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1、中考数学函数讲座函数是初中数学的重点，也是难点，更是函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型、压轴题的主要来源，并且长盛不的热点题型、压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样衰，年年有新花样三、函数中易错题三、函数中易错题二、各种常见题型及基本方法二、各种常见题型及基本
2、方法一、中考内容和要求一、中考内容和要求a a要求要求b b要求要求c c要求要求平面平面直角直角坐坐标标系系认识并能画出平面直角坐标系；能认识并能画出平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在同一坐标系中感受图述物体的位置；在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标的变化。形变换后点的坐标的变化。在给定的直角坐标系中，会根据坐在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；灵活运用不同的方式确定物体的坐标；灵活运用不同的方式确定物体的位置。位置。了解常量、变量的意义；了解了解常量、变
3、量的意义；了解函数的概念和三种表示方法函数的概念和三种表示方法能能结结合合图图象象对简单实际问题对简单实际问题中函数关系中函数关系进进行分析行分析；能确定简单的整式；能确定简单的整式.分式和分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范简单实际问题中的函数的自变量取值范围围;会求函数值；能用适当的函数表示会求函数值；能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量的结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测；探索具体问题变化规律进行初步预测；探索具体问题中的数量关系和变化规律。中的数量关系和变化规律。一次一次函数函
4、数结结合具体情景体会一次函数的意合具体情景体会一次函数的意义义；会画一次函数的图象；理解正比例函数；会画一次函数的图象；理解正比例函数；能根据一次函数的图象求二元一次方程能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。组的近似解。能根据已知条件确定一次函数表达式；能根据已知条件确定一次函数表达式；根据一次函数的图象和解析表达式探索根据一次函数的图象和解析表达式探索并理解其性质（并理解其性质（k0时，图象的时，图象的变化情况）变化情况）;能用一次函数解决实际问能用一次函数解决实际问题题.反比例函反比例函数数体会反比例函数的意义；能画反比例体会反比例函数的意义；能画反比例函数的图象函数的图象能根据已
5、知条件确定反比例函数表达式；能根据已知条件确定反比例函数表达式；根据图象和解析表达式探索并理解其性根据图象和解析表达式探索并理解其性质；能用反比例函数解决实际问题质；能用反比例函数解决实际问题二次函数二次函数体会二次函数的意义；会用描点法画体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象；会根据公式确定图象二次函数的图象；会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）求记忆和推导）通过对实际问题情境的分析确定二次通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会利用二次函数的图象求
6、一数的性质；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解；能用二次函数解元二次方程的近似解；能用二次函数解决简单的实际问题。决简单的实际问题。一、中考内容和要求一、中考内容和要求函数(2).若函数若函数y=(k-2)x|k|-1是关于是关于x的的正比正比例函数例函数,试求试求k的值。的值。正比例函数的定义所包含的两个方面是衡量一个函数正比例函数的定义所包含的两个方面是衡量一个函数是不是正比例函数的标准。同时也是解决与正比例函数定是不是正比例函数的标准。同时也是解决与正比例函数定义有关的计算问题的根据。义有关的计算问题的根据。2.求自变量取值范围求自变量取值范围 （1）解析式（使解析式有意义）解析
7、式（使解析式有意义）（2）图象（图象端点向）图象（图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应轴引垂线，由垂足对应 的数看的数看 x 的取值范围）的取值范围）（3）应用（使实际问题有意义）应用（使实际问题有意义）例：例：利用代数式有意义的条件问题：利用代数式有意义的条件问题：(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数；若解析式是整式，则自变量取全体实数；(2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为若解析式是分式，则自变量取使分母不为0的全体实数；的全体实数；(3)若解析式是二次根式，则自变量只取使被开方数为非负数若解析式是二次根式，则自变量只取使被开方数为非负数 的全体实数；的全体实数；(4)若解析式含有
8、零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底 数不等于数不等于0的全体实数；的全体实数；(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分 自变量的取值范围，然后再取其公共部分。自变量的取值范围，然后再取其公共部分。这些应让学生熟练掌握。这些应让学生熟练掌握。3 3、基础知识、基本技能的落实。、基础知识、基本技能的落实。例例1、若反比例函数y=的图象经过（-2，1）则k的值为（）kx（A）-2（B）2（C）0.5（D）0.52、反比例函数y=-图象上一个点的坐标是63、已知反比例函数y=-的图象
9、经过点P（a+1,a）则a的值为8xx函数的图象和性质是函数学习的基础内容，也是重函数的图象和性质是函数学习的基础内容，也是重点内容，是中考的热点，应做好落实。点内容，是中考的热点，应做好落实。4.求函数解析式求函数解析式（1）待定系数法）待定系数法例：例：已知一抛物线与已知一抛物线与x轴的交点是轴的交点是 A(2,0)2,0)、B(1,0)(1,0)，且经过且经过C(2,8)(2,8)。求该抛物线的解析式；。求该抛物线的解析式；主要考查学生待定系数法求函数解析式的能主要考查学生待定系数法求函数解析式的能力。待定系数法求函数解析式，是一种基本方力。待定系数法求函数解析式，是一种基本方法，应要求
10、学生掌握。法，应要求学生掌握。根据不同条件，选择不同设法根据不同条件，选择不同设法:(1)(1)若已经图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式若已经图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y ax2bxc(a0)，将已知条件代入，列方程组，求出，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c的值的值(2)(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所 求二次函数为顶点式求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件，将已知条件 代入，求出待定系数代入，求出待定系数(3)(3)若已知抛物线与若已知抛物线与x轴的交点，则轴的交点，则
11、 设抛物线成解析式为交点式设抛物线成解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再再 将另一条件代入，可求出将另一条件代入，可求出a值值要求学生能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式要求学生能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；（2）根据表格确定解析式）根据表格确定解析式例例.某商店出售一种瓜子，其售价某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子（元）与瓜子质质量量x（千克）之（千克）之间间的关系如下表：的关系如下表：质量x（千克）1234售价y（元）2+0.14+0.24+0.308+0.4由上表得由上表得y与与x之间的关系式是之间的关系式是.认真分析题意，弄清两个变量之间的变化规律是正确
12、写认真分析题意，弄清两个变量之间的变化规律是正确写出解析式的关键。出解析式的关键。(3)确定实际背景下的函数关系式确定实际背景下的函数关系式例、例、一个矩形的长为一个矩形的长为xcm,宽比长少宽比长少2cm,写出这个矩形的写出这个矩形的面积面积y(平方厘米）与边长平方厘米）与边长x之间的函数关系式。之间的函数关系式。对于实际问题的函数关系式的确定，应对于实际问题的函数关系式的确定，应由实际问题的变量之间的等量关系来确定由实际问题的变量之间的等量关系来确定5.分段函数分段函数自变量在不同的范围内取值时，函数自变量在不同的范围内取值时，函数y和和x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数有不同的对应
13、关系，这种函数称为分段函数。认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点和线段所表示的实际意义，是解决这类问题的关点和线段所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，也是历届中考的要求，注意分段函数是由自变键，也是历届中考的要求，注意分段函数是由自变量的取值决定的量的取值决定的例例(2010湖州湖州)一一辆辆快快车车从甲地从甲地驶驶往乙地，一往乙地，一辆辆慢慢车车从乙地从乙地驶驶往甲地，两往甲地，两车车同同时时出出发发，匀速行，匀速行驶驶，设设行行驶驶的的时间为时间为x(时时)，两，两车车之之间间的距离的距离为为y(千米千米)，图图中的折中的折线线表示从两表示
14、从两车车出出发发至快至快车车到达乙地到达乙地过过程中程中y与与x之之间间的函数关系的函数关系(1)根据根据图图中信息，求中信息，求线线段段AB所在直所在直线线的函数解析式和甲、乙两地之的函数解析式和甲、乙两地之间间的距离；的距离；(2)已知两已知两车车相遇相遇时时快快车车比慢比慢车车多行多行驶驶40千米，若快千米，若快车车从甲地到达乙地所需从甲地到达乙地所需时间时间为为t时时，求，求t的的值值；(3)若快若快车车到达乙地后立刻返回甲地，慢到达乙地后立刻返回甲地，慢车车到达甲地后停止行到达甲地后停止行驶驶，请请你在你在图图中画中画出快出快车车从乙地返回到甲地从乙地返回到甲地过过程中程中y关于关于
15、x的函数的大致的函数的大致图图象象(温馨提示：温馨提示：请请画在答画在答题题卷相卷相对应对应的的图图上上)（根据函数图象体验情景再现）（根据函数图象体验情景再现）这题考查学生这题考查学生“借数定形借数定形”，“借形求数借形求数”的能力。数形结的能力。数形结合方法是函数学习的一种重要方法合方法是函数学习的一种重要方法,数形结合题型是函数的重要数形结合题型是函数的重要题型注重学生数形结合能力的培养题型注重学生数形结合能力的培养。6.建立函数模型，解决实际问题建立函数模型，解决实际问题用数学知识解决身边的生活实际问题，是我用数学知识解决身边的生活实际问题，是我们学习数学的宗旨和最终目的，也是中考的热
16、点，们学习数学的宗旨和最终目的，也是中考的热点，解决这类问题就是要善于把实际问题进行函数建解决这类问题就是要善于把实际问题进行函数建模，利用函数知识解题模，利用函数知识解题例：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为例：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度米，底部宽度OM为为12米现以米现以O点为原点，点为原点，OM所在直线所在直线为为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系(1)直接写出点直接写出点M及抛物线顶点及抛物线顶点P的坐标；的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形若要搭建一个矩形“支撑架支撑架”ADDCCB，使，使C、D点
17、在抛物线上，点在抛物线上，A、B点在地面点在地面OM上，则这个上，则这个“支撑架支撑架”总长的最大值是多少？总长的最大值是多少？根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于化为数学问题建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题特殊位置，这样便于解题7.利用函数进行方案设计利用函数进行方案设计方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决
18、方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优，方案设计型问题主要考查学生的动中哪个方案最优，方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力手操作能力和实践能力(2)(2)为为了了缓缓解停解停车车矛盾，矛盾，该该小区决定投小区决定投资资1515万元再建造若干个停万元再建造若干个停车车位据位据测测算，建造算，建造费费用分用分别为别为室内室内车车位位50005000元元/个，露天个，露天车车位位10001000元元/个，考个，考虑虑到到实际实际因素，因素，计计划露天划露天车车位的数量不少于室内位的数量不少于室内车车位的位的2 2倍，但
19、不超倍，但不超过过室内室内车车位的位的2.52.5倍，求倍，求该该小区最多可建两种小区最多可建两种车车位各多位各多少个？少个？试试写出所有可能的方案写出所有可能的方案例：例：(2009湖州湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据统计，某小区轿车的拥有量逐年增加据统计，某小区2006年底拥有家年底拥有家庭轿车庭轿车64辆，辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到年底家庭轿车的拥有量达到100辆辆以社会热点问题为背景，设计函数与方程以社会热点问题为背景，设计函数与方程.不等式等综合不等式等综合应用应用,既考查了知识的灵活运用能力既考查了知识的
20、灵活运用能力.又体现了鲜明的又体现了鲜明的时代气时代气息息,这类问题是中考的热点题型这类问题是中考的热点题型.(1)若该小区若该小区2006年底到年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆年底家庭轿车将达到多少辆68.函数与几何的结合及存在性问题函数与几何的结合及存在性问题图形变换的结合图形变换的结合例例、如图，四边形如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点片，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，将边轴上，将边BC折叠，使点折叠，使点
21、B落在边落在边OA的点的点D处。已知折痕处。已知折痕CE=55，tan EDA=0.75.（1）判断）判断OCD 与与ADE是否相似？请说明理由；是否相似？请说明理由；（2）求直线）求直线CE与与x轴交点轴交点P的坐标；的坐标；（3）是否存在过点）是否存在过点D的直线的直线l，使直线，使直线l、直线、直线CE与与x轴所围成的三角形轴所围成的三角形和和直线直线l、直线、直线CE与与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。OABCEDx存在探索题是指在一
22、定条件下，需探索发现某存在探索题是指在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的问题。解题方法一般先对种数学关系是否存在的问题。解题方法一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，引出问题的结论设正确，引出问题的结论9.函数型综合问题函数型综合问题函数型综合题，主要以函数为主线，利用函数的图函数型综合题，主要以函数为主线，利用函数的图像与性质，解题时要注意函数的图象信息像
23、与性质，解题时要注意函数的图象信息例：如图，已知抛物线例：如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于与坐标轴交于A、B、C三点，三点，A点的坐标为点的坐标为(1,0)，过点，过点C的直线的直线yx3与与x轴交于点轴交于点Q，点，点P是线段是线段BC上的一个动点，过上的一个动点，过P作作PH OB于点于点H，若，若PB5t，且，且0t1.(1)填空：点填空：点C 的坐标是的坐标是_b_c_；(2)求线段求线段QH的长的长(用含用含t的式子表示的式子表示)；(3)依点依点P的变化，是否存在的变化，是否存在t的值，使以的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有相似
24、？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由解决这类问题，除了需要具有一定的基础知识、基本技能外，解决这类问题，除了需要具有一定的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察力、娴熟的运算以及较强的综合能力，是还需要有敏锐的观察力、娴熟的运算以及较强的综合能力，是中考压轴题的首选。应注意加强学生综合运用能力的培养中考压轴题的首选。应注意加强学生综合运用能力的培养三三.函数中的易错题函数中的易错题1.易出错的双比例函数解析式易出错的双比例函数解析式例例已知已知y=y1+y2，y1与与x成正比例，成正比例，y2与与x成反比例，成反比例，且且x=1时，时，y=3；x=-1时，时，
25、y=1,求求x=-0.5时时y的的值值学生往往错在设函数关系式时取相同学生往往错在设函数关系式时取相同的比例系数的比例系数2.用配方法求二次函数用配方法求二次函数y=x2-x+图像的顶点图像的顶点坐标及对称轴坐标及对称轴512 53 54512 y=x2-x+512 53 54512=(x2-4x+3)=(x-2)2-1配方法是重要的数学方法，必须要求配方法是重要的数学方法，必须要求学生熟练掌握。学生熟练掌握。3.(2010武武汉汉)某某宾馆宾馆有有50个房个房间间供游客住宿供游客住宿，当每个房，当每个房间间的房价的房价为为每天每天180元元时时，房，房间间会全部住会全部住满满当每个房当每个房
26、间间每天的房价每增加每天的房价每增加10元元时时，就会，就会有一个房有一个房间间空空闲闲宾馆宾馆需需对对游客居住的每个房游客居住的每个房间间每天支出每天支出20元的各种元的各种费费用用根据根据规规定，每个房定，每个房间间每天的房价不得高于每天的房价不得高于340元元设设每个房每个房间间的房价每的房价每天增加天增加x元元(x为为10的正整数倍的正整数倍)(1)设设一天一天订订住的房住的房间间数数为为y，直接写出，直接写出y与与x的函数关系式及自的函数关系式及自变变量量x的取的取值值范范围围；(2)设宾馆设宾馆一天的利一天的利润为润为w元，求元，求w与与x的函数关系式；的函数关系式；(3)一天一天
27、订订住多少个房住多少个房间时间时，宾馆宾馆的利的利润润最大？最大利最大？最大利润润是多少元？是多少元？解：解：(1)y50 x(0 x160，且，且x是是10的整数倍的整数倍)(2)w(50 x)(180 x20)x234x8000.(3)wx234x8000(x170)210890.当当x170时时，w随随x的增大而增大，但的增大而增大，但0 x160，当当x160时时，Wmax10880；当；当x160时时，y50 x34.答：一天答：一天订订住住34个房个房间时间时，宾馆宾馆每天利每天利润润最大，最大利最大，最大利润润是是10880元元求二次函数的最值时，强调学生留意自变量的取值范围求二
28、次函数的最值时，强调学生留意自变量的取值范围4.例：已知抛物线例：已知抛物线yax2bxc与与x轴交于轴交于A(1,0)和和B(3,0)，它的顶点到，它的顶点到x轴的距离等于轴的距离等于4；直线；直线ykxm经过抛物线与经过抛物线与y轴的交点和抛物线的顶点求抛物线和直轴的交点和抛物线的顶点求抛物线和直线的解析式线的解析式 解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶点解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶点在在x x轴上方，下方两种情况，而只考虑顶点在轴上方，下方两种情况，而只考虑顶点在x x轴上方的轴上方的情况，顾此失彼，所以应当培养思维的严谨性情况，顾此失彼，所以应当培养思维的严谨性例例：如
29、图如图，抛物线抛物线yax25ax4经过经过 ABC的三个顶的三个顶点点，已知已知BCx轴轴，点点A在在x轴上轴上，点点C在在y轴上轴上，且且ACBC.(1)求抛物线的对称轴求抛物线的对称轴；(2)写出写出A，B，(3)探究探究：若点若点P是抛物线对称轴上且在是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点轴下方的动点，是否存在是否存在 PAB是等腰三角形是等腰三角形，若存在若存在，求出所有符合条求出所有符合条件的点件的点P坐标坐标；不存在不存在，请说明理由请说明理由 分类讨论是中学数学常用的一种数学思分类讨论是中学数学常用的一种数学思想方法之一，在研究此类问题的想方法之一，在研究此类问题的解法时，需解法时
30、，需认真审题全面考虑，对可能存在的各种情况认真审题全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重。不漏。条理清晰进行讨论，做到不重。不漏。条理清晰分类讨论的一般步骤：分类讨论的一般步骤：(1)(1)确定讨论的对象和讨论的范围；确定讨论的对象和讨论的范围；(2)(2)其次确定分类的标准进行合理分类；其次确定分类的标准进行合理分类；(3)(3)逐级讨论并总结概逐级讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如何正确进行分类括得出结论分类讨论解题的关键是如何正确进行分类 函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、图像及性质去观察问题、分析问题、转化问题、解决问题图像及性质去观察问题、分析问题、转化问题、解决问题用函数思想解题，主要利用两点：用函数思想解题，主要利用两点：(1)(1)分析自变量的取值范围，确定有关字母的值或值分析自变量的取值范围，确定有关字母的值或值的范围；的范围；(2)(2)根据函数的图像与性质，直观地发现解题思路根据函数的图像与性质，直观地发现解题思路