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1、学案3.1 导数的概念及运算自主预习案 自主复习 夯实根底【双基梳理】1平均变化率一般地，函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，那么当x0时，商，称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的切线的斜率相应地，切线方程为 3函数f(x)的导函数如果f(x)在开区
2、间(a，b)内每一点x都是可导的，那么称f(x)在区间 这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为 或y 4根本初等函数的导数公式yf(x)yf(x)ycy yxn(nN)y ，n为正整数yxu(x0，u0且uQ)y ，u为有理数yax(a0，a1)y ylogax(a0，a1，x0)y ysin xy ycos xy 设f(x)，g(x)是可导的，那么(1)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x) ；(3)(g(x)0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“
3、)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义一样( )(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( )(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x( )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 导数的运算【例1】求以下函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y. 变式训练：(1)f(x)x(2 016ln x)，假设f(x0)2 017，那么x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)假设函数f(x)ax4bx2c满
4、足f(1)2，那么f(1)等于()A1 B2C2 D0 考点二 导数的几何意义【例2】命题点1切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如下图，那么曲线yf(x)在点P处的切线方程是_ 命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)函数f(x)xln x，假设直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy
5、10 命题点3与切线有关的参数问题例4f(x)ln x，g(x)x2mx(m0，u0且uQ)yuxu1，u为有理数yax(a0，a1)yaxln aylogax(a0，a1，x0)yysin xycos xycos xysin x设f(x)，g(x)是可导的，那么(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义一样()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有
6、一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 导数的运算【例1】求以下函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y. 变式训练：(1)f(x
7、)x(2 016ln x)，假设f(x0)2 017，那么x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)假设函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，那么f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，那么ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2，f(1)2. 考点二 导数的几何意义【例2】命题点1切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)
8、函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如下图，那么曲线yf(x)在点P处的切线方程是_答案(1)C(2)xy20解析(1)f(x)，那么f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)函数f(x)xln x，假设直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 D
9、xy10答案(1)D(2)B解析(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，那么切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.应选B.命题点3与切线有关的参数问题例4f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，那么m等于()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf
10、(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，那么有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，ex2，当且仅当ex1，即x0时，“成立y1,0)，tan 1,0)又0，)，.5(2021 陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，那么P的坐标为_答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，那么点P的坐标为(1,1).稳固提高
11、案 日积月累 提高自我1函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，那么f(1)等于()Ae B1C1 De答案B解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，那么f(1)1.2曲线yln x的切线过原点，那么此切线的斜率为()Ae Be C. D答案C解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，那么y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.3函数f(x)的导数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，那么f(2)的值等
12、于()A2 B2 C D.答案C解析因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)223f(2)，解得f(2).4(2021课标全国)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，那么a等于()A0 B1C2 D3答案D解析令f(x)axln(x1)，那么f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)ay2x，那么有a12，a3.5a为常数，假设曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，那么实数a的取值范围是()A. B.C1，) D(，1答案A解析由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2a
13、x22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.6设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，那么f(0)6，那么k_.答案1解析f(x)x(xk)(x2k)(x3k)x47k2x26k3x，f(x)4x314k2x6k3，f(0)6k36，解得k1.7在平面直角坐标系xOy中，假设曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，那么ab的值是_答案3解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得那么ab3.8(2021 课标全国)曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x
14、1相切，那么a_.答案8解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.9曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)假设直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的
15、坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0与直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.第 - 21 - 页