）并联电阻电路中，各并联电阻的端电压相同，）并联电阻电路中，各并联电阻的端电压相同，U U1 1=U=U2 2=U=U3 3（2 2）流过并联电阻电路的总电流）流过并联电阻电路的总电流I I等于各支路电流的代数等于各支路电流的代数和，即和，即I=II=I1 1+I+I2 2+I+I3 3可见，电阻并联电路具有可见，电阻并联电路具有分流分流 的特性。的特性。在实际中，电阻并联是很常用的。在实际中，电阻并联是很常用
7、的。例如各种负载例如各种负载(电灯，电炉，电烙铁等电灯，电炉，电烙铁等)都是并联在都是并联在电网上的。另外，万用表中测量电流时，为了扩展电网上的。另外，万用表中测量电流时，为了扩展量程，也是应用电阻并联分流的原理来实现的。量程，也是应用电阻并联分流的原理来实现的。例例2 22 2 欲将一内阻欲将一内阻R Rg g=2K=2K，满偏电流，满偏电流Ig=80AIg=80A的表头，构造成量程的表头，构造成量程为为1mA1mA的电流表，应如何实现的电流表，应如何实现?解：可以利用并联电路的分流特性，在表头两端并联电阻R，R称为分流电阻，如图2-1-5所示。由分流公式:2.1.3 2.1.3 电阻的串并
8、混联电阻的串并混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。一般情况下，电阻混联电路，可以通过串、并联等路。一般情况下，电阻混联电路，可以通过串、并联等效概念逐步化简，最后化为一个等效电阻。效概念逐步化简，最后化为一个等效电阻。在求解电阻混联电路时，有时电路的联接关系看起在求解电阻混联电路时，有时电路的联接关系看起来不十分清楚，这时就需要将原电路改画成串并联关系来不十分清楚，这时就需要将原电路改画成串并联关系十分清楚的电路。十分清楚的电路。改画电路时，改画电路时，应该注意在改画过程中要保证电阻元应该注意在改画过程中要保证电阻元件之间的联接关系
9、不变件之间的联接关系不变。无电阻的导线最好缩成一点，并尽量避免交叉；同无电阻的导线最好缩成一点，并尽量避免交叉；同时为防止出错，可以先标明各节点的代号，再将各元件时为防止出错，可以先标明各节点的代号，再将各元件画在相应节点间。画在相应节点间。【例】分别计算下图中开关打开与闭合时的等效电阻【例】分别计算下图中开关打开与闭合时的等效电阻RabRab。由由(b)图可知图可知K闭合闭合c与与d为同一点为同一点，故等效电阻为：，故等效电阻为：由由(C)图可知图可知K断开后，断开后，R1R1和和R3R3 串联，串联，R2R2和和R4R4 串联，然后再并联串联，然后再并联，故等效电阻为：故等效电阻为：书中的
10、例23。例如例如 如如a图所示，已知每一电阻的阻值图所示，已知每一电阻的阻值R=10，电源，电源电动势电动势E=6V，电源内电阻，电源内电阻r=0.5，求电路上的总的电流。，求电路上的总的电流。解：先将解：先将a图的电路进行整理。图的电路进行整理。A点与点与C点等电位，点等电位，B点与点与D点等电位，因此点等电位，因此UAB =UAD=UCB=UCD，即，即4个电阻两端的个电阻两端的电压都相等，故画出等效电路如电压都相等，故画出等效电路如b图所示。图所示。电路中的总的等效电阻是电路中的总的等效电阻是R总总=R/4=10/4=2.5所以，电路上的总的电流是所以，电路上的总的电流是I=E/(R总总
11、+r)=6/(2.5+0.5)=2A由以上分析与计算可以看出，混联电路计算的一般步骤为：由以上分析与计算可以看出，混联电路计算的一般步骤为：（1）首先把电路进行等效变换。也就是把不容易看清串、并联关系的）首先把电路进行等效变换。也就是把不容易看清串、并联关系的电路，整理、简化成容易看清串、并联关系的电路（整理电路过程中电路，整理、简化成容易看清串、并联关系的电路（整理电路过程中绝不能把原来的联接关系搞错）；绝不能把原来的联接关系搞错）；（2）先计算各电阻串联和并联的等效电阻值，再计算电路的总的等效）先计算各电阻串联和并联的等效电阻值，再计算电路的总的等效电阻值；电阻值；（3）由电路的总的等效电
12、阻值和电路的端电压计算电路的总电流；）由电路的总的等效电阻值和电路的端电压计算电路的总电流；（4）根据电阻串联的分压关系和电阻并联的分流关系，逐步推算出各）根据电阻串联的分压关系和电阻并联的分流关系，逐步推算出各部分的电压和电流值。部分的电压和电流值。再例如再例如求图所示的电阻组合的等效电阻求图所示的电阻组合的等效电阻Rab（已知（已知R=2，R1=4）答案：答案：图图abcdefg阻值阻值31.24310.51.22.45再例再例:求图所示电路中求图所示电路中a、b两端的等两端的等效电阻效电阻解解 把图（把图（a）逐步化简，可得图）逐步化简，可得图2.6(b)、(c)、(d)，由此由此可得可
13、得Rab=2+3=52.2 电阻的电阻的Y形连接与形连接与 形连接的等效互换形连接的等效互换 在有的电路中，电阻的连接既不是串联也不是并联。在有的电路中，电阻的连接既不是串联也不是并联。2.2.1电阻的电阻的Y形形(星形星形)连接连接把三个电阻的一端接在一起，另一端分别外电路相连，把三个电阻的一端接在一起，另一端分别外电路相连，这种连接方式叫做电阻的星形连接，又称为这种连接方式叫做电阻的星形连接，又称为Y形连接或形连接或T形形连接。如图连接。如图2-2-1所示：所示：2.1.2电阻的三角形连接电阻的三角形连接 把三个电阻分别接在三个端钮的两个之间，三个端钮分把三个电阻分别接在三个端钮的两个之间
14、，三个端钮分别与外电路相连这种连接方式叫做电阻的三角形连接，又称别与外电路相连这种连接方式叫做电阻的三角形连接，又称为为 形连接或形连接或形连接。如图形连接。如图2-2-2所示：所示：2.1.3电阻的星形连接与三角形连接之间的等效变电阻的星形连接与三角形连接之间的等效变换换 如下图中，如下图中，R R1 1、R R2 2和和R R3 3及及R R1 1、R R2 2和和R R3 3这两组电阻这两组电阻的联接就不能用串并联来等效。我们把电阻的联接就不能用串并联来等效。我们把电阻R R1 1、R R2 2和和R R3 3的的联接方式叫做联接方式叫做Y Y形联接或星形联接，这三个电阻的一端接形联接或
15、星形联接，这三个电阻的一端接在同一点在同一点(C(C点点)，另一端分别接到三个不同的端钮上，另一端分别接到三个不同的端钮上(a(a，b b，c)c)。把图中。把图中R R1 1、R R2 2和和R R3 3的联接方式叫作的联接方式叫作形联接或三角形联接或三角形联接，这三个电阻中每个电阻分别接在三个端钮形联接，这三个电阻中每个电阻分别接在三个端钮(a(a，c c，d)d)的每两个之间的每两个之间 。当电路中出现电阻的当电路中出现电阻的Y形联接形联接或形联接时，就不能用或形联接时，就不能用简单的串并联来等效。而我们发现如果把图简单的串并联来等效。而我们发现如果把图(a)中按星形联中按星形联接的接的
16、R1、R2和和R3这三个电阻等效变换成按三角形联接这三个电阻等效变换成按三角形联接Ra、Rb和和Rc时，见图时，见图(b)，则端钮，则端钮a、b之间的等效电阻就可以用串之间的等效电阻就可以用串联、并联公式求得。同样若把图联、并联公式求得。同样若把图(a)中中R1、R2和和R4等效变换等效变换成图成图(c)中中Ra、Rc和和Rb，那么，那么a、b间的等效电阻间的等效电阻Rab也就也就不难求出了。不难求出了。1星形电阻网络等效变换为三角形电阻网络星形电阻网络等效变换为三角形电阻网络等效变换公式为等效变换公式为：2三角形电阻网络等效变换为星形电阻网络三角形电阻网络等效变换为星形电阻网络等效变换公式为
17、等效变换公式为：【例】对下图所示桥式电路，求【例】对下图所示桥式电路，求1 1、2 2两端的等效电阻两端的等效电阻R R1212。解(1)将形网络134用等效Y网络代替得：然后用串并联方法可得(2)另一种方法是Y网络用等效网络替代。利用电阻串并联公式化简可得 2-3电源的连接电源的连接及两种实际电源模型的等效变换及两种实际电源模型的等效变换2.3.1电源的连接电源的连接（1）电流源并联）电流源并联如上图所示如上图所示:n个电流源相并联，对外可等效为一个电个电流源相并联，对外可等效为一个电流源，其电流为各个电流源电流的代数和，即：流源，其电流为各个电流源电流的代数和，即：（2）电压源串联）电压源
18、串联如上图所示：如上图所示：n个电压源相串联，对外可等效为一个个电压源相串联，对外可等效为一个电压源，其电压为各个电压源电压的代数和，即：电压源，其电压为各个电压源电压的代数和，即：注意：注意：(1)只有电压相等、极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电压源为其中任一电压源，但是这个并联组合向外提供的电流在各个电压源之间如何分配则无法确定。(2)只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电流源为其中任一电流源，但是这个串联组合的总电压如何在各个电流源之间分配则无法确定。(3)一个电流源IS与电压源或电阻相串联，对外就等效为一个电流源，等效电流源的电流为IS，等
19、效电流源的电压不等于替代前的电流源的电压而等于外部电压U。(4)一个电压源US与电流源或电阻相并联，对外就等效为一个电压源，等效电压源的电压为US，等效电压源中的电流不等于替代前的电压源的电流而等于外部电流I。2.3.2两种实际电源模型的等效变换两种实际电源模型的等效变换两种实际电源模型等效变换时，其端口电压与电流关两种实际电源模型等效变换时，其端口电压与电流关系应是相同的，等效电路如图所示：系应是相同的，等效电路如图所示：对于图（对于图（a a）所示实际电压源模型端口电压电流关系为：）所示实际电压源模型端口电压电流关系为：U=UU=US S-R-Ri iI I 对于图（对于图（b b）所示实
20、际电流源模型端口电压电流关系为：）所示实际电流源模型端口电压电流关系为：U=RU=Ri iI IS S-R-Ri iI I实际电压源模型和实际电流源模型等效变换条件为：实际电压源模型和实际电流源模型等效变换条件为：特别注意：特别注意：（1）在等效的过程中注意电压源的参考极性与电流源的参）在等效的过程中注意电压源的参考极性与电流源的参考方向，电流源的参考方向一定是要指向电压源的正极性端。考方向，电流源的参考方向一定是要指向电压源的正极性端。（2）两种实际电源模型等效变换是指外部等效，对外部电）两种实际电源模型等效变换是指外部等效，对外部电路各部分的计算是等效的，但对电源内部的计算是不等效的。路各
21、部分的计算是等效的，但对电源内部的计算是不等效的。（3）理想电压源与理想电流源不能进行等效变换。）理想电压源与理想电流源不能进行等效变换。例例2-5试将图试将图2-3-4（a）中的实际电压源模型转换为电流）中的实际电压源模型转换为电流源模型，将图源模型，将图2-3-4（b）中的实际电流源模型转换为电压源）中的实际电流源模型转换为电压源模型。模型。利用两种实际电源模型等效变换，可以简化电路的分利用两种实际电源模型等效变换，可以简化电路的分析计算。析计算。学生动手做例学生动手做例26。注意：在用两种电源模型的等效变换来做题时，其中要注意：在用两种电源模型的等效变换来做题时，其中要求的电流所在的支路
22、通常在做题过程中不要参与变换！求的电流所在的支路通常在做题过程中不要参与变换！再例再例:试求图试求图2.15(a)2.15(a)所示电路中的电流所示电路中的电流I I1 1、I I2 2、I I3 3。解：电流源与电压源变换如上图解：电流源与电压源变换如上图(a)(b)(c)解解：根根据据电电源源模模型型等等效效变变换换原原理理可可将将图图(a)依依次次变变换换为为图图(b)(c)。根据图根据图(c)可得可得从图从图(a)(a)变换到图变换到图(c)(c)，只有，只有acac支路未经变换，故知在图支路未经变换，故知在图(a)(a)的的acac支路中电流大小方向与已求出的支路中电流大小方向与已求
23、出的I I完全相同，即为完全相同，即为1A1A，则：，则：再根据图再根据图(a)得：得：2.4基尔霍夫定律基尔霍夫定律2.4.1关于电路结构的几个名词关于电路结构的几个名词1.1.支路：支路：电电路中通路中通过过同一同一电电流的每一个分支，流的每一个分支，该该分支上至少有一分支上至少有一个元件，个元件，这这个分支称个分支称为为支路。支路。图图2-4-12-4-1中中bafbaf、bcdbcd、bebe均均为为支路，支路，fefe则则不是支路。不是支路。流过支路的电流，称为支路电流过支路的电流，称为支路电流。含有电源的支路叫含源支流。含有电源的支路叫含源支路，图路，图2-4-1中中baf、bcd
24、为含为含源支路，不含电源的支路叫无源支路，不含电源的支路叫无源支路，图源支路，图2-4-1中中be为无源为无源支路。支路。2.节点：节点：三条或三条以上支路的连接点叫节点。上图中三条或三条以上支路的连接点叫节点。上图中b点和点和e点都是节点。点都是节点。3.回路：回路：电路中任意闭合路径叫回路。上图中电路中任意闭合路径叫回路。上图中abef、bcde、acdf都是回路。都是回路。4.网孔：网孔：内部没有跨接支路的回路叫网孔。上图中内部没有跨接支路的回路叫网孔。上图中abef、bcde都是网孔。都是网孔。2.4.2 2.4.2 基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(KCL)(KCL)任一时刻，流入电
25、路中任一节点的电流之和任一时刻，流入电路中任一节点的电流之和等于流出等于流出该节点的电流之和，即：该节点的电流之和，即：节点电流方程 注意：注意：（1 1）KCLKCL中所提到的电流的中所提到的电流的“流入流入”与与“流出流出”，均，均以以电流的参考方向为准电流的参考方向为准，而不论其实际方向如何。流入节点的，而不论其实际方向如何。流入节点的电流是指电流的参考方向指向该节点，流出节点的电流其参电流是指电流的参考方向指向该节点，流出节点的电流其参考方向背离该节点。考方向背离该节点。（2 2）KCLKCL可改写为可改写为I I=0=0。即：对电路任一节点而言，电流的代数和恒等于零。即：对电路任一节
26、点而言，电流的代数和恒等于零。例例2-7 2-7 如图如图2-4-22-4-2电路中，已知电路中，已知I I1 1=1A=1A，I I2 2=2A=2A，I I5 5=3A=3A，求该电路的未知电流。求该电路的未知电流。解：由解：由KCL定律定律。对对于于节节点点a，有，有I3=I1+I2=1+2=3A对对于于节节点点b，有，有 I5=I3+I4 所以所以I4=I5-I3=3-3=0A对对于于节节点点c，有，有I6=I2+I4=2+0=2A KCLKCL的推广：的推广：lKCLKCL不仅适用于电路中的任一节点，还可用于电路中不仅适用于电路中的任一节点，还可用于电路中任意假定的闭合曲面。任意假定
27、的闭合曲面。l如下左图所示，若用一闭合曲面将三极管包围起来如下左图所示，若用一闭合曲面将三极管包围起来,在图示电流参考方向情况下，应用在图示电流参考方向情况下，应用KCLKCL可得：可得：2.4.3基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(KVL)任一时刻，沿任一闭合回路内各段电压的代数和恒等于零任一时刻，沿任一闭合回路内各段电压的代数和恒等于零-绕闭合回路一周绕闭合回路一周,电压的升降为电压的升降为0 0l注意：注意：（1）在列写回路电压方程时，首先应选定回路的）在列写回路电压方程时，首先应选定回路的绕行方向。凡电压参考方向与回路绕行方向一致时，该电绕行方向。凡电压参考方向与回路绕行方向一致时，该电
28、压取正：凡电压参考方向与回路绕行方向相反时，该电压压取正：凡电压参考方向与回路绕行方向相反时，该电压取负。取负。l（2 2）KVLKVL 不管是线性电路还是非线性电路，定律都是适应不管是线性电路还是非线性电路，定律都是适应的，对于电阻这种特殊情况，若把电阻元件上电压的，对于电阻这种特殊情况，若把电阻元件上电压U U（u u）与电流与电流I I(i)(i)的关系代入可得到的关系代入可得到KVLKVL的另一种表达式：的另一种表达式：直流时直流时(RI+U(RI+US S)交流时交流时(Ri+u(Ri+uS S)。l当流过电阻的电流、电压与回路的绕行方向选取一致，则当流过电阻的电流、电压与回路的绕行
29、方向选取一致，则RIRI（R Ri i）和）和U US S(u(us s)为为“+”“+”，反之则取，反之则取“-”“-”。l（3 3）如果回路为一单回路通常选回路的绕行方向与回路的）如果回路为一单回路通常选回路的绕行方向与回路的电流的参考方向一致。电流的参考方向一致。例例2-82-8如图电路中，如图电路中，U US1S1=100V,U=100V,US2S2=150V,R=150V,R1 1=15,R=15,R2 2=25,R=25,R3 3=40,R=40,R4 4=20=20试求电路中的电流试求电路中的电流I I 及及A A、B B两点间的电压两点间的电压U U。解：设回路绕行方向与回路电
30、流参考方向一致，由解：设回路绕行方向与回路电流参考方向一致，由KVLKVL定定律，列回路电压方程如下：律，列回路电压方程如下：-U-US1S1+R+R1 1I+UI+US2S2+R+R2 2I+RI+R3 3I+RI+R4 4I=0I=0则则:U UABAB=U=US2S2+U+UR2R2+U+UR3R3=U=US2S2+R+R2 2I+RI+R3 3I=117.5VI=117.5V2.KVL2.KVL的推广：的推广：KVL KVL不仅适用于闭合回路，还可推广应用于电路的任不仅适用于闭合回路，还可推广应用于电路的任意不闭合回路，但列写回路电压方程时，必将开路处电压意不闭合回路，但列写回路电压方
31、程时，必将开路处电压列入方程。列入方程。如图为某电路的一部分，如图为某电路的一部分，a a、b b两点间没有闭合，设回路两点间没有闭合，设回路绕行向为顺时针，由绕行向为顺时针，由KVLKVL可得可得 U Ua a-U-US3S3-U-US1S1-U-UR1R1-U-UR3R3=U=Ub bU Uabab=U=Ua a-U-Ub b=U=US3S3+U+US1S1+U+UR1R1+U+UR3R3 可见，可见，a a、b b两点间电压等于从两点间电压等于从a a到到b b路径上，各个元件路径上，各个元件电压电压U Ui i的代的代 数和，若元件电压参考方向与从数和，若元件电压参考方向与从a a到到
32、b b方向一致，方向一致，则该电压则该电压 取正；反之，取负。利用上式，可以很方便地取正；反之，取负。利用上式，可以很方便地计算电路中任意两点之间的电压。计算电路中任意两点之间的电压。例例2-9 2-9 如图如图2-4-52-4-5所示电路中，所示电路中，已知已知U US1S1=2V,U=2V,US2S2=12V,U=12V,US3S3=6V,R=6V,R1 1=4,R=4,R2 2=1,R=1,R3 3=3=3,试求试求a a、b b两点间的电压两点间的电压UabUab。解：因为解：因为a,b a,b 两端为开路，所两端为开路，所以电路中只有一个闭合的回路，以电路中只有一个闭合的回路，选回选
33、回 路的绕行方向与其电流的参路的绕行方向与其电流的参考方向一致，如图所示，则据考方向一致，如图所示，则据KVLKVL得：得：2.5 2.5 支路电流法支路电流法 复杂电路复杂电路-组成电路的电阻元件不能用简单的串并联方法计算组成电路的电阻元件不能用简单的串并联方法计算其等效电阻的电路。其等效电阻的电路。在计算复杂电路的各种方法中，必须用电源等效变换在计算复杂电路的各种方法中，必须用电源等效变换来化简电路，支路电流法是最基本，最直观的方法。来化简电路，支路电流法是最基本，最直观的方法。支路电流法支路电流法-以支路电流为未知量，根据以支路电流为未知量，根据KCL和和KVL列出独立的列出独立的支路电
34、流方程和独立的回路电压方程，然后联立求解方程支路电流方程和独立的回路电压方程，然后联立求解方程的分析方法，从而求解出各支路电流。的分析方法，从而求解出各支路电流。支路电流法求解电路的方法：支路电流法求解电路的方法：（1 1）先找出电路中一共有几条支路，然后设每个支路电流）先找出电路中一共有几条支路，然后设每个支路电流为未知要求量，并在相应的支路处标出各个电流。为未知要求量，并在相应的支路处标出各个电流。（2 2）然后标出电路中的节点，然后据）然后标出电路中的节点，然后据KCLKCL列写方程。注：因列写方程。注：因为在电路中若有为在电路中若有n n个节点，只能列出（个节点，只能列出（n-1)n-
35、1)个独立的节点方个独立的节点方程，所以在列程，所以在列KCLKCL方程时只要列（方程时只要列（n-1)n-1)个节点方程就可。个节点方程就可。（3 3）找出电路中的网孔，并且标出网孔的绕行方向，然后）找出电路中的网孔，并且标出网孔的绕行方向，然后据据KVLKVL列写出回路方程。列写出回路方程。（4 4）将（）将（2 2）（）（3 3）步中列出的方程组成一个方程组，求解）步中列出的方程组成一个方程组，求解出支路电流。出支路电流。1、设设各各支支路路电电流流为为 I1、I2、I3，参参考考方方向向如如图图所所示示。该该电电路路有有三三条条支支路路，二个节点。二个节点。2 2、根据、根据KCLKC
36、L列出节点列出节点a a和和b b的电流方程：的电流方程：节点节点a Ia I1 1+I+I2 2-I-I3 3=0=0；节点；节点b -Ib -I1 1-I-I2 2+I+I3 3=0=0三个回路方程中，任何一个方三个回路方程中，任何一个方程都可以从其它两个方程导出。程都可以从其它两个方程导出。所以三个方程中只有两个是独所以三个方程中只有两个是独立的。立的。3 3、上图电路中有三个回路，根据、上图电路中有三个回路，根据KVLKVL列出回路电压方程。其列出回路电压方程。其回路绕行方向示于图中。回路绕行方向示于图中。举例说明举例说明上两式中只是各量正负相反，显然只有一个方程是独立的。上两式中只是
37、各量正负相反，显然只有一个方程是独立的。一般说来，对具有一般说来，对具有n n个节点的电路应用个节点的电路应用KCLKCL列方程式时，只能列方程式时，只能得出得出(n-1)(n-1)个独立方程。个独立方程。（1 1）从电路中可看出共有）从电路中可看出共有3 3条支路，标上其支路电流分条支路，标上其支路电流分别为别为I I1 1、I I2 2、I I3 3 （2 2）从电路可看出一共有两个节点）从电路可看出一共有两个节点e e、b b。可用其中的任何一。可用其中的任何一个列写个列写KCLKCL方程，若用节点方程，若用节点b,b,则有：则有：I I1 1+I+I2 2-I-I3 3=0=0(3)(
38、3)在电路中找出两个网孔，分别为在电路中找出两个网孔，分别为abefa,bcdeb,abefa,bcdeb,标出其标出其网孔的绕行方向如图所示，据网孔的绕行方向如图所示，据KVLKVL列回路方程，则有：列回路方程，则有：解由以上三个方程构成得方程组即可求出三个支路电流。解由以上三个方程构成得方程组即可求出三个支路电流。2-6网孔电流法网孔电流法2.6.1网孔方程网孔方程用支路电流法求解电路时，需要求解用支路电流法求解电路时，需要求解b个独立方程，当个独立方程，当电路复杂时，计算量也就相当繁重。为了减少求解方程数，电路复杂时，计算量也就相当繁重。为了减少求解方程数，可采用网孔电流为电路变量（未知
39、量）来列写方程，这种可采用网孔电流为电路变量（未知量）来列写方程，这种方法称为网孔分析法，也称为网孔电流法。方法称为网孔分析法，也称为网孔电流法。若若I I1 1=I=Ia a，I I2 2=I=IC C分别看作是沿分别看作是沿网孔网孔1 1和网孔和网孔2 2流过的电流流过的电流网孔电流，其参考方向如网孔电流，其参考方向如左图所示。则有：左图所示。则有：R R1212与与R R2121为两个网孔的公共电阻为两个网孔的公共电阻(R(R1212=R=R2121=R=R2 2)，称为互电阻。，称为互电阻。由于列方程时网孔绕行的方向选定为与网孔电流参考方由于列方程时网孔绕行的方向选定为与网孔电流参考方
40、向一致，所以自电阻总是正的。当通过互电阻的网孔电向一致，所以自电阻总是正的。当通过互电阻的网孔电流的参考方向一致时，互电阻流的参考方向一致时，互电阻R R1212与与R R2121取正；当与参考方取正；当与参考方向相反时，互电阻向相反时，互电阻R R1212与与R R2121取负。如本例中互电阻取负。如本例中互电阻R R1212=R=R2121=-R=-R2 2 。式中的US11和US22分别表示两个网孔电压源电压的代数和。各电压源电压顺着绕行方向由负极到正极取正号；US11=US1-US2，US22=US2-US1相反则取负号。2.6.2网孔分析法的计算步骤网孔分析法的计算步骤l（1）选定各
41、网孔电流的参考方向，它们也是列方程时的）选定各网孔电流的参考方向，它们也是列方程时的绕行方向。绕行方向。l（2）列网孔方程）列网孔方程R R1111、R R2222、RRmmmm 等有相同下标的电阻为各网孔的自电阻，等有相同下标的电阻为各网孔的自电阻，它们分别是各网孔电阻之和，恒为正值。它们分别是各网孔电阻之和，恒为正值。R R1212、R R1313、R R2323有不同下标的电阻为互电阻，分别等于有不同下标的电阻为互电阻，分别等于两个相关网孔的公共电阻，通过公共电阻的两个网孔电流两个相关网孔的公共电阻，通过公共电阻的两个网孔电流参考方向相同时，互电阻取正值，否则取负值；如果两个参考方向相同
42、时，互电阻取正值，否则取负值；如果两个网孔之间没有公共电阻，则相应的互电阻为零。网孔之间没有公共电阻，则相应的互电阻为零。一般情况下有一般情况下有R RjKjK=R=RKjKj（含受控源的电路除外）。（含受控源的电路除外）。式中右端项式中右端项 U Us11s11、U Us22s22 、UUsmmsmm分别为各个网孔电压源分别为各个网孔电压源电压的代数和。各电压源电压顺着绕行方向由负极到正电压的代数和。各电压源电压顺着绕行方向由负极到正极取正号；相反则取负号。极取正号；相反则取负号。（3 3）求解网孔方程，解得网孔电流。）求解网孔方程，解得网孔电流。（4 4）指定各支路电流的参考方向，支路电流
43、则为有关）指定各支路电流的参考方向，支路电流则为有关网孔电流的代数和。网孔电流的代数和。在网孔分析法中，省略了在网孔分析法中，省略了KCLKCL方程，与支路电流法比方程，与支路电流法比较，联立方程的数目由等于支路数减少到网孔数，因而较，联立方程的数目由等于支路数减少到网孔数，因而计算有所简化。但网孔分析法只适用于平面电路。计算有所简化。但网孔分析法只适用于平面电路。一般在平面电路内可选网孔作为回路，列网孔方程，保证了方程一般在平面电路内可选网孔作为回路，列网孔方程，保证了方程的独立性。或选取独立回路列方程，所谓独立回路是指每次所选回路的独立性。或选取独立回路列方程，所谓独立回路是指每次所选回路
44、中至少有一条新支路中至少有一条新支路(即该支路在已选取的回路里未出现过即该支路在已选取的回路里未出现过)，这样的回，这样的回路列出的方程是独立的。但是应该注意电路的网孔个数和独立回路的路列出的方程是独立的。但是应该注意电路的网孔个数和独立回路的个数相等，独立回路却不一定是网孔，而网孔却是独立回路。个数相等，独立回路却不一定是网孔，而网孔却是独立回路。一个电路如果有一个电路如果有n n个节点，个节点，b b条支路，那么网孔条支路，那么网孔(或独立回路或独立回路)数为数为m=b-(n-1)m=b-(n-1)个。个。把独立节点电流方程与独立回路的电压方程联立起来，如下式，三把独立节点电流方程与独立回
45、路的电压方程联立起来，如下式，三个未知量，三个方程刚好求解出支路电流。个未知量，三个方程刚好求解出支路电流。从以上的讨论中看出，对复杂电路来说，从以上的讨论中看出，对复杂电路来说，参考方向尤为重要。参考方向尤为重要。支路电流法首先要选定支路电流及参考方向，其次根据支路电流法首先要选定支路电流及参考方向，其次根据KCLKCL与与KVLKVL列出独列出独立的方程，然后求解出支路电流。立的方程，然后求解出支路电流。例例用网孔法求图所示电路的各支路电流。用网孔法求图所示电路的各支路电流。解解（1）选择各网孔电流的参考方向选择各网孔电流的参考方向,如图所示。如图所示。计算各网孔计算各网孔的自电阻和相关网
46、孔的互电阻及每一网孔的电源电压。的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。【例】如图所示电路，用支路电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。解：设各支路电流为I1、I2、I3，参考方向如图所示，电流源端电压为U参考方向如图所示。根据KCL和KVL列出下述方程。解得 I1=-0.4A，I3=1.6A，U=148V 注意：注意：此题应注意根据KVL列回路2的方程时，要把电流源两端电压考虑进去。而电流源所在支路的支路电流大小就等于电流源的电流大小，方向相同，则I=IS，否则I=-IS。【例】如图所示电路，用网孔电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。2.6.3含电流源支路时的求解方法含
47、电流源支路时的求解方法如果电路中存在电流源与电阻的并联组合时，应先把它如果电路中存在电流源与电阻的并联组合时，应先把它们等效变换为电压源与电阻的串联组合，然后再列出方程。们等效变换为电压源与电阻的串联组合，然后再列出方程。但如果电路中存在理想电流源（与电流源并联电阻为无穷大）但如果电路中存在理想电流源（与电流源并联电阻为无穷大）支路时，为按上式列网孔方程，要做特殊处理。支路时，为按上式列网孔方程，要做特殊处理。（1 1）当理想电流源在边界支路时，所在网孔的电流成当理想电流源在边界支路时，所在网孔的电流成为已知量，等于该电流源的电流，因而不必再列写该网孔的为已知量，等于该电流源的电流，因而不必再
48、列写该网孔的网孔方程。网孔方程。（2 2）当理想电流源在公共支路时，应把电流源电压设当理想电流源在公共支路时，应把电流源电压设为新的未知变量列入网孔方程，并将电流源电流与相邻两个为新的未知变量列入网孔方程，并将电流源电流与相邻两个网孔电流的关系作为补充方程，一并求解。网孔电流的关系作为补充方程，一并求解。2.7 2.7 节点电位法节点电位法 节点电压法是以电路中的节点电压为未知量，根据节点电压法是以电路中的节点电压为未知量，根据KCL写写出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。这种方法对多支路两节点电路的计算尤为简便。这种方法对多
49、支路两节点电路的计算尤为简便。所谓节点电压是指电路中任一节点到参考点之间的电压。所谓节点电压是指电路中任一节点到参考点之间的电压。电电路中，任意选择某一节点为参考节点，其他节点与参考节点间路中，任意选择某一节点为参考节点，其他节点与参考节点间的电压便是节点电压。节点电压的参考极性以参考节点为负。的电压便是节点电压。节点电压的参考极性以参考节点为负。所以分析电路之前，应首先选择一个节点为参考点（该节所以分析电路之前，应首先选择一个节点为参考点（该节点电位为点电位为0 0），其余各节点到参考点的电压就是要求解的节点），其余各节点到参考点的电压就是要求解的节点电压，有时又叫节点电位。一旦求出各节点电
50、压，再利用欧电压，有时又叫节点电位。一旦求出各节点电压，再利用欧姆定律和不闭合回路的姆定律和不闭合回路的KVLKVL，就可求出各支路电流或电压。，就可求出各支路电流或电压。图中IS1，US1及R1，R2，R3，R4，R5均为已知。设以节点O为参考点，则节点1和节点2的节点电压分别为U10，U20。本书规定节点电压的参考极性均以参考点处为负极性。各支路电流的参考方向标在图上，根据KCL写出 根据欧姆定律和不闭合电路KVL得：将各支路电流代入节点方程并整理得：或用电导表示电阻得:由上两式可解得，将代入支路电流表达式中，就可以求出各支路电流了。上式的一般式为：式中G11=G1+G2+G3，G22=G