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1、常微分课后答案第一章本页This dQ,飞、第一章绪论微分方程：某些物理过程的数学模型基本概念习题1.指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：(1）拿4x2-y;ax(2）旦与（坐12+12川0;dxl dx J-(3)（去）才3y2=0:d 2y dy(4)x-,-5一均1=sin x:dxdx(S）生cosy+2x=O:ax x=J E+、BEEE，1VJ-2 2-x sd一，d/It-ltt.”“03、BJU(解（1）一阶线性微分方程：(2）二阶非线性微分方程：(3）一阶非线性微分方程：(4）二阶线性微分方程：(S）一阶非线I生微分方程：(6）二阶非线性微分方程2.试验证下面函数均
2、为方程生：矿，0酬，这里0是瞅dx(1)y=COS;(2)y=c,COSX(C，是任意常数）：(3)y=sm制：(4)y=C2smcax(C2是任意常数）：(S)y=C1coscat+C2sincat间，c2是任意常数）：(6)y=Asin（蝉 B)(A,B是任意常数）解去叫阳d2 V,一十-(J)cos站-(J)v dx-I d2y 所-:-y(1)2 y=0.ax ii次y=cosarc为方稼的解(2)y=-C,(JJSUl 2t y=-C,(1)2附中的，所以生：的0.ax ii次y=C1 cos cat为方程的解(3）坐(JJCOS(J)X.dx d2 ,7=-(J)-sm(J)X=-
3、(J)-y,ax 所以生(J)2y=O，故dx-y=sm仙为方程的解(4)y=C2(JJC0Scat,y=-C2(J)2 Slll cat=-(1)2 y 1 d2y 所以忑了(1)2 y=0，故y=C2 Sill 仙为方程的解(S)y=-C,(JJS Ul cat+C2(JJCOSlX,y=-C1(J)2 cos(J)X-C2(J)2 sm cat=-(1)2 y,所以d2y-;-;-旷y=O，故y=C1 cos cat+C2 sm cat为方程的解ax(6)y=A(J)COS（阳酌，y=-A(J)2 sm（酬8)=-(1)2 y，故B的0，因此户A刊阳B）为方程的解ax 3.验证下列各函数
4、是相应微分方程的解：(1)x ca o c-UVJ+VJ X 川I=vd(2)y=2+CF-7,(l-x2)y+xy=2x(C是任意常数）(3)y=Ce,y-2y+y=O(C是任意常数）(4)y=e,ye-.,+y2-2ye=l-e2:(S)y=sit1x,y+y2-2ysmx+sm2 x-cosx=O:(6)l-VA-vd 2 2 x y=x y；y+I;(7)y=x2+1,y=y2-(x2+l)y2x;(8)-)x-x(-(。rJ-vd Y_f(x).2 S(x)-g(x)f(x)证明(1）因为yxcosx;:sm x，所以x(2）由于y主亨，故划1-x(l-x2)y+xy=(I-x2)；
5、鸟x(2+C汇7)=2x.、ll-x(3)I主于yCe,yCe町，于是y2yy=Ce -2Ce +Ce-=0.(4)I如ye，因此yxy2-2ye=e e-x+(e)2-2e-e-=l-e2.(S）因为ycosx所以yy2-2ysinx+sin2 x-cosx=cosx+sin2 x-2sinxsin xsin2 x-cosx=O.1+川，十2 uvd 2 x=l+、IEtJ1-x Ftill飞X+,-、IEtJl-VA Ftill飞2 X=1=V 2 x 回吁,94,l-zx=vd 从、JU 飞(7)I主ly2x，得到jy=2x=(x2+1)2-(x2 l)(x2+I)+2x=y2-(x2+
6、l)y+2x.(8)y_f(x)g(x)-f(x)g(x)_ f(x)(g(x)12 g(x)_ f(x).2 g(x)自，f气功g(x)飞f(x)f(x)g（功f(x)4.给定一阶微分方程：！.=2x,ax(1）求出它的通解：(2）求通过点（1,4）的特解；(3）求出与直线y=2x+3相切的解：(4）求出满足条件r.:y山2的解；(S）绘出（剖，(3),(4）中的解的图形解（1）通解y=f 2x出 x2+C.(2)I如YI.,=!=4，得到C=3，所以过点（1,4）的特解为y对3.(3）这时2x=2打1，切点坐标为（I,5），由Ylx=I=5，得到C=4，所以与直线y=2x+3相切的解为y=
7、x2+4.(4)I吵足条件fy出2的解为y=x2+i(S）如阁1-1所示-3-:-l 阁1-15.求下列两个微分方程的公共解：(1)y=y2+2x-x4;(2)y=2x+x2+x4-y-y2.l 得到C=2,3 解公共解必须满足y2+2x-x4=2x+x2+x4-y-y2,Ell 2y2-2x4+y-x2=0,得到y=xi或y=-xi卡微分方程yy2+2x-x4和y=2x+x2+x4-y-y2的公共解6.求微分方程y均2_y=0的直线积分曲线i与立i荫解设直线积分曲线为Ax+By+C=O，两边对x求导得，A+By0，若0，则A=O，得到C=O，不可能故必有如0，则Yi，代入原方程有主x（主）2
8、主x主0，或（兰；主）x=0,B B J B B B B B B 所以，A2 A F B=v,fA=O，得到或A=C=-B.C A O IC=O.B B 所求直线积分曲线为y=O和y=x+l.7.微分方程4x2y2_)2 均，3，证明其积分曲线关于坐标原点（0,0）成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线证明设F(x,y)=O是微分方程4x2y2_)2 均，3的积分曲线，贝lj与其关于坐标原点（0,0）成中心对称的曲线是F(-x,-y)=O.由于F(x,y)=0适合微分方程4x2y2_y2=xy3,书、,A1、，x 川队阳为分。3功-uvd tttEttttd)-)y-y x-X EF lllIIIILX AU寸故x,y，亦有2 I凡x,-y)I 4(-x)I一一一一一一I-(-y)=0).