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1、例1变速直线运动的速度 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望例例1.1.变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时,有这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的，因此441 1导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入 由于变速直线运动物体的速度 V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?设一物体作变速直线运动，在0,t
2、这段时间内所走路程为 S=S(t).下求V(t0)如图SS(t0)S(t0+t)0 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0,t0+t 这段时间内所走路程为S =S(t0+t)S(t0)物体在 t0,t0+t 这段时间内的平均速度为 t越小，近似值就越接近精确值V(t0).当t无限变小时，近似值就会无限接近也就是精确值V(t0).例例2.2.曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言.这一定义是不合适的.如y=x2,x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20
3、 xy又如，y=x3,如图又比如，y=sinx,如图0 xy=x3y0 xyy=sinx11切线的一般定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN 下面讨论曲线C：y=f(x),在点M(x0,y0)处的切线斜率问题.设N的坐标为(x0+x,y0+y),割线MN的倾角为,切线MT的倾角为.如图Ty=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0P割线 MN 的斜率当x0 时,N 沿 C 趋于M,MN MT.从而.因此,tgtg.Ty=f(x)Mxx0 x0
4、+xxy0NCy0+yy0PTy=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率：P定义：定义：设 y=f(x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.如果当x0时，的极限存在,则称这个极限值为f(x)在x0处的导数，记作f (x0),即二、导数的定义二、导数的定义存在，则称f(x)在x0可导(或称f(x)在 x0 的导数存在).否则，称f(x)在x0不可导(或称 f(x)在 x0的导数不存在).特别注注1.1.若若记x=x0+x,当x0时,x x0,特别，取x0=0,且若 f(0)=0,有注注2.2.导数定义还有其他等价形式,注注3.3.对于例1,有对于例2,曲线y=f(x)
5、在点 M(x0,f(x0)处切线斜率注注4.4.由于称为 f(x)在x0的右导数.称为 f(x)在x0的左导数.有,f(x)在x0可导 f(x)在x0的左,右导数存在且相等.注注5.5.若 y=f(x)在(a,b)内每点可导，则称 f(x)在(a,b)内可导.此时，x(a,b)都有唯一确定的值f(x)与之对应，所以导数是x的函数.称为y=f(x)的导函数,按定义，f (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.而f(x0)就是f(x)在x=x0处的函数值，即另外，求注注6.6.用定义求导数一般可分三步进行.设y=f(x)在点x处可导(1)求y=f(x+x)f(x)(2)求比值(3)
6、求极限三、求导举例三、求导举例例例3.3.求 y=C(常数)的导数.解：解：(1)y=f(x+x)f(x)=C C=0(2)(3)故(C)=0,即常数的导数为0.例例4.4.设 y=f(x)=xn.n为正整数，求f(x).解：解：(1)y=f(x+x)f(x)=(x+x)n xn(2)(3)即 (xn)=nx n 1比如，(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数y=x,为实数有 (x)=x1比如例例5.5.求y=sinx的导数.解：解：(1)y=sin(x+x)sinx(2)(3)即即(sinx)=cosx类似类似 (cosx)=sinx例例6.6.求y=ax的导数，其中a
7、0,a1.解：解：从而即即 (ax)=axlna特别，取特别，取a=e,则则 (ex)=ex例例7.7.求y=logax 的导数，其中a0,a1,x0,并求y|x=1.解：解：即特别，取a=e,则从而由例2知,函数y=f(x)在x0处的导数 f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率，即 k=f(x0).法线方程为一般,若f(x0)存在,则y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线方程为四、导数的几何意义四、导数的几何意义特别，(i)当f(x0)=0时，即k=0.从而切线平行于x轴.因此，法线垂直于x轴.如图切线方程：y=f(x0).法线方程：x=x0.y=f(x)0
8、xyMf(x0)x0(2)当f(x0)=(不存在).即k=tg=.故从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.切线方程：x=x0.法线方程：y=f(x0).如图,单位圆在(1,0)处切线方程:x=1.法线方程:y=0.0 xy11又如图由于在原点(0,0)处,xy0(不存在)从而切线方程:x=0,法线方程:y=0.例例8.8.求过点(2,0)且与曲线y=ex相切的直线方程.解：解：由于点(2,0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y f(x0)=f(x0)(x x0).由于(ex)=ex,因切线过点(2,0),代入,得得x0=3.所求切线为y e3=e3(x3)定理定理.若y=f(x)在 x0
9、可导，则y=f(x)在 x0必连续.证：证：因f(x)在 x0可导，即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系由极限与无穷小量的关系，有或故 定理的逆命题不成立，即,若y=f(x)在x0连续，y=f(x)在x0不一定可导.例例.讨论f(x)=|x|在 x=0 处的可导性和连续性.解：解：由于故|x|在x=0连续.但|x|在x=0不可导.因f(x)=|x|=x,x0 x,x0,实数)的导数解：解：y=e lnx例例11.11.求y=sinnxsinnx的导数，n为常数.解：解：定理定理3.3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调,可导,(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且证
10、：证：由于x=(y)在Iy内严格单调、连续.从而它的反函数y=f(x)存在,并在Ix内有相同的单调性,同时,y=f(x)在Ix内连续.即下证三、反函数求导法则三、反函数求导法则xIx,给改变量x0,相应的函数y=f(x)有改变量由于 x=(y)和 y=f(x)互为反函数，即，即x也就是函数x=(y)的改变量.因y=f(x)连续，故当x0时，y0，且(y)0例例11.11.证明证：证：y=arc sinx是x=siny的反函数.x=siny在内单调，可导，且(siny)=cosy 0,所以在对应区间(1,1)内，有例例12.12.证明证：证：y=arc tgx是x=tg y在上的反函数x=tg
11、y在内单调，可导，且例例13.13.设解：解：=当 x 0且|x|a时当x a 时=P106 P107四、导数公式表四、导数公式表说明：说明：公式12(1)当 x 0时，(2)当 x 0时，综合(1)、(2)有公式17因为类似得公式18例例14.14.解解:例例15.15.设sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f(x)的导数,并指出 f(x)的不可导点.解解:当 x 0时,f (x)=(sinx)=cosx.当 0 x ln3时,f (x)=(ex1)=ex.当 ln3 x时,f (x)=(2x2)=4x.f(x)=考虑分段点 x=0,ln3处的导数.=1 (当x 0时
12、,f(x)=sinx)=1(当 0 x ln3时,f(x)=ex1)由于 f (0)=f+(0)=1,故 f(0)=1.由于当 0 x ln3时,f(x)=ex1.当 ln3 x时,f(x)=2x2.故 f(ln3)=eln31=2.从而所以 f(x)=ln3 处不可导.综合,f (x)=cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在(,+)内可导.解解:由于可导必连续,故要使 f(x)可导,必先使 f(x)连续.由于 f(0)=3故 a=2,b=3时,f(x)在(,+)可导.得 b=3.f(x)=以前所接触到的函数通常是y=f(x)的形式,即左边是y,而右边是一个不含y的表达
13、式.如我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.五、隐函数求导法则五、隐函数求导法则比如，给二元方程 y3+2x21=0任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的一个y来即，任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此,y是x的函数.称y为由方程y3+2x21=0所确定的隐函数.定义：定义：设有二元方程F(x,y)=0，如果对任意的 xIx,存在唯一的y满足方程F(x,y)=0,则称方程F(x,y)=0在Ix上确定了一个隐函数y=y(x).有些隐函数很容易表成显函数的形式.如，由y3+2x21=0，解得把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化.有些隐函数不一定能显化或
14、者很难显化.如 yx siny=0 (0 0,x 0两边对x求导,注意到y是x的函数,从而lny是x的复合对数.从而解解(二二)：由于对y=f(x)两端取对数时要求y 0.这限制了对数求导法的应用范围.应想办法去掉这种限制.两边取绝对值,再取对数.设y=f(x)g(x).其中f(x),g(x)均非0且在点x处可导。(i)当y 0时,(ii)当y 0时,同理,当f(x),g(x)不等于0时,得即注意注意:对数求导法只能求使y0的x处的导数.若要求使y=0的x处的导数,则须另想办法.例例23.23.解解:可用对数求导法求导数.两边对x求导,y是x的函数.故例例20.20.解解:由于f(0)=0.不能用对数求导法.