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1、专题七：直线与方程、圆与方程、轨迹方程2.24-2.25一、直线与方程【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为倾斜角的范围（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.记作 当直线与轴平行或重合时, , 当直线与轴垂直时, ,不存在.经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知
2、，若，则有A、B、C三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；（由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.）【知识点三：直线的方程】（1） 直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，为斜率不包括垂直于轴的直线斜截式为斜率，是直线在轴上的截距不包括垂直于轴
3、的直线两点式不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距不包括垂直于轴和轴或过原点的直线一般式无限制，可表示任何位置的直线问题：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】(1)若，直线垂直于轴,方程为；(2)若，直线垂直于轴,方程为；(3)若，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.
4、截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。截距式方程的应用与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+；直线与坐标轴围成的三角形面积为: S= ；直线在两坐标轴上的截距相等，则或直线过原点，常设此方程为（2）线段的中点坐标公式【知识点四 直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解。若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（2）几种距离两点间的距离：平面上的两点间的距离公式特别地，原点与任一点的距离点到直线的距离：点到直
5、线的距离两条平行线间的距离：两条平行线间的距离注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。二、圆与方程圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。圆的方程1、标准方程，圆心，半径为r；2、点与圆的位置关系：，点在圆外，=，点在圆上，点在圆内；3、一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。4、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.5、求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一
6、个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（2）圆心在任一弦的中垂线上（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线6、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x
7、0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 7、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、轨迹方程求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨
8、迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点轨迹中点的轨迹方程：（ ） A、 B、 C、 D、=12. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准
9、线及轴都相切的圆的方程是（ ）A B C D 3: 一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ）A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满
10、足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴
11、和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨
12、迹的重要方法.【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。四、题型巩固直线、圆与方程1.下列叙述中不正确的是( )A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B.每条直线都唯一对应一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90 D.若直线的倾斜
13、角为，则直线的斜率为k=tan2.给出下列命题：任何一条直线都有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为-30；倾斜角为0的直线只有一条，即x轴；按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合|00 B.A0，B0， C=0C.AB0，C=010.已知直线l的方程为9x-4y=36，则l在y轴上的截距为( )A.9 B.-9 C.4 D.-411.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是( )A.-24 B.6 C.6 D.不同于A、B、C的答案12.x轴上任一点到定点(0，2)、(1，1)距离之和的最小值是( )A. B. C. D.13.点P(m-n,-m)到直线的距离等
14、于( )A. B. C. D.14.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值是( )A.8 B. C. D.1615以A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A3xy80 B3xy40 C3xy60 D3xy2016直线1过第一、二、三象限，则()Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0 Da0，b017.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是( )A.a-2或 B. C.-2a0 D.18.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的曲线仍是其本身，则实数a为( )A. B. C.或 D.或19.
15、过原点，且在x、y轴上的截距分别为p、q(p0，q0)的圆的方程是( )A.x2+y2-px-qy=0 B.x2+y2+px-qy=0 C.x2+y2-px+qy=0 D.x2+y2+px+qy=020.由方程x2+y2+x+(m-1)y+=0所确定的圆中，最大面积是( )A. B. C.3 D.不存在21以点P(2，3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是()A(x2)2(y3)24 B(x2)2(y3)29 C(x2)2(y3)24 D(x2)2(y3)2922点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆内 B在圆外 C在圆上 D不确定23若点(4a1,3a2)不在圆(x1)2(y
16、2)225的外部，则a的取值范围是()Aa B1a0)到直线l：xy30的距离为1，则a()A. B2 C.1 D.125直线l过点A(3，4)且与点B(3，2)的距离最远，那么l的方程为()A3xy130 B3xy130 C3xy130 D3xy13026.两直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限，则a的取值范围是_.27.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，则k的取值范围是( )A.-11，-1 B.-11，0C.-11，-6)(-6，-1) D.-1，+)28直线4x3y20与圆x2y22x4y110的位置关系是()A相离 B相切 C相交过圆心 D
17、相交不过圆心29圆x2y24上的点到直线xy20的距离的最大值为()A2 B2 C. D030已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值为()A2 B4 C6 D831.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )A.相离 B.外切 C.内切 D.相交32.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点，则实数m的取值范围是( )A.1m121 B.1m121 C.1m11 D.1m1133.一圆过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( )A.x2+y2-4x-4y+6=0 B.x2
18、+y2+4y-6=0 C.x2+y2-2x=0 D.x2+y2+4x-6=034圆心为(3,0)且与直线xy0相切的圆的方程为() A(x)2y21 B(x3)2y23 C(x)2y23 D(x3)2y2935若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A1或 B1或3 C2或6 D0或436已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x26x80的两个根，则这两个圆的位置关系是()A外离B外切 C相交 D内切37已知两圆相交于A(1,3)，B(m，1)，两圆的圆心均在直线xyc0上，则m2c的值为()A1B1 C3 D0轨迹方程1平面内有两定点A，B，且|AB|4，动点
19、P满足|4，则点P的轨迹是()A线段B半圆C圆D直线2若点M到两坐标轴的距离的积为2 015，则点M的轨迹方程是()Axy2 015 Bxy2 015Cxy2 015 Dxy2 015(x0)3与点A(1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为1的动点P的轨迹方程是()Ax2y21 By2y21(x1)Cy Dx2y29(x0)4已知M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y22 Bx2y24Cx2y22(x2) Dx2y24(x2)5已知A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y2409一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程10若动点P在y2x21上移动，求点P与点Q(0，1)连线的中点的轨迹方程第 13 页