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1、线性代数公式大全1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、与的大小无关；、某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0；、某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为；3. 代数余子式与余子式的关系：4. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式：主对角元素的乘积；、与：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；5. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；6. 证明的方法：、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特
2、征值；2、矩阵1. 是阶可逆矩阵：是非奇异矩阵；是满秩矩阵的行列向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成假设干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行列向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；3. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数与；4. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：假设，那么：、；主对角分块、；副对角分块、；拉普拉斯、；拉普拉斯3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准
3、形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，假设；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：初等列变换类似，或转置后采用初等行变换、 假设，那么可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，那么可逆，且；4. 初等矩阵与对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号，且，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或
4、某列，符号,且，如：；5. 矩阵秩的根本性质：、假设，那么；、假设、可逆，那么；可逆矩阵不影响矩阵的秩、如果是矩阵，是矩阵，且，那么：、的列向量全部是齐次方程组解转置运算后的结论；、假设、均为阶方阵，那么；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵向量行矩阵向量的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值与相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；8. 关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；两句话、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；9. 线性方程组：，其
5、中为矩阵，那么：、与方程的个数一样，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数一样，方程组为元方程；10. 线性方程组的求解：、对增广矩阵进展初等行变换只能使用初等行变换；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、向量方程，为矩阵，个方程，个未知数、全部按列分块，其中；、线性表出、有解的充要条件：为未知数的个数或维数4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；齐次线性方程组、向量的线性表出
6、是否有解；线性方程组、向量组的相互线性表示是否有解；矩阵方程3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组与同解；(例14)4. ；(例15)5. 维向量线性相关的几何意义：、线性相关；、线性相关坐标成比例或共线平行；、线性相关共面；6. 线性相关与无关的两套定理：假设线性相关，那么必线性相关；假设线性无关，那么必线性无关；向量的个数加加减减，二者为对偶假设维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：假设线性无关，那么也线性无关；反之假设线性相关，那么也线性相关；向量组的维数加加减减简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组个数为能由向量组个数为线性表示，且线性无关，那么(
7、二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，那么；定理3向量组能由向量组线性表示有解；定理2向量组能由向量组等价定理2推论8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：左乘，可逆与同解、矩阵列等价：右乘，可逆；、矩阵等价：、可逆；9. 对于矩阵与：、假设与行等价，那么与的行秩相等；、假设与行等价，那么与同解，且与的任何对应的列向量组具有一样的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；10. 假设，那么：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；转置11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需
8、证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组可由向量组线性表示为：题19结论其中为，且线性无关，那么组线性无关；与的列向量组具有一样线性相关性必要性：；充分性：反证法注：当时，为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；定义有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵的秩为，那么元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 假设为的一个解，为的一个根底解系，那么线性无关；题33结论5、相似矩阵与二次型1. 正交矩阵或定义，性质：、的列向量都是单
9、位向量，且两两正交，即；、假设为正交矩阵，那么也为正交阵，且；、假设、正交阵，那么也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化与单位化；2. 施密特正交化：3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；、与合同，其中可逆；与有一样的正、负惯性指数；、与相似；5. 相似一定合同、合同未必相似；假设为正交矩阵，那么，合同、相似的约束条件不同，相似的更严格；6. 为对称阵，那么为二次型矩阵；7. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；(必要条件)第 8 页