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1、安徽师大附中、安庆一中2013届1月高三联考数 学 试 题（理工类）一、选择题(每小题5分,共50分)1. 1.复数是纯虚数,则 ( )A. B. C. D. 2. 若双曲线的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 ()A. B. C. D. 23. 下列命题中,是真命题的是 ( )A. B. C. 的充要条件是 D. 是的充分条件4. 已知中, ,则角等于 ( )A. 或 B. 或 C. D. 5. 若,对任意实数都有,则实数的值为 ( )A. B. C. 或1 D. 或36. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是 ( )A.
2、B. C. D. (第6题图)(第题7图)7. 如图,函数的图像是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 ( )A. B. C. D. 8. 已知集合.定义函数,若点,的外接圆圆心为,且,则满足条件的函数的个数有 ( )A. 6个 B. 10个 C. 12个 D.16个9. 设两圆都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离 ( )A. 4 B. C. 8 D. 10. 设函数在上有定义.对于给定的正数,定义函数,取函数.若对于任意的恒有,则 ( )A. 的最小值为 B. 的最大值为 C.的最小值为2 D.的最大值为2二、填空题(每小题5分,共25分)11. 设函数,若
3、,则 .12. 如图所示的程序框图，输出的结果是 .(第12题图)13.设等差数列的前项和为,若,则的最小值为 .(第14题图)14.如图,半径为1的上有一定点和两个动点,且,则的最大值是 .15.设、为不同的两点，直线：,以下命题中正确的序号为 不论为何值,点都不在直线上；若,则过的直线与直线平行；若,则直线经过的中点；若,则点、在直线的同侧且直线与线段相交;若,则点、在直线的异侧且直线与线段的延长线相交.三、解答题(共75分)16.(12分) 若函数的图像与直线为实常数)相切,并且从左到右切点的横坐标依次成公差为的等差数列.()求函数的解析式;()若点是的图像的对称中心,且,求点的坐标.1
4、7. (12分)某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度(毫克/升) 满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于 (毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 (毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.（）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（）如果投放的药剂质量为，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的值.18. (12分)如图,已知多面体中,平面,平面,是正三角形,且.()求证
5、:平面;()求多面体的体积.(第18题图)19. (12)已知函数为常数,)是上的奇函数.()求的值;()讨论关于的方程的根的个.20.(13分) 点在抛物线上,关于抛物线对称轴对称.过点到距离分别为,且.()试判断的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并说明理由;()若的面积为240,求点的坐标和的方程.21. (14分)对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的（）都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列,当时是周期为的周期数列.()设数列满足（）,（不同时为0）,求证:数列是周期为的周期数列，并求数
6、列的前2013项的和;()设数列的前项和为，且. 若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由；若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由；()设数列满足（）,数列的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围;不存在,说明理由.参考答案一、选择题12345678910CBDDCDACCA二、填空题11. 3 12. 16 13. 42 14. 15. 三、解答题16. 解:() ,.2分由与的图像相切,则或,.4分因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列,所以,即,故.6分()由(1)知,令.8分由,.11分所以点的坐标为.12分17. 解：（）因为，所以, 当时显然符合题意.
7、 .3分当时， 综上.所以自来水达到有效净化一共可持续8天. .6分（）由=, 知在区间上单调递增，即， 在区间上单调递减，即， 综上，.9分为使恒成立，只要且即可，即.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量应该为.12分18. ()证明:由计算可,可证,又平面,平面.6分MNPG()解:可证该几何体是直三棱柱的一部分,其体积为.12分19. 解:()由是的奇函数,则,从而可求得.4分()由,令,则,当时, 在上为增函数;当时, 在上位减函数;当时, ,.8分而,结合函数图象可知:当,即时,方程无解;当,即时,方程有一个根;当,即时,方程有两个根. .12分20. 解:()由
8、得,.设,由导数的几何意义知的斜率,.2分由题意知,设,则,所以,4分,所以,又由知,故是直角三角形. .6分()由(1)知,不妨设在上方,的方程为:,由得到另一个交点.8分由,由得到另一个交点.9分,所以,.11分解得,若时, ,若时,. .13分21. ()证明：又，所以是周期为6的周期数列， .所以.4分(）当时，又得. 当时，即或.由有，则为等差数列，即，由于对任意的都有，所以不是周期数列. 由有，数列为等比数列，即，存在使得对任意都成立，即当时是周期为2的周期数列. .8分（）假设存在，满足题设.于是又即，所以是周期为6的周期数列，的前6项分别为，则（），当时，当时，当时，当时，所以，为使恒成立，只要，即可，综上，假设存在，满足题设，.14分