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1、最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三视图的形成及其投影规律 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.1 2.1 投影的形成与常用的投影方法投影的形成与常用的投影方法一、投影的形成与分一、投影的形成与分类类 1.1.投影的形成投影
2、的形成 最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束(1)(1)中心投影法：中心投影法：最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 平行投影法：平行投影法：斜投影斜投影 正投影正投影最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束二、二、正投影的基本特性正投影的基本特性 1.1.一般性一般性(1)(1)平行性平行性 ABCD，ab cd
3、 AB CD=ab cd=k(2)(2)从属性与定比性从属性与定比性 C属于属于AB，c属于属于ab，AC CB=ac cb(3)(3)类类似性似性 平面的投影平面的投影r与实形与实形R成类似成类似 最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 特殊性特殊性 积聚性积聚性 平面平面ABCABC 直线直线 EFEF 垂直于投影面垂直于投影面真形性真形性 平面平面ABCABC 直线直线 EFEF 平行于投影面平行于投影面最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下
4、一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.2 2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律一、一、建立三面投影体系的必要性建立三面投影体系的必要性 单单一一平平面面的的投投影影不不能能建建立立投投影影与与立立体体的一一对应关系。的一一对应关系。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 两两个个投投影影面面体体系系能能建建立立投投影影与与立立体体的的一一一一对对应应关系。关系。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结
5、结结结 束束束束 两两个个投投影影面面体体系系不不能能建建立立投投影影与与立立体体的的一一一一对对应应关系。关系。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束二、二、三投影面体系的建立及三面投影的展开三投影面体系的建立及三面投影的展开最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束V 面不动，面不动，H 面往下旋转面往下旋转9090，W 面往右旋转面往右旋转9090三投影面的展开：三投影面的展开：最后页最后页最后页最后页第一
6、页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三视图的投影规律：三视图的投影规律：长对正、宽相等、高平齐长对正、宽相等、高平齐最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三视图的投影与立体的方位关系：三视图的投影与立体的方位关系：最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题1 1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。：根据立体图及主视图、俯视图，画出左
7、视图。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题1 1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.3 2.3 点的点的投影投影A最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束一、点的三面投影一、点的三面投影点的投影规律：点的投影规律：点的三面
8、投影符合长对正、宽相等、高平齐的规律。点的三面投影符合长对正、宽相等、高平齐的规律。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束二、两点之间的相对位置二、两点之间的相对位置A A 点在点在B B 点的左方、后方、下方点的左方、后方、下方最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题2 2：已知：已知A A点的投影，点的投影，B B点在点在A A前方前方1010毫米，右方毫米，右方1212 毫米，上方毫米，上方8 8
9、毫米。求作毫米。求作B B点的三面投影。点的三面投影。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三、重影点三、重影点A A 点在点在B B 的正上方的正上方最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.4 2.4 直线的投影直线的投影最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束一、特殊位置直线一、特殊位置直线1 1.投影面的垂直线
10、投影面的垂直线 正垂线正垂线 正垂线的投影特性：正垂线的投影特性：直直线线的的正正面面投投影影积积聚聚为为点点,在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影垂垂直直于于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束铅垂线铅垂线 铅垂线的投影特性：铅垂线的投影特性：直直线线的的水水平平投投影影积积聚聚为为点点,在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影垂垂直直于于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一
11、页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束侧垂线侧垂线 侧垂线的投影特性：侧垂线的投影特性：直直线线的的侧侧面面投投影影积积聚聚为为点点,在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影垂垂直直于于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2 2.投影面的平行线投影面的平行线 正平线正平线 正平线的投影特性：正平线的投影特性：直直线线的的正正面面投投影影反反映映实实长长和和夹夹角角、,在在另另外外二二投投影影面面上的投影平行
12、于相应的坐标轴。上的投影平行于相应的坐标轴。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束水平线水平线 水平线的投影特性：水平线的投影特性：直直线线的的水水平平投投影影反反映映实实长长和和夹夹角角、,在在另另外外二二投投影影面面上的投影平行于相应的坐标轴。上的投影平行于相应的坐标轴。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束侧平线侧平线 侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：直直线线的的侧侧面面投投影影反反映映实实长长和和
13、夹夹角角、,在在另另外外二二投投影影面面上上的投影平行于相应的坐标轴。的投影平行于相应的坐标轴。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束二、一般位置直线二、一般位置直线一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性：一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长和夹角。一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长和夹角。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三、直线与点、两直线的相对位置三、直线与点、两直线的相对
14、位置1.1.直线与点的相对位置直线与点的相对位置直线上点的投影必定在直线的投影上。直线上点的投影必定在直线的投影上。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束点点K K 不在直线不在直线EF EF 上。上。例题例题3 3：判别点：判别点K 是否在直线是否在直线EF 上。上。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.2.两直线的相对位置两直线的相对位置(1)(1)两直线平行两直线平行 由由正正投投影影的的基基本本特
15、特性性可可知知：空空间间两两直直线线若若相相互互平平行行，则则其其同同面面投投影影必必相相互互平平行行。反反之之，若若两两条条直直线线的的各各组组同同面面投投影影相相互互平行，则两直线在空间必相互平行平行，则两直线在空间必相互平行。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束(2)(2)两直线相交两直线相交 若若空空间间两两直直线线相相交交，则则其其同同面面投投影影必必相相交交，且且其其交交点点的的投投影影必必符符合合空空间间点点的的投投影影规规律律（交交点点是是两两直直线线的的共共有有点点，其其投投影影的
16、连线垂直投影轴）。反之亦然。的连线垂直投影轴）。反之亦然。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束(3)(3)两直线交叉两直线交叉 两两直直线线在在空空间间既既不不平平行行又又不不相相交交时时，即即为为交交叉叉。交交叉叉两两直直线线的的某某一一投投影影可可能能平平行行，但但不不可可能能所所有有投投影影都都相相互互平平行行；也也可可能能各各组组投投影影都都相相交交，但但各各组组同同面面投投影影的的交交点点不不符符合合点点的的投投影影规规律。律。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上
17、一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束(4)(4)两直线垂直两直线垂直 两两相相交交直直线线空空间间垂垂直直（即即为为直直角角）。且且其其中中有有一一条条直直线线为为该该投投影影面面的的平平行行线线，则则两两直直线线在在该投影面上的投影必相互垂直（即为直角）。此投影特性也称为直角投影定理。该投影面上的投影必相互垂直（即为直角）。此投影特性也称为直角投影定理。反反之之，若若相相交交两两直直线线在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影相相互互垂垂直直，且且其其中中一一条条直直线线为为该该投投影影面面的的平平行行线，则两直线在空间必定相互垂直。同样，这条性质也适用两直
18、线交叉垂直线，则两直线在空间必定相互垂直。同样，这条性质也适用两直线交叉垂直。AB垂直垂直BC最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题4 4：作直线：作直线MN MN 与直线与直线ABAB、CD CD 和和EF EF 相交并和直线相交并和直线 CDCD垂直，交点为垂直，交点为M M、K K、N N。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.5 2.5 平面的投影平面的投影 A A 面面是是投投影影面面的
19、的平平行行面面，B B 面面是是投投影影面面的的垂垂直直面面，C C 面面是是一般位置平面一般位置平面最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束一、特殊位置平面一、特殊位置平面1 1.投影面的垂直面投影面的垂直面 正垂面正垂面 正垂面的投影特性：正垂面的投影特性：平面的正面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影平面的正面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。反映类似形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结
20、 束束束束铅垂面铅垂面 铅垂面的投影特性：铅垂面的投影特性：平平面面的的水水平平投投影影积积聚聚为为一一直直线线。在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影反映类似形。反映类似形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束侧垂面侧垂面 侧垂面的投影特性：侧垂面的投影特性：平平面面的的侧侧面面投投影影积积聚聚为为一一直直线线。在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影反映类似形。影反映类似形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录
21、结结结结 束束束束2 2.投影面的平行面投影面的平行面 正平面正平面 正平面的投影特性：正平面的投影特性：平平面面的的正正面面投投影影反反映映实实形形。在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影积积聚聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束水平面水平面 水平面的投影特性：水平面的投影特性：平平面面的的水水平平投投影影反反映映实实形形。在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影积积聚聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。最后页最后页
22、最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束侧平面侧平面 侧平面的投影特性：侧平面的投影特性：平平面面的的侧侧面面投投影影反反映映实实形形。在在另另外外二二投投影影面面上上的的投投影影积积聚聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束一般位置平面一般位置平面 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性：一般位置平面在各个投影面上的投影都是类似形。一般位置平面在各个投影面上的投
23、影都是类似形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题5 5：点：点K K 在平面在平面ABC ABC 上并且已知上并且已知K K的正面投影的正面投影k k，试作出试作出K K点的水平投影点的水平投影k k 。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题6 6：在平面：在平面ABC 上作出属于平面内的一条水平线和一条正上作出属于平面内的一条水平线和一条正 平线平线。最后页最后页最后页最后页第一页第一页
24、第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.6 2.6 直线与平面以及两平面的相对位置直线与平面以及两平面的相对位置一、平行问题一、平行问题1.1.直线与平面平行直线与平面平行 几几何何定定理理：若若直直线线(EF)(EF)平平行行于于平平面面(ABC)(ABC)上上的的某某一一条条直直线线(BD)(BD)，则该直线，则该直线(EF)(EF)与平面与平面(ABC)(ABC)平行。平行。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.2.平面与平面平行平
25、面与平面平行 几几何何定定理理：若若一一平平面面的的两两条条相相交交直直线线(AB(AB、CD)CD)对对应应平平行行于于另一平面上的两条相交直线（另一平面上的两条相交直线（DEDE、EFEF），则两平面平行。），则两平面平行。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 (1)(1)在在水水平平投投影影中中先先求求直直线线EFEF与与平平面面ABCABC的的交交点点k k，由由k k返返回回到到e ef f 上求出上求出k k 。(2)(2)由由水水平平投投影影可可确确定定EKEK在在前前，平平面面ABC
26、ABC在在后后，所所以以正正面面投投影中影中e ek k为可见，另一段为不可见。为可见，另一段为不可见。二、相交问题二、相交问题1.1.直线与平面相交直线与平面相交最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 (2)(2)在正面投影中连在正面投影中连b bg g求出求出k k。(3)(3)由由重重影影点点的的正正面面投投影影1 1(2 2 )求求出出水水平平投投影影分分别别是是1 1在在平平面面ABCABC上上，在在直直线线EFEF上上。即即平平面面在在前前，直直线线在在后后，k k 到到1 1(2 2 )
27、为虚线。为虚线。(1)(1)过过e(f)e(f)点，作辅助线点，作辅助线bgbg，交，交acac于于g g。例题例题7 7：求直线：求直线EFEF与平面与平面ABC ABC 的交点的交点。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 (2)(2)在在正正面面投投影影中中求求m mn n与与e eff交交点点k k。返返回回H H面面投投影影，求出求出k k。(3)(3)水水平平投投影影中中的的可可见见性性作作如如下下判判别别：由由交交叉叉直直线线EFEF与与BCBC的的重重影影点点判判别别可可见见性性。在在
28、直直线线EFEF上上，靠靠上上方方，在在直线直线BCBC上，靠下方。故直线段上，靠下方。故直线段ekek可见。可见。(4)(4)由正面投影的可见性判别方法得由正面投影的可见性判别方法得e ek k可见。可见。(1)(1)在在水水平平投投影影中中过过efef作作铅铅垂垂面面RHRH，求求出出RHRH与与平平面面ABCABC的的交线交线MN(mMN(mn n，mn,)mn,)。例题例题8 8：求直线：求直线EFEF与平面与平面ABC ABC 的交点的交点。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束 (3)(3
29、)可可见见性性由由观观察察法法来来完完成成。平平面面ABCABC与与平平面面EFHGEFHG在在水水平平投投影影的的前前后后来来判判别别。在在mnmn的的右右侧侧平平面面ABCABC在在前前，在在mnmn左左侧侧平平面面EFHGEFHG在前。在前。(4)(4)在在图图中中可可看看出出可可见见性性在在两两平平面面的的相相交交区区域域，虚虚线线和和实实线是交替变化的。线是交替变化的。2.2.平面与平面相交平面与平面相交例题例题9 9：求平面：求平面ABC与平面与平面EFHG 的交线。的交线。(1)(1)由由铅铅垂垂面面的的积积聚聚性性，在在水水平平投投影影中中求求出出平平面面ABCABC与与平平面
30、面EFHGEFHG的交线的交线mnmn。(2)(2)由由m m得到正面投影得到正面投影mm，由由n n得到正面投影得到正面投影nn。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束三、垂直问题三、垂直问题1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 一一条条直直线线垂垂直直于于平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线。该该直直线线与与平平面面垂垂直。直。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直
31、 若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直。若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2.7 2.7 换面法换面法 换换面面法法就就是是变变换换投投影影面面法法。在在工工程程实实际际中中为为解解决决几几何何元元素素的的定定位位和和度度量量问问题题，将将几几何何元元素素由由一一般般位位置置通通过过变变换换投投影影面面法法转转换换为为特特殊殊位位置置，以以达达到到解解决决问问题题的的目目的的。如如在在新的投影面上能得到直线新的投影面上能得到直线ABAB的实长和平面的实
32、长和平面ABCABC的实形。的实形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束一、换面法中确定新投影面的原则一、换面法中确定新投影面的原则 新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束二、换面法中点投影的变换规律二、换
33、面法中点投影的变换规律点的投影变换规律：点的投影变换规律：点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。点点的的新新投投影影到到新新投投影影轴轴的的距距离离等等于于被被替替换换的的旧旧投投影影到到旧旧投影轴的距离。投影轴的距离。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束1 1.点的一次换面点的一次换面 作作新新投投影影面面H H1 1垂垂直直于于V V面面，用用以以代代替替H H面面，就就形形成成V V/H H1 1体体系系。其其中中V V面面为为不不变变
34、的的投投影影面面，H H为为旧旧投投影影面面。由由点点的的投投影影规规律律：a aa a1 1O O1 1X X1 1，aaaaX Xa a1 1a aX1X1 确定确定a a1 1投影。投影。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2 2.点的二次换面点的二次换面2点的第一次换面：点的第一次换面：aa1X1，a aX=a1 aX1；点的第二次换面：点的第二次换面：a1a2X2；aaX1=a2aX2。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目
35、 录录录录结结结结 束束束束三、四个基本问题三、四个基本问题1 1.将一般位置直线变换成投影面的平行线将一般位置直线变换成投影面的平行线 变变换换V V面面，ABAB在在V V1 1 /H/H 面面中中是是正正平平线线。由由点点的的一一次次换换面面得得到到a a1 1b b1 1。a a1 1b b1 1是是直直线线ABAB的的实实长长。a a1 1b b1 1与与X X1 1的的夹夹角角为为直直线线 ABAB与与H H 面的夹角面的夹角。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束2 2.将一般位置直线变
36、换成投影面的垂直线将一般位置直线变换成投影面的垂直线2 将将一一般般位位置置直直线线变变换换成成投投影影面面的的垂垂直直线线，换换一一次次面面是是不不行行的的。H H2 2与与原原投投影影面面V V、H H 均不垂直。均不垂直。将将一一般般位位置置直直线线变变换换成成投投影影面面的的垂垂直直线线必必须须二二次次换换面面。变变换换V V 面面，AB AB 在在V V1 1/H H 面面中中是是正正平平线线。由由点点的的换换面面得得到到a a1 1b b1 1。再再变变换换 H H 面面，AB AB 在在V V1 1 /H H2 2 面面中中是是铅铅垂垂线线。由点的换面得到由点的换面得到a a2
37、2(b b2 2)。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束3 3.将一般位置平面变换成投影面的垂直面将一般位置平面变换成投影面的垂直面 先先在在平平面面EFG EFG 内内任任取取一一条条投投影影面面H H 面面的的平平行行线线，如如水水平平线线 E E1 1。再再变变换换V V 面面，使使E1 E1 在在V V1 1 /H/H面面中中是是正正垂垂线线，那那么么平平面面在在V V1 1 /H/H面面中中必必积积聚聚成成一一条条直直线线，同同时时反反映映平平面面EFG EFG 与与H H面的夹角面的夹角
38、。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束4 4.一般位置平面变换成投影面的平行面一般位置平面变换成投影面的平行面 将将一一般般位位置置平平面面变变换换成成投投影影面面的的平平行行面面，换换一一次次面面是是不不行行的的。如如图图 H H2 2 与与原原投投影影面面V V、H H 均均不垂直。不垂直。将将一一般般位位置置平平面面变变换换成成投投影影面面的的平平行行面面必必须须二二次次换换面面。先先变变换换V V 面面，使使平平面面ABC ABC 在在V V1 1/H H 面面中是正垂面。再变换中是正垂面。
39、再变换 H H 面，使平面面，使平面 ABC ABC 在在V V1 1/H H2 2 面中是水平面反映实形。面中是水平面反映实形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题9 9：求点：求点 E E 到直线到直线 AB AB 的距离的距离。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1k1l1lkabdcaXVHdclkk2l2例题例题1010：求交叉直线：求
40、交叉直线 AB AB 和和 CD CD 的最短距离的最短距离 KLKL。H2一一般般位位置直线置直线铅垂线铅垂线公公垂垂线线平平行行H H2 2b最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束例题例题1111：求出平面：求出平面 ABCDE ABCDE 和平面和平面 CBGH CBGH 的夹角以及平的夹角以及平 面面 ABCDE ABCDE 的实形。的实形。最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束求出平面求出平面 ABCDE ABCDE 和平面和平面 CBGH CBGH 的夹角：的夹角：最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束求出平面求出平面 ABCDE ABCDE 的实形：的实形：最后页最后页最后页最后页第一页第一页第一页第一页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页目目目目 录录录录结结结结 束束束束本章结束本章结束