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1、第二章 算法效率分析根底2.5 计算斐波那契数列的O(log n)算法：利用矩阵， 当 n = 1时， F(n-1), F(n); F(n), F(n+1) = 0,1; 1,1n其中的乘方运算使用霍纳法那么第三章 蛮力法凸包问题：链接任意两点，检查剩余的点是否都在连线的同侧。效率O(n3)分配问题：n个任务分配给n个人，其中将第j个任务分配给第i个人的本钱为Ci,j，找出本钱最小的分配方案。蛮力法：穷举n!种可能的方案。高效方法：匈牙利方法。第四章 分治法主定理：对于 T(n) = a T(n/b) + f(n), f(n)为 (nd)如果 a bd, T(n) = (n (log a/lo
2、g b)大整数乘法：a=a1a0, b=b1b0, 其中a与b都是n位整数，低n/2位为a0,b0, 高位为a1,b1需要三次n/2位的乘法即可完成 c = a*b = c2*102n + c1*10n + c0其中 c2=a1*b1, c0=a0*b0, c1=(a1+a0)*(b1+b0) - (c2+c0)T(n) = n(log3/log2)最近点对问题：找到平面上n个点中的最近距离。先画一条竖线，将所有的点分成左右两半，找到两局部的最近距离d1,d2, 然后考察竖线附近的点。凸包问题的快包算法类似于快速排序：首先过最左边的点P1与最右边的点Pn，将平面分成上下两局部。然后考察上半个平
3、面：找到距离直线P1Pn距离最远的点Pmax, 那么Pmax一定是凸包的顶点； 三角形P1PmaxPn内部的点一定不是凸包的顶点。然后只需分别考虑两侧的顶点即可。平均效率 O(n * log n)。由于三角形内部的点无须考虑，甚至可以到达线性效率。最差情况O(n2)：剩下的点全都在同一侧。三角形面积的计算：三角形(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的面积等于下面这个行列式的值的1/2x1,y1,1; x2,y2,1; x3,y3,1 = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x3y2 - x2y1 - x1y3第五章 减治法插入排序：最差情况需要做(n-1)*n/2次比拟，但是平
4、均只需n2/2次比拟，因此胜过选择排序与冒泡排序。插入排序有一种扩展算法，叫做Shell排序。拓扑排序：算法1，通过深度优先搜索，将出栈顺序反过来即得到一个解。算法2，先找到一个只有出度没有入度的点，将这个点以及相关的边删除，重复此过程。生成排列：依次生成从1到n的所有排列。假设已经得到了n-1的所有排列，那么依次取出n-1的每一个排列，将n插入每一个位置。按这样的顺序插入更好：对于取出的第一个(n-1)排列，从右到左插入；第二个排列从左到右插入；第三个再从右到左.例子：依次生成1到3的所有排列开场： 1从右到左将2插入1：12, 21从右到左将3插入12：123, 132, 312从左到右将
5、3插入21：321，231，213依这种次序生成的排列满足最小变化要求：得到的两个相邻的排列的差异仅在于交换两个相邻的位置。生成排列：生成n的所有排列。可不可以不通过n-1排列，而直接生成n的排列，并满足最小变化要求呢？ 通过Jhonson-Trotter算法：对每个元素赋予一个向左或向右的箭头。如果元素k指向一个相邻的较小的元素，那么称k为移动的#JhonsonTrotter(n)#初始序列1.n, 所有箭头均向左#while 存在一个移动元素 k do# 求最大的移动元素k# 把k与它指向的元素互换# 调转所有大于k的元素的方向# 输出新的排列此算法与上面的算法生成的顺序是一样的，且都不是
6、按字典序。生成子集：利用二进制。可否按这个顺序生成二进制串：使得两个相邻的二进制串只相差一个比特位。也就是在子集里面要么增加了一个元素，要么删除了一个元素。答案为“是，通过二进制反射格雷码。俄式乘法：原理如下，如果n是偶数，那么 n * m = (n/2) * (2m), 否那么 n*m = (n-1)/2 * 2m + m代码#对整数a与b相乘#result = 0#while(a 0) # if(a % 2 = 1) result += b; # a /= 2;# b *= 2;#特点：只涉及折半、加倍与相加操作，效率非常高。约瑟夫问题：n个人围成一圈，并且从1到n编上号码，从1号开场，每
7、隔一个杀掉一个，问最后剩下几号？记幸存者的号码为J(n)，那么当n为偶数时，也就是n=2k，J(2k)=2J(k)-1当n=2k+1时 J(2k+1) = 2J(k)+1把n表示为二进制形式，并且做一次向左的循环移位，得到结果就是幸存者编号。比方n=6时，二进制为110，移位后得到101，也就是5号为幸存者。具体推导过程见?具体数学?插值查找：对有序数组进展查找。把数组看成是线性递增的，那么便可以直接定位到目标值附近。一般情况下，比折半查找要快。拈游戏：两人轮流取走桌面上的棋子，每次取1到m颗，取到最后一颗的获胜。升级版：桌面上有I堆棋子，棋子数分别为n1,n2,.ni。玩家每次可以从任意一堆
8、棋子中取走任意数量的棋子。取走最后一颗棋子的人获胜。对于I2的情况非常简单。略解法：将n1,n2,.ni表示为二进制的形式，b1,b2.bi，计算它们的二进制数位与，也就是对每一位分别求与并忽略进位。当且仅当二进制数位与中包含至少一个1时，先手获胜。先走的玩家只需保证剩下的棋子二进制数位与只包含0即可。 ?Winning Ways for your Mathematical Plays?这本书包含了各种数学游戏的解法。第6章 变治法预排序：用于以下场景，检验数组中元素的唯一性，查找数组中出现次数最多的元素，等等高斯消去法：将矩阵变成一个上三角阵，然后从最后一个方程开场，反向替换得到原方程的解。
9、为了减少舍入误差，每次选取第i列系数绝对值最大的行，并且与当前行交换。LU分解：高斯消去法得到的上三角阵为U，在消去过程中行的乘数构成了下三角阵L假设不存在行交换的情况下。比方，在消去第i列的时候，把第i行乘以a加到第j行上，那么Uji = -a。如果存在行交换的话，那么L也要做相应的交换。可以证明 A=LU那么方程组Ax=b就等价于 LUx=b。假设y=Ux，那么Ly=b，因为L是下三角阵，所以容易求出y。Ux=y，所以也容易求出x。优点：只需做一次LU分解，然后对所有的b都可以求解。计算矩阵的逆：AX=I假设逆矩阵的第j列为Xj, I的第j列为ej。那么原方程便等价于求n的方程组 A *
10、Xj = ej可通过LU分解来求。计算行列式：高斯消去法的每一步，要么改变行列式的符号，要么将行列式乘上一个常量，要么不变。最终得到一个上三角阵，三角阵的行列式等于对角元之积。所以容易推得原行列式的值。AVL树：是一棵二叉查找树，其中每个节点的平衡因子定义为该节点左右子树的高度差，这个因子要么为0要么为1或-1。 注意：并不只是根节点满足这个特性，所有节点要都满足将一个节点插入AVL树，可能导致失去平衡，某些节点的平衡因子变成了2或2。通过旋转操作来回复平衡。旋转分为四种R右旋，L左旋，LR先对节点r的左子树左旋，然后将以r为根的树右旋，RL。在插入节点后，先找到最靠近插入节点的不平衡节点，然
11、后旋转以该节点为根的树。2-3树：节点分为两种，2节点包含1个元素与2个儿子，3节点包含2个元素与3个儿子，儿子可以为空。所有的叶子都必须在同一层。总是将新的键插入到叶子里，如果叶子中的键变成了3，那么将中间的键移至父节点，并且该叶子分裂成了两个节点。分裂过程可能一直向上进展。堆与堆排序：略霍纳法那么：对多项式 p(x) = an*xn + a_(n-1)*x(n-1) + . + a0进展求值。也可用来进展求幂运算。#Horner(p0 . n, x# r = pn /pn为x的n次项的系数# for(i=n-1; i=0; i-)# r = x*r + pi# return r计算图中的路
12、径数量：假设图的邻接矩阵为A，那么Ak中的元素Aki,j表示了从顶点i到顶点j存在多少条长度为k的路径。第八章 动态规划计算二项式系数： C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。边界C(n,0) = C(n,n) = 1Warshall算法：计算有向图的传递闭包，也就是任意两个顶点之间是否可达。R(i,j,k)表示i与j之间是否连通，其中中间节点在集合1,2,.k里面那么R(i,j,k) = R(i,j,k-1) | (R(i,k,k-1) & R(k,j,k-1)Floyd算法：计算每对顶点之间的最短路径。思路同上，只不过把布尔值换成最短距离而已。最优二叉查找树：给
13、定每个key出现的概率，构造一棵二叉查找树，使得平均比拟次数最少。假设键值从小到大为a1,a2,.an, 对应的概率分别为p1,p1,.pn。令Ci,j表示由节点i到j构成的子树中的最少查找次数，那么树根k一定在i,i+1,.j中，并且两棵子树都是最优的。可以推知 Ci,j = min Ci, k-1 + Ck+1, j + pi,.j背包问题：物品重w1,w2,.wn， 价值v1,v2,.vn， 背包承重W。令Vi,w为前i个物品中，总重量不超过w的物品集的最大价值。这个物品集要么不包括i，要么包括i。那么Vi,w = max Vi-1, w, vi+Vi-1, w-wi 如果 w - wi 0，那么就只有Vi, w = Vi-1, w时间与空间效率都是O(nW)，求最优解的具体组成的效率为O(n+W)第 11 页