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1、第四章空 间 力 系工程力学高等教育出版社2 CONTENTS目录轴向拉伸与压缩的概念与实例4.1截面法、轴力与轴力图4.2横截面上的应力4.3轴向拉压杆的变形 胡克定律4.4材料在轴向拉压时的力学性能4.5轴向拉压杆的强度计算 4.6拉压超静定问题简介 4.7压杆稳定的概念4.83 4.1 轴向拉伸与压缩的概念与实例 在工程实际中，许多杆件承受拉力和压力的作用。如图 4.1所示的起重机吊架，忽略自重，AB，BC 两杆均为二力杆；BC 杆在通过轴线的拉力作用下沿杆轴线发生拉伸变形；AB 杆在通过轴线的压力作用下沿杆轴线发生压缩变形。受力特点是：杆件承受外力的作用线与杆件轴线重合；变形特点是：杆
2、件沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向轴向拉伸或压缩拉伸或压缩，简称拉伸或压缩拉伸或压缩。这类杆件称为拉杆或压杆，如内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等。图 4.2为拉杆和压杆的计算简图。轴向拉伸与压缩的概念与实例轴向拉伸与压缩的概念与实例4.15 4.2 截面法、轴力与轴力图一、内力的概念一、内力的概念 为了维持杆件各部分之间的联系，保持一定的形状和尺寸，杆件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力内力。在外部载荷作用下，杆件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因外部载荷作用而引起的杆件内力的改变量，称为附加内力附加内力。二、截面法、轴力与轴力图二、截面法、轴力与轴力图
3、 为了求如图 a 所示两端受轴向拉力 F 的直杆任一横截面1-1上的内力，可假想用与直杆轴线垂直的平面在 1-1截面处将杆件截开；取左段为研究对象，用分布内力的合力 FN 来替代右段对左段的作用（图 b）；建立平衡方程，可得 FN F。以上三步求内力的这种方法称为截面法截面法。截面法、轴力与轴力图截面法、轴力与轴力图4.2二、截面法、轴力与轴力图二、截面法、轴力与轴力图 由于外力 F 的作用线沿着杆的轴线，内力 FN 的作用线也必通过杆的轴线，故轴向拉伸或压缩时杆件的内力称为轴力轴力。在实际问题中，直杆各横截面上的轴力 FN 是横截面位置坐标 x 的函数。即FN FN（x）用平行于杆件轴线的
4、x 坐标表示各横截面的位置，垂直于杆轴线的 FN坐标表示对应横截面上的轴力，这样画出的函数图形称为轴力图轴力图。截面法、轴力与轴力图截面法、轴力与轴力图4.2直杆 AD 受力如图所示。已知 F1 16 kN，F2 10 kN，F3 20 kN，试画出直杆 AD的轴力图。4.1例例9 4.3 横截面上的应力一、应力的概念一、应力的概念 如图 a 所示，在截面 m m 上任一点 O 的周围取微面积 A，设在微面积 A 上分布内力的合力为 F，则 F 与 A 的比值称为微面积 A 上的平均应力，用 pm 表示，即 一般情况下，内力在截面上的分布并不均匀，为了更精确地描述内力的分布情况，令微面积A 趋
5、近于零，由此所得平均应力 pm 的极限值用 p 表示：p 称为 O 点处的应力应力，它是一个矢量，通常将其分解为与截面垂直的分量正应力 和与截面相切的分量切应力（图 b）。横截面上的应力横截面上的应力4.3二、横截面上的正应力二、横截面上的正应力假设假设：拉伸杆件变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了平移，仍与杆的轴线垂直，这个假设称为平面假设平面假设。推断推断：内力在横截面上的分布是均匀的，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力 FN一致，垂直于横截面，为正应力。其计算公式为横截面上的应力横截面上的应力4.3一直杆中段正中开槽，此杆承受轴向载荷 F 20 kN的作
6、用，如图所示。已知 h 25 mm，h0 10 mm，b 20 mm。试求杆内的最大正应力。4.2例例13 4.4 轴向拉压杆的变形 胡克定律一、纵向线应变和横向线应变一、纵向线应变和横向线应变 为了消除杆件原尺寸对变形大小的影响，用单位长度内杆的变形即线应变线应变来衡量杆件的变形程度。所以，纵向线应变纵向线应变为 横向线应变横向线应变为 实验表明：当应力不超过某一限度时，横向线应变 和纵向线应变 之间存在正比关系，且符号相反。即 式中，比例常数 称为材料的横向变形系数横向变形系数，或称为泊松比泊松比。轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 胡克定律胡克定律4.4二、胡克定律二、胡克定律 轴向拉伸和
7、压缩实验表明：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，正应力 与相应的纵向线应变 成正比。即 该式称为胡克定律胡克定律。常数 E 称为材料的 弹性模量。对同一材料，E 为常数。弹性模量具有和应力相同的单位，常用 GPa 表示。胡克定律的另一表达式 EA称为杆的抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度，它反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。EA越大，杆件变形越困难；EA越小，杆件变形越容易。轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 胡克定律胡克定律4.4轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 胡克定律胡克定律4.4阶梯状直杆受力如图所示，试求整个杆的总变形量。已知其横截面面积分别为 ACD 300 mm2，AAB ABC
8、 500 mm2，弹性模量 E 200 GPa。4.3例例18 4.5 材料在轴向拉压时的力学性能一、拉伸试验和应力一、拉伸试验和应力 应变曲线应变曲线 轴向拉伸试验是研究材料力学性能最常用的方法。为便于比较试验结果，需按照国家标准加工成标准试样。常用的圆截面拉伸标准试样如图所示，试样中间等直杆部分为试验段，其长度 l 称为标距；试样较粗的两端是装夹部分；标距 l 与直径 d 之比常取 l/d 10。其他形状截面的标准试样可参阅有关国家标准。两端是装夹部分；标距 l 与直径 d 之比常取 l/d 10。其他形状截面的标准试样可参阅有关国家标准。拉伸试验在万能试验机上进行。试验时将试样装在夹头中
9、，然后开动机器加载。试样受到由零逐渐增加的拉力 F 的作用，同时发生伸长变形，直至试样断裂为止。试验机上一般附有自动绘图装置，在试验过程中能自动绘出载荷 和相应的伸长变形 l 的关系曲线，此曲线称为拉伸图或 F l 曲线（图 a）。材料在轴向拉压时的力学性能材料在轴向拉压时的力学性能4.5一、拉伸试验和应力一、拉伸试验和应力 应变曲线应变曲线 拉伸图的形状与试样的尺寸有关。为了消除试样横截面尺寸和长度的影响，将载荷 F 除以试样原来的横截面面积 A，得到应力；将变形 l 除以试样原长 l，得到应变，这样得到的曲线称为应力 应变曲线（曲线）。曲线的形状与 F l 曲线相似（图 b）。材料在轴向拉
10、压时的力学性能材料在轴向拉压时的力学性能4.5二、低碳钢拉伸时的力学性能二、低碳钢拉伸时的力学性能 图 a，b 分别是低碳钢圆截面标准试样拉伸时的 F l 曲线和 曲线。由图可知，整个拉伸过程大致可分为 4 个阶段：1.线弹性阶段2.屈服阶段3.强化阶段4.缩颈阶段材料在轴向拉压时的力学性能材料在轴向拉压时的力学性能4.5三、其他材料在拉伸时的力学性能三、其他材料在拉伸时的力学性能 其他金属材料的拉伸试验和低碳钢拉伸试验做法相同，但材料所显示出来的力学性能有差异。如图给出了锰钢、硬铝、退火球墨铸铁和 45 钢的应力 应变曲线。这些都是塑性材料。但前三种材料没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶
11、段的塑性材料，工程上规定，取对应于试样产生 0.2 的塑性应变时的应力值为材料的规定非比例伸长应力，以 p0.2表示。材料在轴向拉压时的力学性能材料在轴向拉压时的力学性能4.5四、材料压缩时的力学性能四、材料压缩时的力学性能 材料在轴向拉压时的力学性能材料在轴向拉压时的力学性能4.524 4.6 轴向拉压杆的强度计算一、其他材极限应力一、其他材极限应力 许用应力许用应力 安全因数安全因数 材料丧失正常工作能力即为失效失效。材料失效时的应力称为极限应力极限应力，用 u 表示。一般把极限应力除以大于 1 的安全因数 n，所得结果称为许用应力，用表示。即轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算4.6
12、二、拉（压）杆的强度条件二、拉（压）杆的强度条件 为了保证拉（压）杆安全正常地工作，必须使杆内的最大工作应力 max不超过材料的拉伸（或压缩）许用应力，即 上式称为拉（压）杆的强度条件。对于等截面杆件，上式可写成轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算4.6某机构的连杆直径 d 240 mm，承受最大轴向外力 F 3780 kN，连杆材料的许用应力 90 MPa。试校核连杆的强度；若连杆由圆形截面改成矩形截面，高与宽之比 h/b 1.4，试设计连杆的尺寸 h 和 b。4.4例例如图所示三角形构架，AB 为直径 d 30 mm 的钢杆，钢的许用应力=170 MPa，BC 为尺寸 b h 60 m
13、m 120 mm 的矩形截面木杆，木材的许用应力 10 MPa，求该结构的 B 点竖直方向的许用载荷F。4.5例例29 4.7 拉压超静定问题简介一、超静定的概念及其解法一、超静定的概念及其解法 在静力学中，当未知力的个数未超过其相应的独立平衡方程的个数时，由平衡方程可求解全部未知力，这类问题称为静定问题静定问题，相应的结构为静定结构静定结构。若未知力的个数超过了独立平衡方程的个数，仅由平衡方程无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题超静定问题，相应的结构为超静定结构超静定结构。未知力的个数与独立的平衡方程个数之差称为超静定次数超静定次数。超静定结构是根据特定工程的安全可靠性要求在静定结构上
14、增加了一个或几个约束，从而使未知力的个数增加。这些在静定结构上增加的约束称为多余约束多余约束。多余约束的存在改变了结构的变形几何关系，因此建立变形协调的几何关系（即变形协调方程变形协调方程）是解决超静定问题的关键。二、装配应力与温度应力介绍二、装配应力与温度应力介绍 由于装配而在杆内产生的应力，称为装配应力装配应力。因温度变化而引起的杆内应力称为温度应力温度应力。拉压超静定问题简介拉压超静定问题简介4.7等直杆 AB 受力和尺寸如图，求杆 AB 两端所受的约束力。4.5例例32 4.8 压杆稳定的概念 在研究压杆的强度问题时，认为只要压杆满足强度条件，就能保证安全工作。这个结论对于短粗压杆是正
15、确的，但对细长压杆就不适用了。压杆丧失保持原有直线平衡状态的能力而破坏的现象称为失稳失稳。由于细长压杆失稳时杆件的工作压应力远低于许用压应力，且失稳现象又常常突然发生，这势必会导致一些难以预料的严重后果，甚至导致整个结构物的倒塌，因此必须高度重视细长压杆的稳定性问题。压杆稳定的概念压杆稳定的概念4.81.指出下列概念的区别：内力与应力；变形与应变；弹性变形与塑性变形；极限应力与许用应力。2.判断如图所示构件中哪些属于轴向拉伸或轴向压缩？思考题思考题3.三种材料的 曲线如图所示。试说明哪种材料的强度最高？哪种材料的塑性最好？在弹性范围内哪种材料的弹性模量最大？4.两根不同材料制成的等截面直杆，承受相同的轴向拉力，它们的横截面积和长度都相等。试说明：横截面上的应力是否相等？强度是否相同？绝对变形是否相同？为什么？思考题思考题5.两根相同材料制成的拉杆如图所示。试说明它们的绝对变形是否相同？如不相同，哪根变形大？另外，不等截面直杆的各段应变是否相同？为什么？6.求解超静定问题的关键是什么？思考题思考题高等教育出版社