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1、 41 常微分方程的概念（第常微分方程的概念（第27讲）讲）1676年，贝努利(Bernoulli）致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具背背 景景 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程、微分方程的阶微分方程的解、微分方程的通解初始条件、微分方程的特解方程方程含有未知量的等式。例如微分方程微分方程含有未知函数的导数或微分，同时也可能包含有自变量与未知函数的已知关系式。例如例如例例4-1 镭的裂变。解：解：于是，按照裂变规律，可列出方程上式再变为两边积分得（C0是一个积分常数）由于已知在时刻时t=0，
2、M=M0，代入上式有于是，在t时刻，镭的质量为例例4-1 镭的裂变。例例4-2 在直角坐标系下，已知某一机械零件形状是一条曲线，这条曲线上任意一点的切线斜率等于该点的横坐标加上1，且该曲线过点（0，1），求该曲线方程。解：解：设所求曲线的方程为y=y(x)，根据已知条件，有两边积分，得又已知曲线过点（0，1），即C=1代入得为所求之曲线。未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程 上述两例都是常微分方程本书未作特别说明，所出现的微分方程均为常微分方程。本书未作特别说明，所出现的微分方程均为常微分方程。下面介绍一组概念。下面介绍一组概念。微分方程中未知
3、函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶例如，微分方程是一阶微分方程；微分方程是二阶微分方程微分方程的解：微分方程的解：凡包含任意常数且其个数与方程的阶数相同的解叫做一一般解（或通解）。般解（或通解）。微分方程的通解：微分方程的通解：如果函数y=y(x)代入微分方程使其等号左右两边恒等，则y=y(x)叫做这个微分方程的解求微分方程的解的过程，称为解微分方程如：上两例 用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件如初始条件：初始条件：xx0 时，yy0，y y0 一般写成 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解即不含任意常数的解或凡满足特定条件的解称为微分方程的特解特解特解：特解：一般解的图形表示一族曲线，这曲线族叫做积分曲线族。特解的图形是积分曲线族中的一条曲线。积分曲线簇积分曲线簇：xyo 例例4-3 已知函数xC1 sin xC2 cos x是二阶微分方程的一般解(C1，C2为任意常数），并求满足初始条件的特解 解解又，由初始条件得方程组，故所求的解为课堂小结 微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解作业：作业：P107 练习4.1 1（2）（4）2（2）（3）