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1、初二年级 数学一元二次方程解法复习主讲人 张春静北京市通州区第二中学你知道一元二次方程有哪些解法吗？问题1你知道一元二次方程有哪些解法吗？问题1一元二次方程的解法：(1)开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.特殊解法：开平方法因式分解法特殊解法：开平方法因式分解法具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.特殊解法：开平方法因式分解法具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.一般解法：配方法公式法特殊解法：开平方法因式分解法具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.一般解法：配方法公式法适用于任意一个一元二次方程求解.你能说说每一种解法的特点吗？问题2你能说说每一种解法的特点吗？问题
2、21.开平方法.你能说说每一种解法的特点吗？问题21.开平方法.条件：形如 x2=m(m0)的方程.你能说说每一种解法的特点吗？问题21.开平方法.条件：形如 x2=m(m0)的方程.依据：平方根的意义.如果x2=m(m0)，那么x=.解法步骤：解法步骤：(1)将方程整理成 x2=m(m0)的形式.解法步骤：(1)将方程整理成 x2=m(m0)的形式.(2)依据平方根的意义，开平方得x=，从而求出方程的解.解法步骤：(1)将方程整理成 x2=m(m0)的形式.(2)依据平方根的意义，开平方得x=，从而求出方程的解.注：开平方的目的是将二次方程降为一次方程.例1.用开平方法解下列方程.(1)3x
3、2_75=0；(2)(3a-1)2-2=0.(1)3x2_75=0.(1)3x2_75=0.解：(1)移项，得 3x2=75.(1)3x2_75=0.解：(1)移项，得 3x2=75.系数化1，得 x2=25.(1)3x2_75=0.解：(1)移项，得 3x2=75.系数化1，得 x2=25.开平方，得 x=.x=5.所以方程的解是 x1=5，x2=-5.(2)(3a-1)2-2=0.解：(2)移项，得 (3a-1)2=2.(2)(3a-1)2-2=0.解：(2)移项，得 (3a-1)2=2.开平方，得 3a-1=.3a-1=或 3a-1=-.(2)(3a-1)2-2=0.解：(2)移项，得
4、(3a-1)2=2.开平方，得 3a-1=.3a-1=或 3a-1=-.3a-1=3a=1+3a-1=-3a=1-(2)(3a-1)2-2=0.解：(2)移项，得 (3a-1)2=2.开平方，得 3a-1=.3a-1=或 3a-1=-.所以方程的解是 a1=，a2=.3a-1=3a=1+3a-1=-3a=1-(2)(3a-1)2-2=0.2.因式分解法.2.因式分解法.条件：方程可以化为两个一次因式的乘积 等于0的形式.2.因式分解法.条件：方程可以化为两个一次因式的乘积 等于0的形式.依据：两个因式的积为0，那么这两个因式至 少有一个等于0.即如果a b=0，那么a=0或b=0.解法步骤：（
5、1）将方程整理成等号右边是0，左边是两 个一次因式乘积的形式.解法步骤：（1）将方程整理成等号右边是0，左边是两 个一次因式乘积的形式.（2）依据若a b=0，则a=0或b=0，转化 为两个一元一次方程.解法步骤：（1）将方程整理成等号右边是0，左边是两 个一次因式乘积的形式.（2）依据若a b=0，则a=0或b=0，转化 为两个一元一次方程.（3）解这两个一元一次方程求出方程的解.解法步骤：(1)x2-5x=0；(2)4(2x-1)=3x(2x-1).例2.用因式分解法解下列方程.(1)x2-5x=0.解：(1)因式分解，得 x(x-5)=0.(1)x2-5x=0.解：(1)因式分解，得 x
6、(x-5)=0.(1)x2-5x=0.a b=0 a=0或b=0解：(1)因式分解，得 x(x-5)=0.x=0 或 x-5=0.(1)x2-5x=0.解：(1)因式分解，得 x(x-5)=0.x=0 或 x-5=0.所以方程的解是 x1=0 ，x2=5.(1)x2-5x=0.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).解：(2)移项，得 4(2x-1)-3x(2x-1)=0.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).解：(2)移项，得 4(2x-1)-3x(2x-1)=0.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).解：(2)移项，得 4(2x-1)-3x(2x-1)=0.分解因式，得 (2x-1)(
7、4-3x)=0.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).a b=0 a=0或b=0解：(2)移项，得 4(2x-1)-3x(2x-1)=0.分解因式，得 (2x-1)(4-3x)=0.2x-1=0 或 4-3x=0.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).解：(2)移项，得 4(2x-1)-3x(2x-1)=0.分解因式，得 (2x-1)(4-3x)=0.2x-1=0 或 4-3x=0.所以方程的解是 x1=，x2=.(2)4(2x-1)=3x(2x-1).3.配方法.3.配方法.将方程ax2+bx+c=0(a0)通过配方转化为(x+n)2=m(m0)的形式，再利用开平方法求出方程的解.解法步
8、骤：(1)将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a0).解法步骤：(1)将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a0).(2)将二次项系数化1.解法步骤：(1)将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a0).(2)将二次项系数化1.(3)配方：方程转化为(x+n)2=m(m0)的形式.解法步骤：(1)将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a0).(2)将二次项系数化1.(3)配方：方程转化为(x+n)2=m(m0)的形式.(4)利用开平方法求出方程的解.解法步骤：例3.用配方法解方程.3x2+6x-4=0.例3.用配方法解方程.3x2+6x-4=0.
9、解：方程两边同时除以3，得 x2+2x-=0 .例3.用配方法解方程.3x2+6x-4=0.解：方程两边同时除以3，得 x2+2x-=0 .配方，得 x2+2x+12=+12.(x+1)2=.开平方，得 x+1=.x+1=.开平方，得 x+1=.x+1=.所以，方程的解为 x 1=-1+，x2=-1-.4.公式法.4.公式法.依据一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：x=(b2-4ac 0).解法步骤：解法步骤：(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c=0(a0)的形式；解法步骤：(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c=0(a0)的形式；(2)确定a，b，c 的值；解法步骤
10、：(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c=0(a0)的形式；(2)确定a，b，c 的值；(3)计算b2-4ac的值，判断方程是否有实数解；解法步骤：(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c=0(a0)的形式；(2)确定a，b，c 的值；(3)计算b2-4ac的值，判断方程是否有实数解；(4)当b2-4ac 0时，代入求根公式求出方程的解.例4.用公式法解方程.7x2+5x-3=0.7x2+5x-3=0.解：a=7，b=5，c=-3.7x2+5x-3=0.解：a=7，b=5，c=-3.b2-4ac=52-47(-3)=1090.7x2+5x-3=0.解：a=7，b=5，c=-3.b2-4a
11、c=52-47(-3)=1090.代入公式，得 x=.7x2+5x-3=0.解：a=7，b=5，c=-3.b2-4ac=52-47(-3)=1090.代入公式，得 x=.所以，方程的根是 x1=，x2=.方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.方程7x2+5x-3=0更
12、适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.3x2+6x-4=0.方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.3x2+6x-4=0.x2+2x+12=+12.方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.3x2+6x-4=0.x2+2x+12=+12.什么时候选配方法，什么时候选公式法？方程7x2+5x-3=0更适合用公式法还是配方法？思考 分析：x2+x-=0.配方，得 x2+x+()2 =+()2.
13、当方程的一次项系数是二次项系数的整数倍时，可以考虑用配方法求解，否则用公式法.3x2+6x-4=0.x2+2x+12=+12.什么时候选配方法，什么时候选公式法？例5.选择适当的方法解下列方程.(1)x2-289=0；(2)7x2+4x-3=0；(3)x2-2x-4=0；(4)x2-3x=0.(1)x2-289=0.开平方法解：移项，得 x2=289.开平方 ，得 x=.x=17.所以这个方程的解是 x1=17，x2=-17.(1)x2-289=0.（2）7x2+4x-1=0.公式法（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-1.（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-
14、1.b2-4ac=42-47(-1)=440.（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-1.b2-4ac=42-47(-1)=440.代入求根公式，得 =x=（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-1.b2-4ac=42-47(-1)=440.代入求根公式，得 =x=结果要化简（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-1.b2-4ac=42-47(-1)=440.代入求根公式，得 =.x=结果要化简（2）7x2+4x-1=0.解：a=7，b=4，c=-1.b2-4ac=42-47(-1)=440.代入求根公式，得 =.x=所以方程的解是x1=，x2=.结果
15、要化简(3)x2-2x-4=0配方法(3)x2-2x-4=0解：配方，得 x2-2x+(-1)2=4+(-1)2 .(x-1)2=5.(3)x2-2x-4=0解：配方，得 x2-2x+(-1)2=4+(-1)2 .(x-1)2=5.开平方，得 x-1=.所以方程的解是 x1=1+，x2=1-.(4)x2-3x=0.因式分解法(4)x2-3x=0.解：因式分解，得 x(x-3)=0.a b=0 a=0或b=0(4)x2-3x=0.解：因式分解，得 x(x-3)=0.x=0 或 x-3=0 .所以方程的解是 x1=0 ，x2=3 .解题反思观察方程的结构特点是否符合特殊解法，开平方法或者因式分解法
16、，不符合再考虑配方法和公式法，当一次项系数是二次项系数的整数倍时用配方法更简便.解题反思例6.选择适当的方法解下列方程.(1)x2+2x=3x(x+1)；(2)y(y-4)=4(y-1)；(3)x2-3x-=0.(1)x2+2x=3x(x+1).解：方程整理，得 2x2+x=0.因式分解法(1)x2+2x=3x(x+1).解：方程整理，得 2x2+x=0.因式分解，得 x(2x+1)=0.因式分解法(1)x2+2x=3x(x+1).a b=0 a=0或b=0解：方程整理，得 2x2+x=0.因式分解，得 x(2x+1)=0.x=0 或 2x+1=0.所以方程的解是 x1=0，x2=-.因式分解
17、法(1)x2+2x=3x(x+1).(2)y(y-4)=4(y-1).解：方程整理，得 y2-8y+4=0.配方法(2)y(y-4)=4(y-1).解：方程整理，得 y2-8y+4=0.配方，得 y2-8y+(-4)2=-4+(-4)2.配方法(y-4)2=12.(2)y(y-4)=4(y-1).解：方程整理，得 y2-8y+4=0.配方，得 y2-8y+(-4)2=-4+(-4)2.配方法(y-4)2=12.开平方，得 y-4=.所以方程的解是 y1=4+，y2=4-.(2)y(y-4)=4(y-1).公式法(3)x2-3x-=0.解：a=，b=-3，c=-.公式法b2-4ac=(-3)2-
18、4 (-)=170.(3)x2-3x-=0.解：a=，b=-3，c=-.公式法b2-4ac=(-3)2-4 (-)=170.代入求根公式，得 x=(3)x2-3x-=0.解：a=，b=-3，c=-.公式法b2-4ac=(-3)2-4 (-)=170.代入求根公式，得 x=分母有理化(3)x2-3x-=0.解：a=，b=-3，c=-.公式法b2-4ac=(-3)2-4 (-)=170.代入求根公式，得 x=.所以方程的解是 x1=，x2=.分母有理化(3)x2-3x-=0.解题反思当不能直接判断方程用哪种方法求解时，可以先将方程整理成一元二次方程的一般形式，再判断方程用哪种方法求解更简便.解题反
19、思小结1.一元二次方程的解法:开平方法；配方法；公式法；因式分解法.四种解法本质是通过降次，将二次方程转化为一次方 程，再求解.小结1.一元二次方程的解法:开平方法；配方法；公式法；因式分解法.四种解法本质是通过降次，将二次方程转化为一次方 程，再求解.2.如何选择适当方法解一元二次方程：首先选择自己最有把握的方法，进行正确求解；其次选择计算简便、快捷的方法.特殊解法开平方法，因式分解法.一般解法配方法，公式法.一般情况下，一次项系数是二次项系数的整数倍时，配方法更简便，否则用公式法简便.A组：1.选择适当的方法解下列方程.(1)2x2=5x；(2)x(x+7)=60；(3)x2-4x-2=0；(4)3(x-7)2=24.B组：2.选择适当的方法解下列方程.(1)x(x+3)=1；(2)2(x2-5)=x(1-x)；(3)5p2-12p-9=0；(4)p(p-8)-3p+24=0；(5)x2-2nx+n2=m2(x是未知数).作业祝同学们学习愉快！