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1、连续系统的振动2022/12/271振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确实实际际的的振振动动系系统统都都是是连连续续体体，它它们们具具有有连连续续分分布布的的质质量量与弹性，因而又称与弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统确确定定连连续续体体上上无无数数质质点点的的位位置置需需要要无无限限多多个个坐坐标标，因因此此连续体是具有无限多自由度的系统连续体是具有无限多自由度的系统连连续续体体的的振振动动要要用用时时间间和和空空间间坐坐标标的的函函数数来来描描述述，其其运运动动方方程程不不再再像像有有限
2、限多多自自由由度度系系统统那那样样是是二二阶阶常常微微分分方方程程组组，它是，它是偏微分方程偏微分方程在在物物理理本本质质上上，连连续续体体系系统统和和多多自自由由度度系系统统没没有有什什么么差差别别，连连续续体体振振动动的的基基本本概概念念与与分分析析方方法法与与有有限限多多自自由由度度系统是完全类似的系统是完全类似的2022/12/272振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确力学模型的组成力学模型的组成 连连续续系系统统的的力力学学模模型型由由具具由由分分布布质质量量、分分布布弹弹性性和和分分布布阻阻尼尼元元件件
3、组成。组成。连续系统与离散系统的关系连续系统与离散系统的关系连续系统连续系统离散系统离散系统简化、离散化简化、离散化自由度自由度n 趋向于无穷趋向于无穷连续系统与离散系统的区别连续系统与离散系统的区别 连续系统连续系统离散系统离散系统自由度自由度连续系统与离散系统是连续系统与离散系统是同一物理系统同一物理系统的的两个数学模型两个数学模型。描述系统的变量描述系统的变量有限个有限个无穷多个无穷多个时间时间t时间时间t和空间位置和空间位置(x,y,z)微分方程微分方程二阶常微分方程组二阶常微分方程组偏微分方程组偏微分方程组方方程程消消去去时时间变量后间变量后代数方程组代数方程组微分方程的边值问题微分
4、方程的边值问题2022/12/273振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/274振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1）本本章章讨讨论论的的连连续续体体都都假假定定为为线线性性弹弹性性体，即在弹性范围内服从虎克定律体，即在弹性范围内服从虎克定律说说说说 明明明明（2）材料均匀连续；各向同性）材料均匀连续；各向同
5、性（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 2022/12/275振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程 动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/276振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着
6、问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 动力学方程动力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆杆长 l假定振假定振动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为平面平面截面截面积 S材料密度材料密度弹性模量性模量 E忽略由忽略由纵向振向振动引起的横向引起的横向变形形单位位长度杆上分布的度杆上分布的纵向作用力向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/277振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问
7、题也很明确杆上距原点杆上距原点 x 处截面在截面在时刻刻 t 的的纵向位移向位移微段分析微段分析 微段应变：微段应变：横截面上内力：横截面上内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 2022/12/278振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确杆上距原点杆上距原点 x 处截面截面在在时刻刻 t 的的纵向位移向位移横截面上的内力：横截面上的内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 等直杆等直杆ES 为常数为常数
8、弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程上式左边为惯性力，右边分别为弹性力和外力上式左边为惯性力，右边分别为弹性力和外力 2022/12/279振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 F 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐建立坐标系系弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在的横截面在 t 时刻的横向位移刻的横向位移 单位位长度弦上分布的作用力度弦上分布的作
9、用力 单位位长度弦的度弦的质量量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程令：令：并考虑到：并考虑到：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程微振微振达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力 弦的定义弦的定义:很细长很细长振动中认为张力不变振动中认为张力不变 2022/12/2710振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩
10、作用下作扭转振动 假定振假定振动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为平面平面截面的极截面的极惯性矩性矩 Ip材料密度材料密度切切变模量模量 G：单位位长度杆上分布的外力偶矩度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：为杆上距离原点杆上距离原点 x 处的截面在的截面在时刻刻 t 的角位移的角位移截面截面处的扭矩的扭矩为 T微段微段 dx 受力受力：微段：微段绕轴线的的转动惯量量连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程达朗贝尔达朗贝尔惯性力偶惯性力偶 2022/12/2711振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很
11、明确微段微段 dx 受力受力达朗达朗贝尔尔原理：原理：材料力学：材料力学：圆截面杆的扭截面杆的扭转振振动强强迫振迫振动方程方程等直杆，抗扭等直杆，抗扭转刚度度 GIp 为常数常数剪切剪切弹性波的性波的纵向向传播速度播速度连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/2712振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动（2）弦的横向振动）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的
12、，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/2713振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动：假设杆的各点作同步运动：q(t)表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的的截面的纵向振向振动振幅振幅 连续系统的振动连
13、续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2714振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确记：通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态）由杆的由杆的边界条件确定界条件确定 与与有有限限自自由由度度系系统统不不同同，连连续续系系统统的的模模态态为为坐坐标标的的连连续续函函数数，表示各坐标振幅的相对比值表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个（下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动（
14、杆的边界条件确定（杆的边界条件确定固有频率固有频率）2022/12/2715振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第第 i 阶主振动：阶主振动：一一对应一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2716振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定）
15、两端固定边界条件：边界条件：不能恒为零不能恒为零 代入模态函数代入模态函数 频率方程频率方程无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2717振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件：零固有频率对应的常值模态为
16、杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程2022/12/2718振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向
17、振动杆的纵向振动或：或：频率方程频率方程2022/12/2719振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程2022/12/2720振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确边界条件边界条件模态函数模态函数连续系统
18、的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程固有频率固有频率2022/12/2721振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接连接推导系统的频率方程推导系统的频率方程连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2722振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：边界条件：
19、边界条件：频率方程频率方程振型函数：振型函数：2022/12/2723振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即即质量密度量密度及截面及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程：自由振动：自由振动：主振动主振动：代入，得代入，得：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2724振动力学在整堂课
20、的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确杆的简单边界杆的简单边界：固定端固定端x=0 或或 l 自由端自由端x=0 或或 l 设：代入：代入：乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：利用分部积分：利用分部积分：杆的任一端上杆的任一端上总有有或者或者成立成立 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2725振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：同理同理乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x
21、积分：积分：相减：相减：时时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2726振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确关于质量的正交性关于质量的正交性 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当时 恒成立恒成立令：令：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化：正则振型正则振型 则第第 i 阶主主刚度
22、：度：合写为：合写为：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2727振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件：假定假定 ，已已经得出得出令：令：正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：两两边乘乘并沿杆并沿杆长对 x 积分分：利用正交性条件：利用正交性条件：第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/
23、12/2728振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确模态初始条件的求解模态初始条件的求解乘乘并沿杆并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，知有：分，由正交性条件，知有：求得求得 后后可得可得连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2729振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：正则坐
24、标的广义力：前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2730振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有：为常数为常数求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2731振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边
25、界条件：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件：模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程：正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2732振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆两端固定。假一均质杆两
26、端固定。假定在杆上作用有两个集定在杆上作用有两个集中力，如图所示中力，如图所示试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？振动？2022/12/2733振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动边界条件：两端固定边界条件：两端固定初始条件：初始条件：模态函数模态函数：解：解：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：固有频率：固有频率：2022/12/2734振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置
27、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：2022/12/2735振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动初始条件：初始条件：应用位移初始条件：应用位移初始条件：两边乘两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：应用速度初始条件：2022/12/2736振动力学在整堂课的教学中，刘教师总
28、是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2737振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动系统响应：系统响应：2022/12/2738振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动思考题：思考题：有有一一根根以以常常速速度度 v 沿沿
29、x 轴轴运运动动的的杆杆。如如果果杆杆的的中中点点处处突突然然被被卡卡住住停停止止，试试求求出出所所产产生生的的自自由由振振动动表表达达式式在在此此种种情情况况下下，可可从从杆杆的的中中点点分分开开，分分开开的的左左右右两两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可提示：提示：2022/12/2739振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆右半部分为一端固定、另一端自由的杆边界条件：边界条件
30、：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：初始条件：初始条件：自己推导！自己推导！2022/12/2740振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端端处为固定得杆，固定端承受支撑运动承受支撑运动为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应试求杆的稳态响应2022/12/2741振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系
31、统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：方程建立方程建立微段分析微段分析应变：应变：内力：内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：杆上距原点杆上距原点 x 处截面截面在在时刻刻 t 的的纵向位移向位移2022/12/2742振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动令：令：代入方程：代入方程：即：即：设解为：设解为：为归一化的正则模态为归一化的正则模态代入方程，得：代入方程，得：2022/12/2743振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习
32、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：利用正交性：2022/12/2744振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动模态稳态解：模态稳态解：2022/12/2745振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2
33、022/12/2746振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动杆振动分析小结杆振动分析小结1.建立动力学方程建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解模态空间方程求解7.返回物理空间，得解返回物理空间，得解物理空间问题物理空间问题模态
34、空间问题模态空间问题模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法2022/12/2747振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法模态综合法模态综合法有限元法有限元法有限元法有限元法2022/12/2748振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很
35、明确梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外
36、力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2749振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确动力学方程动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点 x 处
37、的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向位移 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 微段所受的外力微段所受的外力 微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2750振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确力平衡方程力平衡方程：即即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方
38、程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2751振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2752振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确固有频率和模态函数固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动讨
39、论梁的自由振动 自由振动方程：自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：代入自由振动方程：对于等截面梁：对于等截面梁：通解：通解：和和应满足的足的频率方程由梁的率方程由梁的边界条件确定界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2753振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确等截面梁的自由振动方程：等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：梁的主振动：通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶主振主振动：无穷
40、多个无穷多个和和 由系由系统的初始条件确定的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2754振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2
41、755振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：得：以及：以及：非零解条件：非零解条件：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2756振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确简化后，得：
42、简化后，得：频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2757振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2758振动力学在整
43、堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：得：以及：以及：频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2759振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确频率方程：
44、频率方程：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2760振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞
45、行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2761振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确频率方程：频率方程：模态函数：模态函数：其中：其中：当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零当当 时时对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2762振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第二阶模态第二阶
46、模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2763振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2764振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学
47、生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动解：解：梁的自由振动方程：梁的自由振动方程：边界条件边界条件固定端：固定端：自由端：自由端：模态函数：模态函数：2022/12/2765振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2766振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的
48、振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动非零解条件：非零解条件：频率方程：频率方程：求得：求得：对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：代入：代入：2022/12/2767振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：0.5602022/12/2768振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支
49、撑边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：剪力平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2769振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确固定端：固定端：弹性支撑端：弹性支撑端：由固定端
50、条件解得：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2770振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确或或非零解条件导出频率方程：非零解条件导出频率方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2771振动力学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1）若）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形同时为零，则退化为悬臂梁的