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1、本资料来源1 1因子分析因子分析2 21 1 引言引言 因因子子分分析析(factor(factor analysis)analysis)是是一一种种用用来来分分析析隐隐藏藏在在表表象象背背后后的的因因子子作作用用的的一一类类统统计计模模型型和和方方法法。它它通通过过研研究究众众多多变变量量之之间间的的内内部部依依赖赖关关系系，探探求求观观测测数数据据的的基基本本结结构构，并并用用少少数数几几个个不不可可观观测测的的所所谓谓公公共共因因子子的的线线性性组组合合与与特特殊殊因因子子之之和和来来描描述述原原来来观观测测的的每每一一分分量。量。3 3例例如如，为为了了了了解解学学生生的的各各种种数数
2、学学能能力力，分分别别进进行行了了加加减减、乘乘除除、代代数数、几几何何和和微微积积分分的的测测验验，相相应应成成绩绩分分别别记记为为：T1,T5。对对这这些些成成绩绩进进行行归归纳纳分分析析，找找出出与与学学生生的的各各种种数数学学能能力力有有关关的的内内在在的的不不可可测测的的公公共共因因子子，如如空空间间因因子子、记记忆忆因因子子、归归纳纳因因子子、演演绎绎因因子子，分分别别记记作作：F1,F4。用用这这些些不不可可测测的的相相互互独独立立的的公公共共因因子子和和各各自自的的特特殊殊因因子子（分分别别记记作作：1,5）来来描描述述原原来来可可测测的的相相互互关关联联的的变变量量，并并解解
3、释释分分析析学学生生的的数数学能力。学能力。4 4 主成分分析与因子分析的不同：主成分分析与因子分析的不同：主成分分析仅主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。主成分分析：原始变量的线性组合表示新的综主成分分析：原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；合变量，即主成分；因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。线性组合表示原始变量。5 5 2 因子分析模型因子分析模型 6 6一、数学模型一、数学模型矩阵形式：矩阵形式：公共因子：公共因子：y y1 1,y,ym m;特殊因子
4、：特殊因子：7 7所谓因子分析，就是从可以观测的变量所谓因子分析，就是从可以观测的变量x1,xp给出的样本数据中，求出载荷矩阵给出的样本数据中，求出载荷矩阵A，预测出公共因子，预测出公共因子y1,ym.aij：（公共）因子载荷（量），表明：（公共）因子载荷（量），表明xi与与yj的相依的相依程度。程度。A：公共因子载荷阵。：公共因子载荷阵。8 8 二、二、因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征 1 1、因子载荷、因子载荷a aijij的统计意义的统计意义因子载荷因子载荷aij是第是第i个变量与第个变量与第j个公共因子的相关个公共因子的相关系数系数，也叫做权，表明，也叫做权，表
5、明xi依赖依赖yj的份量。的份量。9 9 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义 定定义义：变变量量xi的的共共同同度度是是因因子子载载荷荷矩矩阵阵的的第第i行行的的元素的平方和。记为元素的平方和。记为 统计意义统计意义：1010所有的公共因子和特殊因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量xi的贡献为的贡献为1 1。越越大大，说说明明xi对对各各公公共共因因子子的的共共同同依依赖赖程程度度越越大，故称为大，故称为xi的共同度。的共同度。即：即：1111 3 3、公共因子、公共因子yj方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中各列元素的平方和因子载荷矩阵中各列元素的平方和 是
6、是第第j个个公公共共因因子子yj对对于于x x的的各各个个分分量量x1,xp所所提提供供方差总和，是衡量公共因子相对重要性的指标。方差总和，是衡量公共因子相对重要性的指标。1212 3 3 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量设随机向量 协方差（相关阵）为协方差（相关阵）为R，则，则（一）主成份分析法（一）主成份分析法设设为为R的特征根，的特征根，为对应的正交标准化特征向量，则为对应的正交标准化特征向量，则131314141515注意到因子分析的目的是寻求少数几个公共因子，故注意到因子分析的目的是寻求少数几个公共因子，故略去后面的略去后面的p-m项的贡献。同时项的贡献。同时
7、假定模型中的特殊因假定模型中的特殊因子是不重要的，因而从子是不重要的，因而从R的分解中忽略特殊因子的方的分解中忽略特殊因子的方差，差，即有即有1616主成份法估计载荷矩阵的基本步骤：主成份法估计载荷矩阵的基本步骤：1、计算样本相关阵、计算样本相关阵 ；2、计算、计算 的特征值的特征值 及相应的标准正交特征向及相应的标准正交特征向量量 3、给定公共因子数、给定公共因子数m(p)，因子载荷阵的估计为，因子载荷阵的估计为4、特殊因子方差阵的估计：、特殊因子方差阵的估计：主成份法相当于用前主成份法相当于用前m个主成份去表示个主成份去表示m个潜在的因子。个潜在的因子。1717公共因子个数的确定方法：公共
8、因子个数的确定方法：(1)取取m，使，使R-AAT接近对角阵；接近对角阵；(2)取取m，使，使(3)取取m，使，使1818 例例 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率x1，通货膨胀率，通货膨胀率 x2，失业率，失业率x3，相关系数矩阵为，相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。试用主成分分析法求因子分析模型。2121 特征根为特征根为：2222 可取前两个因子可取前两个因子y1和和y2为公共因子，第一公因子为公共因子，第一公因子y1物价就业因子，对物价就业因子，对X的贡献为的贡献为1.55。第二公因子。第二公因子y2为投资因子，对为投资因子，对X的贡献为的贡献为0.85。共同度分
9、别为。共同度分别为1，0.706，0.706。2323 4 因子旋转（正交变换）因子旋转（正交变换）建建立立了了因因子子分分析析数数学学目目的的不不仅仅仅仅要要找找出出公公共共因因子子以以及及对对变变量量进进行行分分组组，更更重重要要的的要要知知道道每每个个公公共共因因子子的的意意义义，以以便便进进行行进进一一步步的的分分析析，如如果果每每个个公公共共因因子子的的含含义义不不清清，则则不不便便于于进进行行实实际际背背景景的的解解释释。由由于于因因子子载载荷荷阵阵是是不不惟惟一一的的，所所以以需需要要对对因因子子载载荷荷阵阵进进行行旋旋转转，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向使载荷矩阵每列或行的元
10、素平方值向0 0和和1 1两极分化。两极分化。（一）为什么要旋转因子（一）为什么要旋转因子2424 百米跑成绩百米跑成绩X X1 1；跳远成绩跳远成绩X X2 2；铅球成绩铅球成绩X X3 3；跳高成绩跳高成绩X X4 4；400米跑成绩米跑成绩X X5 5；百米跨栏百米跨栏X X6 6；铁饼成绩铁饼成绩X X7 7；撑杆跳远成绩撑杆跳远成绩X X8 8；标枪成绩标枪成绩X X9 9；1500米跑成绩米跑成绩X X1010 奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 252526262727因因子子载载荷荷矩矩阵阵可可以以看看出出，除除第第一一因因子子在在
11、所所有有的的变变量量在在公公共共因因子子上上有有较较大大的的正正载载荷荷，可可以以称称为为一一般般运运动动因因子子。其其他他的的3个个因因子子不不太太容容易易解解释释。似似乎乎是是跑跑和和投投掷掷的的能能力力对对比比，似似乎乎是是长长跑跑耐耐力力和和短短跑跑速速度度的的对对比比。于于是是考考虑旋转因子，得下表虑旋转因子，得下表 28282929 通通过过旋旋转转，因因子子有有了了较较为为明明确确的的含含义义。百百米米跑跑（X1），跳跳远远（X2）和和400米米跑跑（X5），需需要要爆爆发发力力的项目在的项目在F1有较大的载荷，可以称为短跑速度因子；有较大的载荷，可以称为短跑速度因子；铅铅球球（
12、X3），铁铁饼饼（X7）和和标标枪枪（X9）在在F2上上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；百百米米跨跨栏栏（X6），撑撑杆杆跳跳远远（X8），跳跳远远（X2）和和跳跳高高（X4）在在 F2上上有有较较大大的的载载荷荷，可可以以称称为为爆爆发腿力因子；发腿力因子；F4为长跑耐力因子。为长跑耐力因子。3030变换后因子的共同度变换后因子的共同度变换后因子的共同度变换后因子的共同度设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换变换后因子的共同度没有发生变化！变换后因子的共同度没有发生变化！（二）旋转方法（二）旋转方法3131变换后因子贡献变换后因子贡献变换后因
13、子贡献变换后因子贡献变换后因子的贡献发生了变化！变换后因子的贡献发生了变化！3232 1 1、方差最大法、方差最大法 方方差差最最大大法法从从简简化化因因子子载载荷荷矩矩阵阵的的每每一一列列出出发发，使使和和每每个个因因子子有有关关的的载载荷荷的的平平方方的的方方差差最最大大。当当只只有有少少数数几几个个变变量量在在某某个个因因子子上上有有较较高高的的载载荷荷时时，对对因因子子的的解解释释最最简简单单。方方差差最最大大的的直直观观意意义义是是希希望望通通过过因因子子旋旋转转后后，使使每每个个因因子子上上的的载载荷荷尽尽量量拉拉开开距距离离，一一部部分分的的载荷趋于载荷趋于 1 1，另一部分趋于，另一部分趋于0 0。333334343535