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1、 环 境 系 统 分 析 第 5 讲第三章 水环境系统数学模型 一、环境质量基本模型一、环境质量基本模型1、污污染染物物在在环环境境介介质质中中（大大气气、水水等）的等）的运动特征运动特征。指指随随介介质质的的迁迁移移，在在介介质质中中的分散，污染物的衰减转化。的分散，污染物的衰减转化。（1）推流迁移）推流迁移只只改改变变污污染染物物所所处处位位置置，不不能能降低污染物浓度。降低污染物浓度。迁移通量：迁移通量：fx=uxcfy=uycfz=uzc（3-1）其其中中ux、uy、uz为为介介质质的的流流速速分分量量，C为为污污染染物物在在环环境境介介质质中中的的浓度。浓度。（2）分散作用）分散作用
2、包包含含三三个个内内容容：分分子子扩扩散散，湍湍流流扩扩散散和和弥散弥散。假假定定污污染染物物质质点点的的动动力力学学特特性性与与水水的的质质点点一一致致。（这这一一假假设设对对于于多多数数溶溶解解污污染染物物、胶胶体体污污染染物物或或浮浮力中性的颗粒物质是可以满足的）力中性的颗粒物质是可以满足的）分子扩散（由分子的随机运动引起）分子扩散（由分子的随机运动引起）服服从从FickFick第第一一定定律律，即即分分子子扩扩散散的的质质量量通通量量与与扩扩散散物物质质的的浓浓度度梯梯度成正比。度成正比。单单位位为为g/m2s。分分子子扩扩散散是是各各向向同同性性的的，（Em相相同同），负负号号表表示
3、示质质点点的的迁迁移移方方向向（负负梯梯度度方方向向），Em的的数数值值在在大大气气中中的的量量级级为为1.610-5m2/s，在在河河流流中中为为10-510-4m2/s，浓度浓度C为瞬时浓度为瞬时浓度。湍流扩散湍流扩散湍湍流流流流场场中中，质质点点的的各各种种状状态态（流流速速、压压力力、浓浓度度等等）的的瞬瞬时时值值相相对对于于其其时时平平均均值值的的随随机机脉脉动动而而导导致的分散现象。致的分散现象。亦亦可可用用FickFick第第一一定定律律表表述述：（瞬时脉动速度稳定时）（瞬时脉动速度稳定时）可知湍流扩散中：可知湍流扩散中：各向异性各向异性时间平均的污染物浓度时间平均的污染物浓度若
4、若直直接接用用瞬瞬时时值值计计算算就就不不会会出出现现湍湍流扩散项流扩散项在在 大大 气气 中中 E E垂垂 直直 方方 向向为为 2 21010-1-1 1010-2-2 m m2 2/s/s，E E水水平平方方向向为为10 10 10105 5 m m2 2/s/s；在在海海洋洋中中 E E垂垂直直方方向向为为1010-5-5 1010-2-2 m m2 2/s/s，E E水水平平方方向向为为10102 2 10104 4 m m2 2/s/s；在在河河流中流中E E为为1010-2-2 10 100 0m m2 2/s/s。弥散作用弥散作用在在用用时时平平均均的的断断面面平平均均流流速速
5、描描述述实实际际的的运运动动时时，应应考考虑虑弥弥散散作作用用。它它是是由由空空间间各各点点湍湍流流流流速速（或或其其它它状状态态变变量量）的的时时平平均均值值与与流流速速时时平平均均值值的的空空间间平平均均值值的的系系统统差差所所产产生生的的分分散散现现象。象。亦可仿照亦可仿照Fick第一定律来描述：第一定律来描述：弥散作用特性：弥散作用特性：各向异性各向异性湍湍流流时时平平均均浓浓度度的的空空间间平平均均值值（断断面）面）一般河流中一般河流中D D为为10101 1 10104 4 m m2 2/s/s （3 3）污染物的衰减和转化；）污染物的衰减和转化；进进入入环环境境中中的的污污染染物
6、物可可分分为为两大类：守恒物质和非守恒物质。两大类：守恒物质和非守恒物质。守守恒恒物物质质：改改变变其其空空间间所所处处位位置置和和降降低低其其初初始始浓浓度度，但但总总量量不不改改变变，如如重重金金属属、很很多多高高分分子子有有机机化化合合物物（环环境境对对它它们们没没有有净净化化能能力力）需需严严格控制。（要求零排放）格控制。（要求零排放）非非守守恒恒物物质质：改改变变位位置置，降降低低浓浓度度且且自自身身衰衰减减加加速速浓浓度度的的下下降降，其其有有两种衰减方式：两种衰减方式：一一是是由由其其自自身身的的运运动动变变化化规规律律决定的，如：放射性物质的蜕变。决定的，如：放射性物质的蜕变。
7、另另一一种种是是在在环环境境因因素素的的作作用用下下，由由于于化化学学的的或或生生物物的的反反应应而而不不断断衰衰减减。如如：可可生生化化降降解解的的有有机机物物在在大大气气或或水水体体中中的的微微生生物物作作用用下下的的氧氧化化分分解解过过程程。试试验验和和实实际际观观测测数数据据都都证证明明，该该衰衰减减符符合合一一级级反反应应动动力力学学规律，即：规律，即：2、环环境境质质量量基基本本模模型型（现现象象模模型型中中扩扩散散方方程的进一步简化程的进一步简化）假假定定：污污染染物物能能与与环环境境介介质质互互相相融融合合，污污染染物物质质点点与与环环境境介介质质质质点点具具有有相相同同的的流
8、流体体力力学学特特性性。（即即能能均均匀匀地地分分散散开开，不不产产生生凝凝聚聚，沉沉淀淀和和挥挥发发，从从而而可可把把污污染染物物质质点点当当作作流流体体质质点点进行分析。）进行分析。）对对实实际际环环境境，则则将将作作为为对对基基本本模型修正的形式予以考虑。模型修正的形式予以考虑。（1）零零维维模模型型（无无浓浓度度梯梯度度，故故扩扩散散问题不存在问题不存在）将将所所研研究究的的环环境境单单元元视视作作一一个个完完全全混混合合的的反反应应器器，不不存存在在环环境境质质量量的的空空间间差差异异，进进入入反反应应器器的的污污染染物物能能在在瞬瞬间间内内分分散散到到反反应应器器的的空空间间各各部
9、部位位。（考考虑虑衰衰减减，转转化）化）在在湖湖泊泊和和箱箱式式大大气气模模型型中中广广为采用。为采用。其其中中：V是是反反应应器器的的容容积积、Q为为流流量量、C0为为初初始始浓浓度度、C为为输输出出浓浓度度（即即反反应应器器中中的的浓浓度度）、S为为源源与与汇汇（水水体体中中污污染染物物的的其其他他来源）、来源）、r为反应速度。为反应速度。若若r=KC且无源与汇，则：且无源与汇，则：VdC/dt=Q(C0C)-KCV(3-7)（2）一维基本模型。）一维基本模型。微微元元仅仅在在一一个个方方向向上上存存在在浓浓度度梯度。梯度。在在均均匀匀流流体体中中，Ux和和Dx不不随随x变化，则变化，则
10、其其中中：Dx是是纵纵向向弥弥散散系系数数，ux为为断断面面平平均均速速度度，k为为衰衰减减速速度度系数（对难降解的污染物系数（对难降解的污染物k=0）一一般般应应用用于于河河流流水水质质的的模模拟拟、预测。预测。（3 3）二维和三维基本模型。）二维和三维基本模型。二二维维：两两个个方方向向存存在在浓浓度度梯梯度度（x x、y y、z z中的任两个）中的任两个）三三维维：x x、y y、z z三三个个方方向向存存在在浓浓度度梯梯度。度。二二维维：（3-103-10）在在此此c c和和u u用用时时平平均均值值的的断断面面平平均值（沿均值（沿z z方向的）方向的）D D比比ExEx、EyEy大大
11、得得多多，比比EmEm更更大大得得多多，故故ExEx、EyEy、EmEm均均略略去去。较较多多应应用用于于大大型型河河流流，河河口口、海海湾湾、浅浅湖湖中，也用于线源大气污染计算中。中，也用于线源大气污染计算中。三维模型：三维模型：此此时时：c c用用时时平平均均值值，u u也也同同样样。ExEx等等比比EmEm大大得得多多，故故EmEm作作用用忽略。忽略。注注意意：在在三三维维模模型型中中，因因为为不不采采用用断断面面平平均均值值，所所以以不不出出现现弥弥散散系系数。数。三三维维模模型型大大量量应应用用在在大大气气质质量量的的模模拟拟和和预预测测中中，在在深深海海排排放放污污水水也也可可用用
12、三三维维模模型型进进行行水水质质预预测。测。二、环境质量基本模型的解：二、环境质量基本模型的解：（一）零维模型的解析解为：（一）零维模型的解析解为：式中式中：I=QC0/V污污染染物物负负荷荷函函数数，即单位水体污染物输入速率。即单位水体污染物输入速率。=V/(Q+KV)水力停留时间水力停留时间稳定情况，即：稳定情况，即：dC/dt=0其其解解为为：C=QC0/(Q+KV)（3-13）对对于于由由N个个完完全全混混合合状状态态河河段段组成的河流，则第组成的河流，则第i河段出水浓度为：河段出水浓度为：X河河段段长长度度u河河段段流速流速 若若在在第第i河河段段处处有有旁旁侧侧入入流流（支支流流、
13、污污水水排排入入等等），则则该该段段的的起始污染物浓度为：起始污染物浓度为：其其中中qi,Ci分分别别第第i段段旁旁侧侧入入流流的的流流量量和和污染物浓度。污染物浓度。此时第此时第i段出水可写成：段出水可写成：下下游游的的水水质质，仍仍按按式式（3-143-14）计计算算，注注意意一一下下CoCo为为CoiCoi，i i按按（j-j-i i），j j为为从从最最初初段段（i=0i=0）起起算算的的河河段数。段数。（二）一维河流水质模型的解析解（二）一维河流水质模型的解析解1、稳态模型：、稳态模型：（C为对时间对断面的平均值）为对时间对断面的平均值）若边界条件为：若边界条件为：C|x=0=C0C
14、|x=C0则解为：则解为：一般来说，非潮汐河流其弥散一般来说，非潮汐河流其弥散作用影响很小，即作用影响很小，即Dx=0，则控制方，则控制方程为：程为：2 2、瞬瞬时时源源一一维维方方程程解解析析解解：（非非稳稳态）态）对对于于瞬瞬时时突突然然排排放放污污染染物物的的情情况，方程的边界条件和初始条件是：况，方程的边界条件和初始条件是：利利用用函函数数的的特特性性和和LaplaceLaplace变变换换得得方方程程在在该该边边界界条条件件下下的的解解析析解为：解为：对于难降解污染物，则对于难降解污染物，则k=0k=0：其中，其中，A A为断面的平均面积。为断面的平均面积。例例：在在河河流流O O点
15、点投投放放10kg10kg若若丹丹明明示示踪踪剂剂，河河流流流流速速u=0.5m/su=0.5m/s，弥弥数数系系数数DxDx=50=50 m m2 2/s/s，断断面面积积A=20 A=20 m m2 2，求求投投放放示示踪踪剂剂下下游游500m500m处处河河水水中示踪剂浓度随时间变化曲线。中示踪剂浓度随时间变化曲线。解：解：O点处投放示踪剂浓度点处投放示踪剂浓度Co为：为：C0=W/Q=101000/0.520=1000mg/l（瞬时投放假设以瞬时投放假设以1s时间计）。时间计）。在在x=500m处河水示踪剂浓度为：处河水示踪剂浓度为：当当t=14min时时，河河水水中中示示踪踪剂剂浓浓
16、度度最高，约为最高，约为0.663mg/l。此瞬时源的解还常用来估计弥散系此瞬时源的解还常用来估计弥散系数，即：数，即：在在均均匀匀流流场场中中，向向河河流流瞬瞬时时投投放放示示踪踪物物，在在初初始始断断面面处处搅搅拌拌均均匀匀，在在下下游游某某断断面面处处测测得得一一组组浓浓度度C Ci i（x x、t ti i）和和时时间间t ti i值值，代代入入方方程程并对两边取对数得：并对两边取对数得：由由x1i，y1i值值作作一一元元线线性性回回归归得得直直线线的的斜率即为斜率即为1/Dx，从而求得，从而求得Dx.。3、连续源一维方程解析解：、连续源一维方程解析解：若若污污染染物物不不是是瞬瞬时时
17、投投放放，投投放放时时段段为为t，则，则 此此式式积积分分后后，为为一一复复杂杂的的表表达达式式，此处略。此处略。（三三）二二维维稳稳态态河河流流水水质质扩扩散散模模型型及其解析解：及其解析解：在在有有界界边边的的情情况况下下，则则上上两两式式将将改改变变，且且据据污污染染源源处处于于边边界界中中间间还还是是边边界界上上（即即边界条件不同）而不同，此处不再讨论。边界条件不同）而不同，此处不再讨论。（四）三维模型的稳态解（四）三维模型的稳态解在均匀稳定流中，三维模型可在均匀稳定流中，三维模型可解得：（稳态解）解得：（稳态解）注意：各模型的解的前提条件和变注意：各模型的解的前提条件和变量与参量的具
18、体含义，切勿混用。量与参量的具体含义，切勿混用。（五）污染物在均匀流场中的分布（五）污染物在均匀流场中的分布特征：特征：其主要为浓度场的正态分布。其主要为浓度场的正态分布。一维流场中的分布特征：一维流场中的分布特征：对于点源瞬时排放的一维模对于点源瞬时排放的一维模型，假设衰减速度常型，假设衰减速度常k=0，且令：，且令：即在污染物投放点下游即在污染物投放点下游x x断断面处，污染浓度随时间变化为正面处，污染浓度随时间变化为正态分布态分布 。Cmax出现的时间为：出现的时间为：在在同同一一断断面面处处x越越大大，表表明明污污染染物物的的离离散散程程度度越越好好，在在弥弥散散系系数数增增大大时时，
19、Cmax将将下下降降，且且延长污染物的通过时间。延长污染物的通过时间。二维流场中的分布特征二维流场中的分布特征 对于二维稳态的污染物分布，如对于二维稳态的污染物分布，如果令果令 即在排污点下游即在排污点下游X X断面上污染物断面上污染物在横向呈正态分布。在横向呈正态分布。三、天然水体水质数学模型三、天然水体水质数学模型（考虑多（考虑多污染指标因素）污染指标因素）1、河流中的基本水质问题。、河流中的基本水质问题。（1）污染物与河水的混合）污染物与河水的混合 在排污口附近属三维混合问在排污口附近属三维混合问题，而在离之远些的地方（完成题，而在离之远些的地方（完成横向混合）污染物在整个断面上横向混合
20、）污染物在整个断面上达到均匀分布，再往下游的混合达到均匀分布，再往下游的混合则为一维混合问题。则为一维混合问题。若水深、水宽都相对河段长若水深、水宽都相对河段长很小时，可简化为一维混合问题。很小时，可简化为一维混合问题。（2）生物化学分解）生物化学分解 河流中含碳有机物的生物降河流中含碳有机物的生物降解可用一级反应式表达解可用一级反应式表达：式中式中：L剩余生化需氧量剩余生化需氧量Lco初始生化需氧量初始生化需氧量KcBOD降解速度常数，与温降解速度常数，与温度有关。度有关。Kc，T=Kc，20T-20，在在1.047左右左右（T=100350C）Kc可由试验室中测定生化需氧量可由试验室中测定
21、生化需氧量和时间关系来估计。和时间关系来估计。河流中河流中BOD衰减速度常数衰减速度常数Kr不不仅包括生物降解还包括沉淀作用仅包括生物降解还包括沉淀作用（Ks）故：）故：Kr=Kc+Ks，Kr可由下式估算：可由下式估算：L LA A、L LB B上游断面上游断面A A和下游断面和下游断面B B处的处的BODBOD浓度。浓度。t t两断面间的流行时间。两断面间的流行时间。B处同样比处同样比A处迟处迟t时间时间。一年四季及枯水期，平水期，丰一年四季及枯水期，平水期，丰水期均有差异，应分别测定。水期均有差异，应分别测定。另一求法：另一求法：（考虑河流参数对实验室测定（考虑河流参数对实验室测定值值Kc
22、的影响）的影响）其中：其中：KcKc实验室数值，实验室数值，河床河床活度系数活度系数（与河床（与河床坡度有关）坡度有关）u ux x平均流速（平均流速（m/sm/s）H H平平均水深（均水深（m m）对河流中的含氮有机物仍可与前同对河流中的含氮有机物仍可与前同样分析，只是样分析，只是Kc应换为应换为KN，称为，称为含氮有机物生物化学衰减速度常数，含氮有机物生物化学衰减速度常数，亦称为硝化速度常数（与溶解氧含亦称为硝化速度常数（与溶解氧含量，量，PH值，水温等有关）。值，水温等有关）。KN需考虑有机氮、氨氮、亚硝酸盐需考虑有机氮、氨氮、亚硝酸盐氮和硝酸盐氮的初始浓度及衰减速氮和硝酸盐氮的初始浓度及衰减速度常数，进一步的了解可参考有关度常数，进一步的了解可参考有关文献文献。