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1、 二维二维不不变线变线性系性系统统 1二维不变线性系统的定义 一一个个二二维维脉脉冲冲函函数数在在输输入入平平面面上上位位移移时时，线线性性系系统统的的响响应应函函数数形形式式始始终终与与在在原原点点处处输输入入的的二二维维脉脉冲冲函函数数的的响响应应函函数数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即 这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为示为脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间距间距二维二维线线性不性不变变系系统还统还常常叫做空
2、常常叫做空间间不不变变（线线性）系性）系统统 2空空间间不不变变线性系统的输入输出关系示意图线性系统的输入输出关系示意图 3不不变线变线性系性系统统的的“卷积积分卷积积分”物理的空物理的空间间不不变线变线性系性系统统，输入平面和输出平面常常是不同的两个输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标平面，需要建立两个坐标 从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），
3、使得从数值上有化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有 和和脉冲响脉冲响应应函数函数变为变为叠加叠加积积分分变为变为“卷积积分卷积积分”光学成象系光学成象系统统可以把物平面划分可以把物平面划分为为若干个等若干个等晕晕区，把每个等区，把每个等晕晕区当区当作空作空间间不不变线变线性系性系统处统处理理 4二维二维不不变线变线性系性系统统的的传递传递函数函数 如果如果不不变线变线性系性系统统的的输输入是空域函数，其入是空域函数，其傅里叶变换为傅里叶变换为 同时同时输输出函数出函数和和脉冲响脉冲响应应函数的函数的傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 根据卷积定理有根据卷积定理有 即即称做称做不不变
4、线变线性系性系统统的的的的传递传递函数函数 5传递传递函数函数的物理意义的物理意义空间频谱空间频谱是基元函数的是基元函数的线线性性组组合中合中对应对应的的权权重因子重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数同频率的基元函数的作用，的作用，也就是系统在把输入也就是系统在把输入“传递传递”为输出过程中为输出过程中的作用，的作用，因而称为传递函数因而称为传递函数传递传递函数一般是复函数，其模的作用是改函数一般是复函数，其模的作用是改变输变输入函数各入函数各种种频率基元成分的幅值大小，其幅角的频率基元成分的幅值大小，其幅角的
5、作用是改作用是改变这变这些些基元成分的初位相基元成分的初位相传递传递函数的模称作振幅函数的模称作振幅传递传递函数，函数，传递传递函数的函数的幅角幅角称作称作位相位相传递传递函数函数6空间频率的两种意义空间频率的两种意义空间频率空间频率类类似于似于时时域函数的域函数的时间时间频率，频率，时间时间倒数称作倒数称作频频率，率，长长度倒数称作空度倒数称作空间频间频率，即在率，即在单单位位长长度内周期函数度内周期函数变变化的周化的周数（数（单位为单位为：周：周/mmmm，线对线对/mmmm，L/mmL/mm，等等 ）信息光学中有两种信息光学中有两种空空间频间频率率，一种是对二维图象进行频谱分，一种是对二
6、维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的析得到的图象频谱对应的空空间频间频率，率，这是一种空间强度分布，这是一种空间强度分布，单位为单位为：周：周/mmmm，线对线对/mmmm，L/mmL/mm，等，其大小是没有限制等，其大小是没有限制的，可以是无穷大的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为
7、方向的空间频率（单位为：光波数光波数/mmmm ）表示出的意义实）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别细讲这两者区别7不不变线变线性系性系统统的本征函数的本征函数 如果函数如果函数 满足以下条件满足以下条件 （式中（式中a为为一复常数）一复常数）则则称称为为算符所表征的系算符所表征的系统统的本征函数。的本征函数。这这就是就是说说，系，系统统的本征函数是一个特定的的本征函数是一个特定的输输入函数，它
8、相入函数，它相应应的的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。前面讲的前面讲的基元函数基元函数复指数函数就是不复指数函数就是不变线变线性系性系统统的本征的本征函数函数 即即工程光学中已经说明光波可以用工程光学中已经说明光波可以用复指数函数复指数函数表示，光学表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数复指数函数表示表示的光输入变为的光输入变为复指数函数复指数函数表示的光输出的不变线性系统表示的光输出的不变线性系统8非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（1 1）下面再下面再讨论讨论其脉冲
9、响应是实函数的其脉冲响应是实函数的一一类类特殊的空特殊的空间间不不变变线线性系统，性系统，它把一个实值输入变换为一个实值输出。它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。系统。实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有由于由于 因而因而由此可见，这种系统由此可见，这种系统振幅振幅传递传递函数是偶函数，位相函数是偶函数，位相传递传递函函数是奇函数数是奇函数 9非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（2 2）余弦函数或正弦函数是余弦函数或正
10、弦函数是这类这类系系统统的本征函数的本征函数 ，输输入函数入函数为为余弦函数余弦函数 对应的频谱为对应的频谱为该该不不变变线性系统线性系统输输出函数出函数频谱频谱则则为为 系统系统输输出函数出函数相应相应为为 10非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（3 3）因而有：因而有：这这表明，表明，对对于于脉冲响应是实函数的脉冲响应是实函数的空空间间不不变变线性系统，余线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。弦输入将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。于传递函数的模和幅角。非相干
11、光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空空间间不不变变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。11不不变线变线性系性系统统图解法（图解法（1 1）给定一个给定一个不不变线变线性系性系统统，输入函数是有限延伸的三角波输入函数是有限延伸的三角波对下列传递函数用图解法确定系统的输出。对下列传递函数用图解法确定系统的输出。（1 1）（2 2）计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出输出函数的频谱，最后用反变换计算出系统的输出。输出函数的频谱，最后用
12、反变换计算出系统的输出。12不不变线变线性系性系统统图解法（图解法（2 2）输入函数的频谱为输入函数的频谱为13不不变线变线性系性系统统图解法（图解法（3 3）输入函数输入函数 的频谱分以下几个步骤来完的频谱分以下几个步骤来完成：成：1 1、画出、画出 、和和2 2、画出卷积、画出卷积3 3、得到乘积、得到乘积 画出传递函数画出传递函数 画出输出函数版的频谱（近似）画出输出函数版的频谱（近似）通过简单计算把剩下来的几个通过简单计算把剩下来的几个sincsinc函数的反变换化简，最后画函数的反变换化简，最后画出输出函数图象出输出函数图象14级联系统级联系统 下图表示的是两个级联在一起的下图表示的
13、是两个级联在一起的空空间间不不变变线性系统，线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入前一系统的输出恰是后一系统的输入15两个系统级联的传递函数两个系统级联的传递函数对于总的系统对于总的系统 和和 分分别别是其是其输输入和入和输输出，出，因为因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的脉冲响应为总的传递函数为总的传递函数为16n n个空个空间间不不变变线性系统的级联线性系统的级联n n个空个空间间不不变变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为响应和传递函数分别为 用用模和幅角表示传递函
14、数时还可以进一步得到模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅振幅传递传递函函数和位相数和位相传递传递函数函数的如下关系的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。17课堂练习课堂练习给定一个给定一个不不变线变线性系性系统统，输入函数是有限延伸的三角输入函数是有限延伸的三角波波对下列传递函数，确定系统输入函数的频谱，传递函数、对下列传递函数，确定系统输入函数的频谱，传递函数、输出函数的频谱，以及系统的输出的输出。输出函数的频谱，以及系统的输出的输出。18习题习题 教科书教科书P22P22习题习题1.11.1，1.31.319例题（例题（1.3）对一个空间不变线性系统，脉冲响应为对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 试用频域方法对下面每一个输入试用频域方法对下面每一个输入 ，求其输出，求其输出 。（必要时，可取合理近似）（必要时，可取合理近似）（3）20例题（例题（1.3）解）解 21