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1、解析几何中与角有关的问题一课前热身：1在平面直角坐标系中，顶点与，顶点在椭圆上，那么5/4.2直线y=2x上一点P的横坐标为a，两定点A(-1,1)、B(3,3)。假设APB为钝角，那么a的取值范围是 0 ab0),半焦距c，那么|MA1|=-a，|A1F1|=a-c，由题意，得a=2,b=,c=1故椭圆方程为设P(m,y0)，|m|1,当y0=0时，F1PF2=0，当y00时，0F1PF2P F1M1.5：如图，椭圆1ab0与过点A2，0B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT.解
2、：过A、B的直线方程为因为由题意得有惟一解。即有惟一解，所以 ab0，故 a2 + 4b2 4 = 0. 又因为，所以 a2 = 4b2 . 从而得= 2， ，故所求的椭圆方程为 由得，所以 ，从而 由 解得x1 = x2 = 1,所以 因为tanAF1T，又 ，得 ，因此 ATM = AF1T6设、分别是椭圆的左、右焦点.假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值与最小值;设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围.解：解法一：易知所以，设，那么因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，那么以下同解
3、法一显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或6如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：1求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值解：I设椭圆方程为答22图因焦点为，故半焦距又右准线的方程为，从而由因此，故所求椭圆方程为II记椭圆的右顶点为，并设1，2，3，不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有解得 因此而故为定值三拓展延伸：7设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.求椭圆的方程；设为右准线上不同于点4，0的任意一点，假设直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在
4、以为直径的圆内.解：依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b 故椭圆的方程为 解法1：由得A2，0，B2，0 设Mx0，y0 M点在椭圆上，y04x02 又点M异于顶点A、B，2x00，0，那么MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由得A2，0，B2，0 设Mx1，y1，Nx2，y2，那么2x12，2x22，又MN的中点Q的坐标为，依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差222x1x22y1y22 x12 x22y1y1 又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2 又点M在椭圆上，那么，即 于是将、代入，化简后可
5、得 从而，点B在以MN为直径的圆内 8两定点，动点M满足.()求动点M的轨迹Q的方程；()设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且，直线AE与BF交于点，求证：为定值；() 在第问的条件下，求证：过点与点E的直线是曲线Q的一条切线.在第问的条件下，试问是否存在点E使得或，假设存在，求出此时点E的坐标；假设不存在，说明理由.解：设动点，因为所以或化简得：由可设点那么由A、P、E三点共线可得，同理可得：，两式相乘得：，又因为，所以=3点E处曲线Q的切线的斜率为，那么切线方程为，AE、BF的方程为，那么，所以在上述切线上，即过点与点E的直线是曲线Q的一条切线. 先证： 其中用到代换由此可得：.要使，那么只需，即.而，因此不存在点E使得成立.另解：同前可得，要使，那么只需，即，化简得，显然不成立.第 9 页