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1、加法原理与乘法原理练习选讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望作业讲评1、有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、英语书各一本，共有多少种取法？解：考虑到完成整个事件要分三步：第一步：取数学书，有10种取法；第二步：取语文书，有9种取法；第三步：取英语书，有8种取法，依分步计数原理可知不同取法种数为：1098=720种作业讲评2、商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买1件上衣或1条裤子，共有多少种选法？若要买
2、上衣、裤子各1件，共有多少种选法？解：第一问中，要完成整个事件，有2类不同的方法，第一类：买1件上衣，有15种选法；第二类：买1条裤子，有18种选法，依分类计数原理可知，共有15+18=33种不同选法。第二问中，要完成整个事件要分2步，第一步：买1件上衣，有15种选法，第二步：买1条裤子，有18种选法，依分步计数原理可知，共有1518=270种不同选法。思考题1、5名应届高中毕业生报考三年重点院校，每人报且仅报一所院校，有多少种不同的报名方法?解:由题意可得，这5名高中毕业生都要参加报考，故完成整个事件需分5步完成，第一步：第一名高中生报考可报考三所重点院校中的任意一个，有3种不同方法；第二步
3、：第二名高中生报考也是如此，也有3种不同报考方法，以此类推，依分步计数原理可得，共有不同的报考方法：33333=35=243种不同报考方法注：这里可能出现5个人报考了同一所大学的情况，但每个人都必须报考。思考:为什么不是53？变式训练1、3人住宿，共有5间房，每个人可住任一间房，共有多少种不同的住法？2、3人住宿，共有5间房，每个人可住任一间房，且每间房只允许住一人，共有多少种不同的住法？思考：为什么这两题结果不同？它们最本质的不同在地方？思考题2、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人，有多少种不同的选法？621英语日语英语和日
4、语分析：注意到7+39，故在这9人中必有1人既会说英语又会说日语，在选人时要特别注意，不要出现重复选择。解：分类：第一类：会说英语又会说日语的1人选出来说英语，另一人则从只会说日语的2人中选出1人即可，有2种选法；第二类：会说英语又会说日语的1人选出来说日语，另一人则从只会说英语的6人中选出1人即可，有6种选法；第三类：会说英语又会说日语的1人不选，则从只会英语和只会日语的人中各选1人，有26=12种选法，所以共有2+6+26=20种不同选法注：当又有分类，又有分步时，应先分类再分步考虑。思考题3、甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同的取法？
5、分析：如果先从甲开始取，有几种选择？下图是四个人的贺卡：假设甲拿了乙的甲乙丙丁甲乙丁丙丁乙丙丙丁乙假如甲拿了丙的甲乙丙丁甲乙丁丙丁丙乙丙丁乙假如甲拿了丁的甲乙丙丁甲丁丙乙乙丁丙乙丙丁以上是以分类的角度考虑，从甲入手，分了三类，各有3种，共有9种不同取法，通过图形看得很清晰。思考：清晰是清晰，可是比较繁，有没有比较简便的方法呢？上述问题能不能分步考虑呢？如果能又是如何考虑呢？让我们回到刚才的图形中：具体图形如下：甲乙丙丁第一步考虑甲的情况，有3种不同的选择第二步第一步中甲取了谁的卡片，就考虑谁的选择，仍有3种选择第三步考虑余下两人的选择，都是各有1种选择第四步共有3311=9种不同取法练习精讲1
6、、乘积(a+b+c)(m+n)(x+y)展开后，共有（）项 A、5 B、6 C、7 D、12解析：展开式中的项应为三个字母的乘积，要完成整个事件，需分三步，第一步：从第一个括号中任取一个，有3种取法；第二步：从第二个括号中任取一个，有2种取法；第三步，从第三个括号中任取一个，有2种取法，故依分步计数原理，共有322=12种不同取法，选DD2、设a、b为异面直线，a上有5个点，b上有6个点，则过a与b上的点可确定的不同平面的个数为（）A、30 B、11 C、60 D、75解析：由公理3的推论“经过一条直线及直线外一点可以确定一个平面”可知：完成整个事件可分为两类：第一类：直线a与直线b上的6个点
7、可确定6个平面；第二类：直线b与直线a上的5个点可确定5个平面，依分类计数原理可知，共11个，故选BB3、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线连接，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从A点向B点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A、26 B、24 C、20 D、19解析：由图可知，由A点向B点传递信息，可以沿四条路线传递：A-C-D-B,最大传递量为3A-C-M-B，最大传递量为4A-E-F-B，最大传递量为6A-E-N-B，最大传递量为6所以可得最大信息量为3+4+6+6=19，选D想一想为什么？4、
8、从数字1、2、3、4、5、6中取两个数相加，其和是偶数，共有多少个偶数？解析：偶+偶=偶，奇+奇=偶故完成整个事件分为两类：第一类：从1、3、5三个奇数中任取两个相加，其和为偶数，共有3个；第二类：从2、4、6三个偶数中任取两个相加，其和也为偶数，共有3个；由分类计数原理可得共有3+3=6个偶数思考：1+5=2+4，3+5=2+6，要不要去掉其中的一个？为什么？5、三边长均为正整数，且最大边边长为11的三角形共有多少个？解析：设另两边边长分别用x,y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须满足x+y12，分类讨论如下：（1）、当y取11时，x=1,2,3,11,可构成三角形11个；（2）、
9、当y取10时，x=2,3,4,10,可构成三角形9个；（3）、当y取9时，x=3,4,5,9,可构成三角形7个；（4）、当y取8时，x=4,5,6,7,8,可构成三角形5个；（5）、当y取7时，x=5,6,7,可构成三角形3个；（6）、当y取6时，x=6,可构成三角形1个，由分类计数原理，共能构成不同的三角形11+9+7+5+3+1=36个思考：若其他条件不变，最大边边长变为21呢，则符合要求的三角形有多少个呢？若最大边变为2011呢？又有多少个？你发现了什么规律，请给出一般性的结论！6、将三封信投入4个信箱，有多少种不同的投递方法？解析：因为信一定要寄完，每封信可投入任一信箱，故由分步计数原
10、理可知：共有不同投递方法：444=43=64种不同投递方法。思考：为什么不是34呢？这种问题如何区分呢？思维技巧：把信和信箱看作两种资源，哪种资源使用完，哪种作指数，哪种资源不一定使用完，哪种作底数！大家回忆前面所解决的住宿问题和高中毕业生的报考问题，看看是否如此？7、已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B=b1,b2,其中ai,bj(i=1,2,3,4;j=1,2)均为实数。（1）、从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？（2）、能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？a1a2a3a4b1b2AB解析：（1）、因为在集合A中任何一个元素与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步计数原理可知，可构成A到B的映射有2222=16个（2）、在（1）中a1,a2,a3,a4 均对应同一元素 b1 或 b2 的情形不构成以A为定义域，以B为值域的函数，这样的映射有2个，所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16-2=14个。规律总结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到B的映射共有 个。具体情况如下图a1a2a3a4b1b2ABa1a2a3a4b1b2AB亲爱的同学们，今天的课到此结束，再见！