最新差分方程初步PPT课件.ppt

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1、差分方程初步差分方程初步第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一、一、差分的概念差分的概念定定义义1 设设函函数数yt=f(t)在在t=,-2,-1,0,1,2,处处有有定定义义,对对应应的的函函数数值值为为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则则函函数数yt=f(t)在在时时间间t的的一一阶阶差分差分定定义为义为 yt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)依此定依此定义类义类推推,有有 yt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),yt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),例例如如,函函数数yt=at+C(a为为已已知知常常数数,C为为任任意意常常数

2、数)是是差差分分方方程程yt+1-yt=a的的通通解解.而而函函数数yt=at,yt=at-1,均均是是这这个差分方程的特解个差分方程的特解.由由差差分分方方程程的的通通解解来来确确定定它它的的特特解解,需需要要给给出出确确定定特特解解的的定定解解条条件件.n阶阶差差分分方方程程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常常见见的定解条件的定解条件为为初始条件初始条件.y0=a0,y1=a1，,yn-1=an-1，这这里里a0,a1,a2,，an-1均均为为已知常数已知常数 只只要要保保持持差差分分方方程程中中的的时时间间滞滞后后结结构构不不变变,无无论论对对t提提前前或或推推后后一一个个相相同

3、同的的等等间间隔隔值值,所所得得新新方方程程与与原原方方程程是等价的是等价的,即二者有相同的解即二者有相同的解.例如例如,方程方程ayt+1-byt=0与方程与方程ayt+2-byt+1=0都是相互等价的都是相互等价的 四、四、线性差分方程及其基本定理线性差分方程及其基本定理 形如形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的的差差分分方方程程,称称为为n阶阶非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程.其其中中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和和 f(t)都都 是是 t的的 已已 知知 函函 数数,且且an(t)0,f

4、(t)0.而形如而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的的 差差 分分 方方 程程,称称 为为 n阶阶 齐齐 次次 线线 性性 差差 分分 方方 程程.其其 中中ai(t)(i=1,2,，n)为为t的已知函数的已知函数,且且an(t)0.如果如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均均为为常数常数(an0),则则有有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分分别别称称为为n阶阶常系数非常系数非齐齐次次线线性差分方程性差分方程和和n

5、阶阶常系常系数数齐齐次次线线性差分方程性差分方程.定理定理1(齐齐次次线线性差分方程解的叠加原理性差分方程解的叠加原理)若若y1(t),y2(t),ym(t)是是齐齐次次线线性差分方程性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的m个特解个特解(m2),则则其其线线性性组组合合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Amym(t)也是方程也是方程 的解的解,其其中中A1，A2，Am为为任意常数任意常数定理定理2 n阶齐次线性差分方程阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0一定存在一定存在n个线性

6、无关的特解个线性无关的特解定理定理3(齐齐次次线线性差分方程通解性差分方程通解结结构定理构定理)如如 果果 y1(t),y2(t),yn(t)是是 齐齐 次次 线线 性性 差差 分分 方方 程程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的n个个线线性性无无关关的的特解特解,则则方程方程 的通解的通解为为：yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)，其中其中A1，A2，An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数 定理定理4(非非齐齐次次线线性差分方程通解性差分方程通解结结构定理构定理)如如果果 (t)是是非非齐齐次次线线性性方方程程yt+n+a1

7、(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的的一一个个特特解解,yA(t)是是其其对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的通解通解,那么那么,非非齐齐次次线线性差分方程的通解性差分方程的通解为为：y(t)=yA(t)+(t)即即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+(t)，这这里里A1，A2,An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 一一阶阶常系数常系数线线性差分方程的一般形式性差分方程的一般

8、形式为为yt+1+ayt=f(t)和和yt+1+ayt=0,其其中中f(t)为为t的的已已知知函函数数,a0为为常常数数.分分别别称称为为一一阶阶常常系数非系数非齐齐次次线线性差分方程性差分方程和其和其对应对应的的齐齐次差分方程次差分方程.一、一、齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解将方程将方程yt+1+ayt=0改写改写为为:yt+1=-=-ayt,t=0,1,2,假假定定在在初初始始时时刻刻(即即t=0)时时,函函数数yt取取任任意意值值A,那那么么由由上式逐次迭代上式逐次迭代,算得算得y1=-=-ay0=-=-aA,y2=-=-ay1=(-a)2A,方程的通解方程的通解为为yt=A(-a

9、)t,t=0,1,2,如果如果给给定初始条件定初始条件t=0时时yt=y0,则则A=y0,此此时时特解特解为为：yt=y0(-a)t 二、二、非齐次方程的通解与特解非齐次方程的通解与特解1.迭代法求通解迭代法求通解将方程改写将方程改写为为 yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,逐步迭代逐步迭代,则则有有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),由数学由数学归纳归纳法法,可得可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1)=(-a)ty0

10、+,(t=0,1,2,)，yA(t)=(-a)ty0为为 对应对应的的齐齐次方程次方程 的通解的通解.解解例例方程的通解方程的通解 2.待定系数法求特解待定系数法求特解情形情形 f(t)为常数为常数方程方程变为变为yt+1+ayt=b,a,b均均为为非零常数非零常数试试以以 (为为待定常数待定常数)形式的特解代入方程得形式的特解代入方程得 +a =(1+a)=b当当a-1时时,可求得特解可求得特解当当a=-=-1时时,改改设设特特解解 (为为待待定定系系数数),将将其其代代入方程得入方程得 (t+1)+a t=(1+a)t+=b 求得特解求得特解方程的通解为方程的通解为 解解例例情形情形 f(

11、t)为为t的多项式的多项式不妨不妨设设f(t)=b0+b1t(t的一次多的一次多项项式式),即即 yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,，其中其中a,b0,b1均均为为常数常数,且且a0,b10试试以特解以特解 =+t,(,为为待定系数待定系数)代入方程得代入方程得+(t+1)+a(+t)=b0+b1t，上式对一切上式对一切t值均成立值均成立,其充分必要条件是：其充分必要条件是：当当1+a0时时,即即a-1时，时，方程的特解为方程的特解为 当当a=-1时时,改设特解改设特解 =(+t)t=t+t2 将其代入方程可求得特解将其代入方程可求得特解方程的通解为方程的通解为 解解例例情形情形 f

12、(t)为指数函数为指数函数 不妨不妨设设f(t)=bdt,b,d均均为为非零常数非零常数,方程方程变为变为 yt+1+ayt=bdt,t=0,1,2,求得特解求得特解当当a+d0时时,设设方方程程有有特特解解 =dt,为为待待定定系系数数.将将其其代代入方程得入方程得 dt+1+a dt=bdt,当当a+d=0时时,改改设设方方程程的的特特解解 =tdt,为为待待定定系系数数,将将其代入方程可求得特解其代入方程可求得特解=btdt 方程的通解为方程的通解为 解解例例情形情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数为正弦、余弦型三角函数 设设f(t)=b1cos t+b2sin t,其其中中b1,b2,

13、均均为为常常数数,且且 0,b1与与b2不同不同时为时为零零.于是非于是非齐齐次方程次方程变为变为yt+1+ayt=b1cos t+b2sin t,a0,t=0,1,2,设设方程有特解方程有特解 =cos t+sin t,均均为为待定系数待定系数.将其代入方程得将其代入方程得 cos(t+1)+sin(t+1)+a cos t+a sin t =b1cos t+b2sin t,(cos+sin +a)cos t+(-sin +cos +a)sin t=b1cos t+b2sin t(cos+sin +a)cos t+(-sin +cos +a)sin t=b1cos t+b2sin t 上式对

14、上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是恒成立的充分必要条件是 其系数行列式其系数行列式 当当D0时时,则可求得其解则可求得其解当当D=(a+cos)2sin2=0时时,则则有有改设特解改设特解 代入方程并整理可得代入方程并整理可得 方程的通解为方程的通解为 例例 求差分方程求差分方程yt+1-2yt=cost的通解的通解解解 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 yA(t)=A2t设设非非齐齐次方程的特解次方程的特解为为 =cost+sint,其中其中,为为待定系数待定系数 将其代入原方程将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式并利用三角函数的和角公式,得得 所给方程的通解为所给方程

15、的通解为 第三节第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 二二阶阶常系数常系数线线性差分方程的一般形式性差分方程的一般形式为为yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,，其其中中f(t)为为t的的已已知知函函数数,a1,a2为为已已知知常常数数,且且a20,称称为为二二阶阶常系数非常系数非齐齐次次线线性差分方程性差分方程 特特别别地地,当当f(t)0时时,方程方程变为变为yt+2+a1yt+1+a2yt=0 称称为为对应对应的的齐齐次差分方程次差分方程一、一、齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 称称 2a1+a2=0为为二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性差

16、差分分方方程程或或其其对对应应的的齐齐次次差差分分方方程程的的特特征征方方程程它它的的解解(或或根根)称称为为方程的方程的特征根特征根(值值)特征方程的两个根为特征方程的两个根为(1)特征根为相异的两实根特征根为相异的两实根当当 0时时,1,2为为两相异的两相异的实实根根.y1(t)=1t与与y2(t)=2t是是齐齐次差分方程的两个次差分方程的两个线线性无关的特解性无关的特解.齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 1,2由特征方程确定由特征方程确定,A1,A2为为两任意两任意(独立独立)常数常数 例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解的通解解解 特征方程特征方程为为

17、 2-7+12=(-3)(-4)=0,有两相异有两相异实实特征根特征根 1=3,2=4 原方程的通解为原方程的通解为(2)特征根为两相等的实根特征根为两相等的实根当当=0时时,=1=2=为为两相等的两相等的实实根根.方程的一个特解：方程的一个特解：yt(t)=t 方程的另一个特解方程的另一个特解为为y(t)=t t，且与且与 t线线性无关性无关.方程的通解为方程的通解为 例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 2-4+4=(-2)2=0，方程有重特征根方程有重特征根 =1=2=2 原方程的通解原方程的通解为为yA(t)=(A1+A2t

18、)2t,A1,A2为为任意常数任意常数(3)特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根当当 0时时,1,2为为一一对对共共轭轭复根复根.1,2=i=r(cos isin)y1(t)=rtcos t,y2(t)=rtsin t是方程的两个是方程的两个线线性无关特解性无关特解.方程的通解方程的通解为为yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t)其中其中 A1，A2为为任意常数任意常数.例例 求差分方程求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解的通解解解 特征方程特征方程 2-2+2=(-1)21=0 特征根特征根为为一一对对共共轭轭复根复根 1,2=1i 方程的通解为方程的通解为 二、二

19、、非齐次方程的特解与通解非齐次方程的特解与通解例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解的通解解解 对应对应的的齐齐次方程的通解次方程的通解为为 yA(t)=A13t+A24t，原方程的通解原方程的通解为为yt=yA(t)+=A13t+A24t+1，这这里里A1,A2为为任意常数任意常数 由由于于1+a1+a2=1-7+120,设设特特解解 =B,B为为待待定定常常数数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=1.例例 求差分方程求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解的通解解解 特征方程特征方程为为 2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根特征根 1=1,2

20、=2.对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为 yA(t)=A1+A22t因因1+a1+a2=1-3+2=0,故故应设应设非非齐齐次方程的特解次方程的特解为为 =Bt,B为为待定系数待定系数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=-4 原方程的通解原方程的通解为为yt=yA(t)+=A1+A22t-4t，这这里里A1,A2为为任意常数任意常数例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解的通解.解解 对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为yA(t)=(A1+A2t)2t此式此式对对t=0,1,2,恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是B0-2B1=3,B1=2.由此

21、解得：由此解得：B0=7，B1=2 设设非非齐齐次次方方程程有有特特解解 =B0+B1t,B0,B1为为待待定定系系数数.将其代入原方程中将其代入原方程中,得得(B0-2B1)+B1t=3+2t,所求非齐次方程的特解为所求非齐次方程的特解为 原方程的通解为原方程的通解为 A1,A2为为任意常数任意常数 例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解的通解解解 对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为yA(t)=(A1+A2t)2t设设所所给给非非齐齐次方程的特特次方程的特特为为 =B5t,B为为待定系数待定系数.将其代入所将其代入所给给方程方程,可得可得 B5t+2-4B5

22、t+1+4B5t=5t非齐次方程的特解为非齐次方程的特解为 所给方程的通解为所给方程的通解为 其中其中A1,A2为为任意常数任意常数第四节第四节 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用一、一、存款模型存款模型 设设St为为t期期存存款款总总额额,i为为存存款款利利率率,则则St与与i有有如如下下关关系式：系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,，其中其中S0为为初始存款初始存款总额总额 二、二、动态供需均衡模型动态供需均衡模型(蛛网定理蛛网定理)设设Dt表表示示t期期的的需需求求量量,St表表示示t期期的的供供给给量量,Pt表表示示商品商品t期价格期价格,则传统

23、则传统的的动态动态供需均衡模型供需均衡模型为为：其中其中a,b,a1,b1均均为为已知常数已知常数.(1)式表示式表示t期期(现期现期)需求依赖于同期价格；需求依赖于同期价格；(2)式表示式表示t期期(现期现期)供给依赖于供给依赖于(t-1)期期(前期前期)价格价格(3)式为供需均衡条件式为供需均衡条件 若在供需平衡的条件下若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变而且价格保持不变,即即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格静态均衡价格 需需求求曲曲线线与与供供给给曲曲线线的的交交点点(Pe,Qe)即即为为该该种种商商品品的的静静态态均衡点均衡点动态供需均衡模型的等价差分方程动态供需均衡模型的等价差

24、分方程 方程的一个特解方程的一个特解 方程的通解为方程的通解为 若若初初始始价价格格P0已已知知时时,将将其其代代入入通通解解,可可求求得得任任意意常常数数A=P0-Pe,此此时时,通解改写通解改写为为 如果初始价格如果初始价格P0=Pe,那么那么Pt=Pe,这这表明没有外部干表明没有外部干扰扰发发生生,价格将固定在常数价格将固定在常数值值Pe上上,即静即静态态均衡均衡如果初始价格如果初始价格P0Pe,那么价格那么价格Pt将随将随t的的变变化而化而变变化化.动态动态价格价格Pt随着随着t的无限增大逐的无限增大逐渐渐地振地振荡趋荡趋近于静近于静态态均衡价格均衡价格Pe.普通商品的价格与供需关系图

25、普通商品的价格与供需关系图三、三、凯恩斯凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型乘数动力学模型 设设Yt表示表示t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消期消费费,It为为t期投期投资资,I0为为自自发发(固定固定)投投资资,I为为周期固定投周期固定投资资增量增量.凯凯恩斯国民恩斯国民经经济济收支收支动态动态均衡模型均衡模型为为：(1)式式为为均衡条件均衡条件,即国民收入等于同期消即国民收入等于同期消费费与同期投与同期投资资之和之和;(2)式式为为消消费费函数函数,即即现现期消期消费费水平依水平依赖赖于前期于前期国民收入国民收入(消消费费滞后于收入一个周期滞后于收入一个周期),a(0)为为基本

26、消基本消费费水平水平,b为边际为边际消消费倾费倾向向(0b1);(3)式式为为投投资资函数函数,这这里里仅仅考考虑为虑为固定投固定投资资 在在(1)(2)(3)式式中中消消去去Ct和和It,得得到到一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性差分方程：性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+I 方程的一个特解方程的一个特解 方程的通解为方程的通解为 其中其中A为任意常数为任意常数.称系数称系数 为凯恩斯乘数为凯恩斯乘数.四、四、哈罗德哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型经济增长模型 设设St为为t期期储储蓄蓄,Yt为为t期国民收入期国民收入,It为为t期投期投资资,s称称为为边际储边际储蓄蓄倾

27、倾向向(即平均即平均储储蓄蓄倾倾向向),0s1,k为为加速系数加速系数.哈罗德宏观经济增长模型为：哈罗德宏观经济增长模型为：其中其中s,k为已知常数为已知常数(1)式表示式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示式表示t期投资为前两期国民收入差的加速期投资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速且预期资本加速系数系数k为常数为常数;(3)式为均衡条件式为均衡条件.经整理后得齐次差分方程经整理后得齐次差分方程其通解为其通解为其中其中A为任意常数为任意常数,哈罗德称之为哈罗德称之为“保证增长率保证增长率”其其经济经济意意义义就是：如果国民收入就是：如果国民收入Yt按

28、保按保证证增增长长率率 增增长长,那么就能保那么就能保证证t期期储储蓄与蓄与t期投期投资资达到达到动态动态均衡均衡,即即It=St,t=0,1,2,假定假定t-1期收入期收入Yt-1满满足于通解足于通解,而而t期收入期收入Yt由于某种外由于某种外部干部干扰满扰满足足设设B0,那么有那么有 因因kB0,故故ItSt.表示表示:总总投投资资将大于将大于总总供供给给(由由储储蓄蓄提供提供),从而从而对对收入收入产产生一个向上的生一个向上的压压力力,迫使收入迫使收入较较以以前增加得更多前增加得更多.充分地充分地说说明了明了,“保保证证增增长长率率”保保证证了国了国民收入的增民收入的增长长.五、五、萨缪

29、尔森萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型乘数加速数模型 设设Yt为为t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消期消费费,It为为t期投期投资资,G为为政府支出政府支出(各期均相同各期均相同).萨缪萨缪尔尔森将乘数和加速数两森将乘数和加速数两个参数同个参数同时时引引进进而得到国民而得到国民经济经济收支均衡模型收支均衡模型(也称也称为为乘数乘数-加速数模型加速数模型)：其中其中G0为常数为常数,b称为边际消费倾向称为边际消费倾向(常数常数),k为加速数为加速数.将将(2)(3)两式代入两式代入(1)并并经经整理后得：整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G 其特解其特解 其

30、经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资与政府支出自发投资G的乘积的乘积.对应对应的的齐齐次方程次方程为为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0，其特征方程其特征方程为为 2-b(1+k)+bk=0，特征方程的判特征方程的判别别式式 =b2(1k)2-4bk=bb(1+k)2-4k 当当 0时时,特征方程有两相异实根特征方程有两相异实根 齐齐次方程的通解次方程的通解为为：YA(t)=A1 1t+A2 2t(A1,A2为为任意常数任意常数)当当=0时时,特征方程有一对相等实特征根特征方程有一对相等实特征根 齐次齐次方程的通解方程的通解为为：(A1,A2为为任意常数任意常数)当当 0时时,特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：齐次齐次方程的通解方程的通解为为：Y(t)=t(A1cos t+A2sin t),A1,A2为任意常数为任意常数.方程方程Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G的通解的通解