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1、第第5章章 抽样与参数估计抽样与参数估计统计研究的程序统计研究的程序统计研究目的统计研究目的统计设计统计设计统统计计调调查查统统计计整整理理推推断断分分析析描描述述分分析析2008-2009学习目标1.理解抽样方法与抽样分布理解抽样方法与抽样分布2.估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念3.点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别4.总体均值的区间估计方法总体均值的区间估计方法5.总体比例的区间估计方法总体比例的区间估计方法6.样本容量的确定方法样本容量的确定方法2008-2009参数估计在统计方法中的地位参数估计在统计方法中的地位2008-20095.1 抽样与抽样分布抽样与抽样分布v
2、什么是抽样推断什么是抽样推断v概率抽样方法概率抽样方法v抽样分布抽样分布2008-2009抽样推断的过程抽样推断的过程样样本本总体总体样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量例如：样本均例如：样本均例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差差总体均值、比总体均值、比例、方差等例、方差等2008-2009抽样方法简单随机抽样简单随机抽样分层抽样分层抽样整群抽样整群抽样系统抽样系统抽样概率抽样概率抽样方便抽样方便抽样判断抽样判断抽样配额抽样配额抽样滚雪球抽样滚雪球抽样非概率抽非概率抽样样抽抽样样方式方式2008-2009v概率抽样(probability sam
3、pling)也称随机抽样特点:按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率2008-2009简单随机抽样简单随机抽样(simple random sampling)1.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的2.最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础3.特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它
4、辅助信息以提高估计的效率2008-2009分层抽样分层抽样(stratified sampling)1.将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计2008-2009整群抽样整群抽样(cluster sampling)1.将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查2.特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差2008-
5、2009系统抽样(systematic sampling)1.将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位2.优点：操作简便，可提高估计的精度3.缺点：对估计量方差的估计比较困难2008-2009v方便抽样是从便利的角度来考虑获取样本的。样本的选取主要是让调查员来决定。v判断抽样是指根据调查人员的主观经验从总体样本中选择那些被判断为最能代表总体的单位作样本的抽样方法。v滚雪球抽样是指先对随机选择的一些被调查者实施访问，然后再请他
6、们推荐属于研究目标总体特征的调查对象。v配额抽样又称定额抽样，通常被认为是一种与分层抽样法相对的非随机抽样方法。2008-20091.在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布 2.是一种理论分布3.随机变量是 样本统计量样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等4.结果来自容量相同的所有可能样本5.提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 v抽样分布抽样分布(sampling distribution)2008-20091.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.一种理论概率分布3.进行推断总体均值的理
7、论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2008-2009例【例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N=4N=4。4 4 个个个个体体分分别别为为x x1 1=1=1、x x2 2=2=2、x x3 3=3=3、x x4 4=4=4。总体的均值、方差及分布如下总体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3均值和方差均值和方差2008-2009 现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样样条件下，共有条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所
8、有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2 的样本（共的样本（共16个）个）2008-2009计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）X X样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分
9、布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(X X)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.52008-2009样本均值的分布与总体分布的比较 =2.5 2=1.25总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布P P(X X)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5X X2008-2009样本均值的抽样分布与中心极限定理样本均值的抽样分布与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X XX总体分布总体分布总体分布总体分布n=4n=4
10、抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布Xn=16n=16当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n)50=x2008-2009u中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够大时(n 30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理：设设从从均均值值为为，方方差差为为 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样分布近似服从均值为样
11、分布近似服从均值为、方差为、方差为 2 2/n/n的正态分布的正态分布一个任意分布的总体X X2008-2009抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布结论结论：1.样本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值 2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/n2008-20091.总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为4.
12、比例(proportion)样本比例的抽样分布2008-2009分组单位数变量值具有某一属性不具有某一属性10合计均均值值标标准准差差2008-2009样本比例的抽样分布1.容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布2.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 3.一种理论概率分布4.推断总体总体比例的理论基础2008-20095.2 参数估计的基本方法参数估计的基本方法v估计量与估计值估计量与估计值v点估计与区间估计点估计与区间估计2008-20091.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量2.参数用 表示，估计
13、量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是 的估计值v估计量与估计值估计量与估计值(estimator&estimated value)2008-2009参数估计方法简介矩估计法矩估计法矩估计法矩估计法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法极大似然法极大似然法极大似然法极大似然法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计2008-2009点估计点估计(point estimate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直
14、接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等2008-2009区间估计区间估计(interval estimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上限2008-2009区间估计的图示区间估计的图示 X95%
15、95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x xXzXsa2=2008-20091.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，或称置信系数。2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平置信水平 2008-20091.由样本统计
16、量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间置信区间(confidence interval)2008-2009样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上限置信区间示意图置信区间示意图2008-2009置信区间与置信水平置信区间
17、与置信水平 均值的抽样分布均值的抽样分布(1-)%区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含 1-1-/2 2 /2 22008-20095.3 总体均值的区间估计总体均值的区间估计v正态总体且方差已知，或非正正态总体且方差已知，或非正态总体，方差未知、大样本态总体，方差未知、大样本v正态总体，方差未知、小样本正态总体，方差未知、小样本2008-2009一个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值比例方差p2sXP2S2008-2009v总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)假定条件总体服从正态分布,总体方差()已知；若总体方差()未知，大样
18、本时用样本方差代替总体方差；如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)总体均值 在1-置信水平下的置信区间为重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样2008-2009【例例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%解：解：已知：=0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%即：即：21.421.4 0.098=0.098=（21.30221.302，21.49821.498），该批零件平），该批零件平均长度的置信区间为均长度的置信区间为21.
19、302cm21.498cm21.302cm21.498cm之间之间 2008-2009【例例例例】一一家家保保险险公公司司收收集集到到由由3636个个投投保保个个人人组组成成的的随随机机样样本本，得得到到每每个个投投保保人人的的年年龄龄(周周岁岁)数数据据如如下下表表。试建立投保人年龄试建立投保人年龄90%90%的置信区间的置信区间 36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322008-2009解解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样
20、本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁2008-2009总体均值的区间估计(小样本)假定条件总体服从正态分布,且方差()未知小样本(n 30)使用 t 分布统计量总体均值 在1-置信水平下的置信区间为2008-2009t 分布 t t分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，它它通通常常要要比比正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。一一个个特特定定的的t t分分布布依依赖赖于于称称之之为为自自由由度度的的参参数数。随随着着自自由由度度的的增增大大，t t分分布布也也逐逐渐渐趋于正态分布趋于正态分布 X X
21、Xt t 分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布t t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z Z2008-2009【例例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702008-2009解解：已 知 N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信
22、区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时2008-20095.4 总体比例的区间估计总体比例的区间估计v大样本重复抽样时的估计方法大样本重复抽样时的估计方法v大样本不重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法2008-2009大样本重复抽样的区间估计假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量总体比例总体比例 在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为2008-2009【例例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：
23、解：已知 n=100，p65%,1-=95%，z/2=1.96该 城 市 下 岗 职 工 中 女 性 比 例 的 置 信 区 间 为55.65%74.35%2008-20095.5 样本容量的确定样本容量的确定v估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定v估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定2008-20091.估计总体均值时样本容量n为2.样本容量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比3.计算结果通常向上进位v估计总体均值时样本容量的确定 其中：其中：2008-2009【例例】拥有工商管理学
24、士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？2008-2009解解:已知=500，E=400,1-=95%，z/2=1.96 12/22置信度为90%的置信区间为即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本 2008-2009根据比例区间估计公式可得样本容量n为v估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5其中：其中：2008-2009【例例例例】根根据据以以往往的的生生产产统统计计，某某种种产产品品的的合合格格率率约约为为90%90%，现现要要求求边边际际误误差差为为5%5%，在在求求95%95%的的置置信信区间时，应抽取多少个产品作为样本？区间时，应抽取多少个产品作为样本？解解:已知=90%，=0.05，Z/2=1.96，E=5%应抽取的样本容量为 应抽取139个产品作为样本2008-2009本章小结1.抽样与抽样分布抽样与抽样分布2.参数估计的基本问题参数估计的基本问题3.总体均值和比例的区间估计总体均值和比例的区间估计4.样本容量的确定样本容量的确定2008-2009