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1、 这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。点击观看第1页/共168页第一节 线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一 离
2、散系统的状态可控性第2页/共168页引例 设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：第3页/共168页可看出状态变量 只能在+1或-1之间周期变化，不受 的控制，不能从初态 转移到任意给定的状态，以致影响状态向量 也不能在 作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。设单输入离散系统状态方程为：(3-1)第4页/共168页式中，为n维状态向量；为纯量，且在区间 是常数，其幅值不受约束；为 维非奇异矩阵，为系统矩阵；g为 维输入矩阵：k表示kT离
3、散瞬时，T为采样周期。初始状态任意给定，设为 ；终端状态任意给定，设为 为研究方便，且不失一般性地假定 。单输入离散系统状态可控性定义如下 在有限时间间隔 内，存在无约束的阶梯控制号 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。第5页/共168页可导出可控性应满足的条件。按定义，令 ，且 ，方程两端左乘 ，给出：(3-3)令(3-4)(3-2)由方程(3-1)的解第6页/共168页该阵为 维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含n个方程，含n个未知数 ,。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方程有解，否则无解。在 任意的情况下，
4、要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵 满秩，即(3-5)或能控阵 的行列式不为零det(3-6)或能控阵 是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定 ，可求出确定的 ，,。第7页/共168页已知满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘，其秩不变，故rankrank rank(3-7)使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵 。交换矩阵的列7，且记为 ，其秩也不变，于是有：rankrank(3-8)当rank 时，系统不可控，不存在能使任意 转移到 的控制。第8页/共168
5、页从以上推导看出，当 不受约束时，能使任意 转移到 意味着至多经过n个采样周期便可完成转移，而n乃是 系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态则方程(3-2)变为：(3-9)第9页/共168页方程两端左乘，有(3-10)该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定 是不失一般性的。第10页/共168页例3-1 利用递推法研究下列离散系统初态为 ，试选择 ，使系统状态在 时转移到零。提示：点击观看第11页/共168页解解 令0，1，2，得状态序列 令 ，即解如下方程组：第12页/共168页系数矩阵即能
6、控阵，当其非奇异时，可解出：第13页/共168页即取 时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究 时是否存在 令 ，解如下方程组：容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为 3，两个秩不等，故无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。第14页/共168页例3-2 试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。解 rankrankrank或 故能控。例3-3 设 同例3-1，试判断能控性。解 rankrankrank故不能控。第15页/共168页关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广
7、到多输入系统。设系统状态方程为：(3-11)式中 为 维控制向量，为 维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量 ，,，使系统从任意初态 转移到 。方程(3-11)的解为：(3-12)令 ，且两端左乘 得：第16页/共168页(3-13)令(3-14)该阵为 维矩阵；同 ,子列向量构成的控制列向量是 维的。式(3-13)含有n个方程，个待求控制量。由于初态 可任意给定，根据解存在定理，唯有矩阵 的秩为n时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：第17页/共168页rankrank rankrankrankrankrank(3-18)(3-17)(3-16)(3-15)或或或
8、式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解不唯一，可以任意假定 个控制量，其余n个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。第18页/共168页例3-4 试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：式中解:计算 故第19页/共168页显见由前三列组成的矩阵的行列式det故rank ，系统可控。显见出现全零行，rank ，故不能控。第20页/共168页多输入系统能控阵 ，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见 矩阵的秩为n，便不必把 矩阵的所有列都写出。有时可通过计算 的秩是否为n来判
9、断多输入系统的能控性。这是因为，当 非奇异时，必非奇异，而 为方阵，只需计算一次n阶行列式即可确定能控性，但在计算 时，可能需多次计算n阶行列式。在多输入系统中，使任意初态 转移至原点一般可少于n个采样周期。见例3-4，令 ，可给出；第21页/共168页则 已知 ，若能唯一确定 ，便表示能在第一个采样周期将 转移到原点。第22页/共168页二 连续系统的状态能控性引例引例 设单输入连续系统方程为：其中，第二个方程只与状态变量 本身有关，且与 无关，是不能控状态变量；受 控制，是能控状态变量。从状态变量图3-1显见 可影响 而不能影响 ，于是使状态微量不能 在 作用下任意转移，称状态不完全能控，
10、简称不能控。为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。第23页/共168页 式中 为元素埏是 的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘 得：(3-22)关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论 设n阶矩阵A的特征多项式为：(3-19)证明 据逆矩阵定义有：(3-21)则矩阵A满足(3-20)第24页/共168页 由于 的元素 代数余子式，均为 次多项式，故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：(3-23)式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：(3-24)第25页/共168页利用两端 同次项相等的条件有：(3-25)将式(3-25)按顺
11、序两端右乘，可得：(3-26)第26页/共168页将式(3-26)中各式相加有：得证(3-27)推论1 矩阵可表为的次多项式：(3-28)第27页/共168页故 可一般表为A的 次多项式：式中 均与A阵元素有关。利用推论1可简化计算矩阵的幂。(3-29)例3-5 已知 ，求解 为二阶矩阵，先列定的特征多项式：据凯莱-哈密尔顿定理：第28页/共168页故据数学归纳法有：故推论2 矩阵指数可表为的次多项式：(3-30)第29页/共168页由于(3-31)第30页/共168页式中(3-32)均为幂函数，在时间区间 内，不同时刻构成的向量组 是线性无关向量组，这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线
12、性组合。第31页/共168页同理，其中(3-34)(3-33)(3-35)设单输入连续系统状态方程为 第32页/共168页其状态能控性定义如下：在有限的时间间隔 内，存在无约束的分段连续控制函数 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称此系统是状态完全能控的，简称是能控的。方程(3-19)的解为：(3-36)为状态转移矩阵。为导出能控性应满足的条件，仍可不失一般性地假定 ，及，于是有 ：第33页/共168页(3-37)故(3-38)利用凯莱-哈密尔顿定理，可推论出如下结果（证明见本问题末）：即用无穷级数 表示的可改用A的 次多项式来表示；并经证明，其 都是时间 的不同幂函数，并且向量 是线
13、性无关向量。于是有 第34页/共168页(3-40)(3-39)令(3-41)为纯量；则令(3-42)第35页/共168页(3-43)式(3-40)为单输入连续系统能控性矩阵，为维矩阵。据解存在定理，单输入连续系统完全能控的充要条件是：rank以上推导完全可推广到多输入系统。设多输入系统状态方程为：式中u为 维向量，B为 维输入矩阵。有：(3-44)第36页/共168页(3-45)令 为 维向量；则(3-47)(3-46)令第37页/共168页 式(3-47)为多输入连续系统可控性矩阵，为 维矩阵，为 维列向量。于是，多输入连续系统状态完全能控的充要条件是：rank(3-48)以上推导显见，状
14、态能控性只与状态方程中 矩阵有关。若系统能控，同其 对称为能控对；亦然。例3-6 判断下列状态方程的能控性：解 计算能控阵 的秩：故可控。第38页/共168页例3-7 判断下列状态方程的能控性：解 计算能控阵 的秩：显见第二、三行元素相同。rank ，故不能控。第39页/共168页三 A为对角阵、约当阵的能控性判据为了进一步研究系统的特性，有时经线性将系统矩阵已化成对角形或约当形，此时应用能控性矩阵可导出判断能控性的直观简捷的方法。引例 设状态方程系统矩阵已对角化及输入矩阵分别为：其能控性矩阵 的行列式为：第40页/共168页 时系统可控，于是要求：当A有相异根 时，应存在 。若 ，则该系统始
15、终是不能控的。也就是说，A阵对角化且具有相异根时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断能控；而若对角化A阵中含有相同元素，则不能这样判断。设状态方程系统矩阵已约当化及其输入矩阵分别为：其能性矩阵 的行列式为：第41页/共168页 时系统能控，于是要求：或为任何非零数值。也就是说，A阵仅含约当块时，输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行没有全零行，即可判断系统能控。以上判断方法可推广到对角化、约当化的阶系统。设系统状态方程如下：(3-49)第42页/共168页矩阵A已对角化，为系统相异特征值。展开式（3-49）可见，每个方程只含有一个状态变量，状态变量之间解除了耦合，这时，只要 方程中含有某一个控制
16、量，便可控，这意味着输入矩阵第i行不得出现全零行。在 方程中不含任一控 制量的情况下，与控制无关，自然是不能控的，于是能控性条件可表达为：A为对角形且元素各异时，输入矩阵中不得出现全零行。A为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能控性矩阵的秩条件来判断。第43页/共168页设系统状态方程如下：(3-50)系统具有二重根 及相异根 ；从展开方程可见，各方程的状态变量是解耦的，因此上述对角化情况下的判据仍适用；而 方程中既含 又含 ，在 受控条件下，即使 方程中不出现控制量，也可通过 间接地传送控制作用，使 仍是能控的。也就是说，输入矩阵的第一行
17、允许为全零行或非零行。于是A阵含有约当块，即可分块对角化的情况下，系统能控条件可表达为：第44页/共168页输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行，不得出现全零（与约当块其它行所对应的行允许全零）；输入矩阵中与相异根对应的行不得出现全零行。当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约当块时，例如 上述判断方法不适用。这时，矩阵看作两个约当块，在分块对角化情况下，两个分块又是元素相同，故不适用，仍应以能控性矩阵的秩来判断。第45页/共168页例3-8 下列系统不能控：为元素各异的对角阵，阵出现全零行。1.2.A为对角阵但含有相同元素，阵虽无全零行，仍是不能控的。由于第46页/共168页3
18、.A为约当形，B阵中与约当块最后一行对应的行全零。例3-9下列系统是能控的：1.第47页/共168页2.3.第48页/共168页四 能控标准形问题 设单输入线性定常系统状态方程形如：(3-51)第49页/共168页 显见这是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故 ，一定是可控的。这就是形如式(3-51)中的A、称作可控标准形名称的由来。计算能控性矩阵 ：(3-52)第50页/共168页一个能控系统，若其矩阵A、b不具能控形形式，则一定可选择适当变换化为能控标准形。(3-54)(3-55)进行 变换，即令变换为设能控系统状态方程为(3-53)第51页/共168页要求(3-56)先总结提出关于变
19、换矩阵 的求法如下：计算可控性矩阵 ；计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般表示式为：第52页/共168页(3-58)取出 的最后一行，即第n行，构成 行向量：(3-59)按如下方式构造变换阵：(3-60)便是可化为能控标准形的矩阵。第53页/共168页下面来对上述原理步骤加以证明。设变换矩阵 ，式中 为行向量，则根据 阵变换要求式(3-56),应满足：(3-61)第54页/共168页增补一个方程，将式(3-62)整理为：(3-63)展开之：(3-62)第55页/共168页而由两端恒等关系有：该等式乃是凯莱-哈密尔顿定理的定义式，是自然满足的。故由式(3-63)可得出变换矩阵 为：第56页/共168页
20、两端转置可得：该式表出变换矩阵p中的 ，乃是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是以上原理步骤得证。故(3-65)另根据b阵变换要求式(3-56)，p应满足：(3-64)第57页/共168页五五 输出能控性输出能控性如果需要控制的是输出量，而不是状态，则需研究输出能控性。输出能控性定义为：在有限时间间隔 内，存在无约束分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控的，简称是输出能控的。输出能控性的判据推导如下：设系统的动态方程为第58页/共168页可不失一般性地令 ，于是式中 为 维，为 维。状态方程的解为：则输出为：(3-66)第59页/共168页令(3-68
21、)令则(3-67)第60页/共168页状态能控性与输出能控性是两个概念，其间没有什么必然联系。式(3-68)为输出能控性矩阵，是 维矩阵。与状态能控性研究相似，输出能控的充要条件是：输出能控性矩阵的秩为输出变量的数目 ，即(3-69)例3-10 判断下列系统的状态能控性和输出能控性：第61页/共168页 解 状态能控阵 为：故状态不可控。输出能控阵 为：故输出能控。第62页/共168页第二节 线性定常系统的能观测性一 离散系统的能观测性引例 设单输入离散系统动态方程为第63页/共168页用递推法求解第 采样时刻的输出量：第64页/共168页可看出在已知 的情况下，在第 步便可由输入、输出确定
22、，而输出中始终不含有 ，于是 不能由输出量观测到，是不能观测的状态变量。系统中只要有一个状态变量不能由输出量观测到，就称该系统不完全可观测，简称不能观测。能观测特性与系统矩阵及输出矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面只对多输出情况进行一般分析。离散系统能观测性定义如下：已知输入 的情况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出 ，能唯一地确定任意初始状态 的n个分量，则称系统是完全能观测的，简称是能观测的。第65页/共168页设多输入-多输出离散系统动态方程为：状态方程的解 则(3-70)(3-71)既然均为已知，研究能观测性问题时可不失一般性地简化动态方程为：(3-72)第66页/共168页
23、若将式(3-71)右边后两项移至左边合并起来，仍为已知量，其方程性质同式(3-75)。展开式(3-75)有：(3-76)其状态方程的解：及(3-75)(3-74)(3-73)第67页/共168页式中 各代表 个方程，共计 个方程，含有 个未知量。写成矩阵向量形式：令(3-77)(3-78)式(3-78)为 维能观测性矩阵。在式(3-75)的 个方程中若有 个独立方程，便可确定唯一的一组 故系统能观测的充要条件是：第68页/共168页 例3-11 判断下列系统的能观测性：(3-79)由于 ，故系统能观测的充要条件通常表示为：为离散系统能观测性矩阵，显见只与 矩阵有关(3-80)第69页/共168
24、页解计算能观测性矩阵：(1)第70页/共168页故系统可观测。(2)显见 矩阵出现全零行，故 ，系统不能观测。第71页/共168页本例看出，输出矩阵为 时，第 步便同输出确定了 ；当 时便可确定 ；当 时便可确定 ，对三阶系统来说，在三步以内能由 ，测得全部状态，故能观测。而输出矩阵为 时，第72页/共168页可看出在三步内，其输出始终不含 ，故 是不能观测状态。以上分析表明，能观测性是与 有关的；确定后，则与 的选择有关。第73页/共168页二 连续系统的能观测性连续系统的能观测性定义如下：已知输入 ，通过在有限时间间隔 内量测到的输出 ，能唯一确定任意初始状态 的每一分量，则称系统是完全能
25、观测的，简称是能观测的。设连续系统动态方程为：第74页/共168页状态方程的解：则已知 、A、B、C、D，可不失一般性地假定 及 于是有：第75页/共168页式中 为 阶单位矩阵，是为将 记为向量矩阵形式而引入的。已知 的 列线性无关，于是根据测得的 值可唯一确定 的充要条件是：维矩阵 的秩为n，即rankrankrankrank rankrank由于rank rank rank rank ，故连续系统能观测的充要条件通常表示为：rankrank 、均称能观测性矩阵。若系统能观测，则其 对称为能观测对，亦然。第76页/共168页例3-12 判断下列连续系统的可观测性：1.2.解解 计算能观测性
26、矩阵 ：rank rank rank ，故不能观测。rank rank rank 故可观测。第77页/共168页 三 A为对角阵、约当阵的能观测性判据 当系统矩阵已化成对角形或约当形时，应用能观测性矩阵导出判断能观测性的简捷方法。引例 设对角化系统矩阵及输出矩阵为：能观测性矩阵 的行列式为：det det 第78页/共168页当det 时系统能观测，于是要求：当 有相异根 时，应存在 。若 ，该系统始终不能观测。也就是说，阵对角化且具有相异根时，只需根据输出矩阵没有全零列即可判断能观测；对角化阵中含有相同元素时，则不能这样判断。设约当化系统矩阵及输出矩阵为 能观测性矩阵 的行列式为：det d
27、et 第79页/共168页只要 系统便能观测；允许 为零或为任何非零数值。也就是说，阵仅含约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列没有全零列，即可判断系统能观测。以上判据方法可推广到对角化、约当化的 阶系统 设系统动态方程（已令 而不失一般性）为：第80页/共168页其中 为对角阵且元素各异，这时状态变量间解除了耦合。容易写出状态方程的解：显见当输出矩阵中第一列全零时，在输出量 中均不含有 ，是不能观测的。A为对角化且元素各异时，系统能观测的充要条件可表示为：输出矩阵中没有全零列。第81页/共168页A为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应
28、根据能观测性矩阵的秩条件来判断。系统矩阵中含有二重特征值 及相异特征值 ，。动态方程的解：设系统动态方程如下：第82页/共168页第83页/共168页 输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不得全零（允许输 出矩阵中与约当块其它列对应的列为全零）；输出矩阵A中与阵中相异特征值对应的列不得全零。显见输出矩阵第一列全零时，输出量 均不含有 ；若第一列不全零，必有输出量，既含有 ，又含有 ，于是输出矩阵第二列允许全零。故A阵为约当形时，系统能观测条件必满足如下两个条件：当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约 当块时，例如 上述判断方法不适用，其分析见能控判断，这时仍应以能观测性矩阵的秩来
29、判断。第84页/共168页例3-13 判断下列系统的能观测性：1.2.第85页/共168页3.4.5.第86页/共168页6.解解 1.约当块第一列位于系统矩阵第一列，而输出矩阵第一列不全零；相异根位于系统矩阵第三列，而输出阵第三列也不全零，故能观测。2含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一列及第三列，其输出阵第一、三列不全零，故能观测。第87页/共168页3A已对角化且元素各异，但输出阵有全零列，故不能观 测。4A已对角化但元素相同，输出阵虽无全零列，也不能观 测。5约当块第一列位于系统矩阵第一列，但输出阵第一列全 零，故不能观测。6含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一、三列，但输
30、出阵中第三列为全零列，故不能观测。第88页/共168页四 能观测标准形问题 设单输入线性定常系统动态方程（单输入为例）为：计算能观测性矩阵 ：第89页/共168页显见这是一个右下三角阵，一定是能观测的，这就是形如式(3-92)、式(3-93)中的A、C称作能观测标准形名称的由来。一个能观测系统，若其矩阵A、C不具能观测标准形时，定可选择适当变换化为能观测标准形，其变换矩阵的求法见对偶原理一节。第90页/共168页五 线性变换的特性在前面所作的分析中，为了便于研究系统各种特性，需对系统进行线性变换，所有这些变换都是满秩线性变换，如将A阵化对角形或约当形需进行P变换，将A、b化为能控标准形需进行
31、变换，将A、C化为可观测标准形需进行 变换等等。引入线性变换后，对于系统的特性，如特征值、可控性、可观测性，是否会引起改变呢？下面来分析论证。设系统动态方程为：第91页/共168页以引入 变换为例，即令 ，于是变换后：1.1.线性变换后系统特征值不变。线性变换后系统特征值不变。证明 列出变换后系统矩阵的特征多项式：表明与变换前特征多项式相同，故特征值不变。第92页/共168页2.2.线性变换后系统能控性不变。线性变换后系统能控性不变。证明 列出变换后可控性矩阵的秩：表明与变换前能控性矩阵的秩相同，故系统能控性不变。第93页/共168页3.线性变换后系统能观测性不变。证明 列出变换后可观测性矩阵
32、的秩：表明与变换前能观测性矩阵的秩相同，故系统能观测性不变。4 4线性变换后系统传递矩阵不变线性变换后系统传递矩阵不变（其证明见第一章第四节）。第94页/共168页第三节 能控性、能观测性与传递函数（矩阵）关系 描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性；传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。这是又一种判断系统的能控性、能观测性的判据，是在s域内的判据。第95页/共168页一 单输入-单输
33、出系统设系统动态方程为：当A阵具有相异特征值 时，引入满秩线性变换 一定可使A对角化，得：第96页/共168页其传递函数 ：第97页/共168页根据A阵对角化后可利用输入矩阵是否有全零行来判断能控性，及利用输出矩阵是否有全零列来判断能观测性的判据，可知：当 时，必能控、不能观测；当 时，必能观测、不能控；当 时，既不能控又不能观测。以上特性反映在传递函数中，必出现 的项，而此时传递函数中必存在零极点对消的现象，如 由状态方程表示出的n阶系统，但其传递函数分母阶次（即特征方程阶次）却小于n。第98页/共168页故当由动态导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观测、或是能观测不能控、或
34、是不能控不能观测，三者必居其一。当由可约的传递函数列写其实现方式时，也必列写出以上三种类型的动态方程，视状态变量的选择而定。当 时，既能控又能观测。这时由动态方程导出传递函数后，不存在零极点对消现象。由不可约传递函数列写其实现方式时，其动态方程必是能控、能观测的，与状态变量选择无关。当A阵具有重特征值时，情况又将如何呢？假定线性变换后得到如下约当化动态方程：第99页/共168页(3-98)(3-99)其传递函数 :第100页/共168页(3-100)第101页/共168页根据A阵约当化后利用输入、输出矩阵判断能控、能观测的判据，可知：当 时，系统能控；当 时，系统能观测；至于 时，并不影响能控
35、能观测性。以上特性反映在传递函数中，同样是不出现零极点对消现象。故对单输入-单输出系统可综合出以下判据：无论A阵有相异或重特征值，系统能控能观测的充要条件是：传递函数没有零极点对消，或传递函数不可约。但以上判据不适用于多输入-多输出系统，以及多输入-多输出、单输入-多输出系统。第102页/共168页例3-14 已知下列动态方程，试研究能控性、能观测性与传递函数的关系：1.2.第103页/共168页3.解 三个系统的传递函数为：存在零极点的对消对象。1对 为能控标准形，故能控，则不可观测；2对 为能观测标准形，故能观测，则不可控；3用A阵对角化后的输入、输出矩阵可判断不能控、不能观测。第104页
36、/共168页例3-15 设有两个能控、能观测的单输入-单输出系统 相串联，见图3-2，其动态方程分别为 式中式中试写出串联连接系统物动态方程（设 ）；考察串联连接系统的能控性、能观测性；求 及串联连接系统的传递函数并验证能控性能观测性结果。第105页/共168页 解解 1.求串联系统动态方程：输入为 ，输出为 ，利用串联连接条件 ，有：写出分块矩阵形式：令第106页/共168页则串联连接系统的动态方程为：式中2.求串联系统的可控性、可观测性：rankrankrank故不能控；第107页/共168页rankrankrank故能观测。原来是能控能观测的系统，如图3-2串联连接后变成不能控、能观测的
37、了。若改变图3-2串联连接的顺序，则串联系统将变成能控、不能观测的。3.的传递函数分别为：第108页/共168页串联连接系统的传递函数 ：显见存在零极点对消，使特征方程阶次降低，故不能控。第109页/共168页二 多输入-多输出系统多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，这时需利用传递矩阵中的行或列向量的线性相关性来作出判断。传递矩阵 的元素一般是的多项式。设 表示为列向量组：若存在不全为零的实常数 使下式(3-101)第110页/共168页成立，则称 是线性相关的，若只有当 全为零时，式(3-101)才成立，则称 是线性无关的。有如下判据有如下判据：1.
38、1.多输入系统能控的充要条件是：多输入系统能控的充要条件是：的的n n行线性无关。行线性无关。2.2.多输出系统能观测的充要条件是：多输出系统能观测的充要条件是：的的n n列线性无关。列线性无关。第111页/共168页 以上判据也可适用于单输入-单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消，线性相关时必有零极点对消，也就是说，它们是一致的。运用以上判据判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性时，只需检查行或列的线性相关性，至于传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。第112页/共168页 例3-16 试判断下列比输入-双输出系统的能控性、能观测性：，式中 解 计算能控性阵、能观测性阵的秩：故能
39、控。故能观测。第113页/共168页计算传递矩阵（将公因子析出矩阵以外以便判断）：由于故 为判断三行线性相关性，试看下列方程解的性质：第114页/共168页分为两个方程：解得 利用同次项系数对应相等的条件，得 。故只有 时，才能满足方程，可判断式中三行线性无关，故系统能控，与零极点存在对消现象无关。由于第115页/共168页为判断三列线性相关性，试看下列方程解的性质：分为：解得 ，故式中三列线性无关，系统能观测，与零极点对消无关。例3-17 试判断下列单输入-单输出系统的能控性、能观测性：，式中第116页/共168页 解 计算能控性阵、能观测性阵的秩：故不可控。故不可观测。第117页/共168
40、页计算传递矩阵：第118页/共168页由 分为两个方程 得：可求得不全零的 使式成立，故不能观测。第119页/共168页由 分为：，得 任意，可求得不全零的 使式成立，三行线性相关，故系统不能控。由传递函数存在零极点对消，也可得出不能控、不能观测的相同结论。第120页/共168页第四节 对 偶 原 理设系统 的动态方程为：；式中 为 维，为 维。可按规则构造系统 的动态方程如下：式中 为 维，为 维。与 均为n维状态向量，与 均为输出向量，阵具有相应维数。称系统 与 是互为对偶互为对偶的系统。系统 的能控(能观测）条件与对偶系统 的能观测（能控）条件完全相同，称对偶对偶原理原理。第121页/共
41、168页应注意到，系统 与 的输入向量分别是 维和 维的；输出向量分别是 维和 维的，即系统与对偶系统之间，输入、输出向量的维数是相交换的。不难验证，系统的能控性矩阵为与对偶系统 的能观测性矩阵是完全相同的；第122页/共168页 应用对偶原理，一个系统的能控性（能观测性）可用对偶系统的能观测性（能控性）来检查。系统 的能观测性矩阵为：与对偶系统 的能控性矩阵是完全相同的。第123页/共168页应用对偶原理，把可观测的单输入-单输出系统化为能观测标准形的问题，能够转换为将其对偶系统化为能控标准形的问题。设原单输入-单输出系统动态方程为：(3-108)已知系统能观测，但 不是能观测标准形。对偶系
42、统为：，它一定能控，但不是能控标准形。于是，可利用已知的化为能控标准形的原理与步骤：计算对偶系统能控性矩阵（即原系统能观测性矩阵）(3-109)第124页/共168页 取 最末一行 ，并按如下规则构成变换矩阵(3-111)求 ，设写成行向量组：(3-110)第125页/共168页 求 ，并在对偶系统中引入 变换，即 ，于是 有：(3-112)式中 (3-113)为对偶系统可控标准形。对对偶系统再利用对偶原理，可获得原理系统的能观测标 准形 及 ：(3-113)第126页/共168页于是原系统的能观测形动态方程为：(3-115)与变换前原系统动态方程(3-108)相比，可导出将原系统化为能观测标
43、准形的变换矩阵为 ，简称进行 变换，即对偶原理对离散系统同样适用。第127页/共168页第五节 线性时变系统的能控性和能观测性 时变系统动态方程中的 的元素均为时间函数，定常系统中关于由常数矩阵 构成的可控性、可观测性判据不以适用了，这里首先遇到如何定义时变列向量的线性无关性问题 一 格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用给定 矩阵 且表示成列向量组：第128页/共168页其转置矩阵则格兰姆阵定义 为：为 维矩阵，且记为：式中元素 格兰姆行列式为det或第129页/共168页利用格兰姆行列式det 或格兰姆矩阵 能表示出给定矩阵 的列向量是否相关的条件。设非齐次线性方程组 ，据解的存在定
44、理，当 时，有解：当 任意时，使 有解的充要条件是 。由于 ，即 ，于是有：其中 乃是 个平方项之和，恒大于零，故该式表示出 为正定二次型函数，为正定矩阵。已知正定矩阵存在 。于是矩阵 的 个列向量线性无关的充要条件可表示为：格兰姆阵 是正定的，或格兰姆行列式不为零 ，或格兰姆阵是非奇异的。第130页/共168页 同理，可根据 的正定或非奇异来确定 的 个行向量无关。在时变系统情况下，各元素均为时间函数，如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是不可控的。因此，想判断 时间间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在 区间内由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或非奇异来确定：第131页/共168页式中
45、元素 当 正定或非奇异时，表示 的 个列向量线性无关。同理可由 正定或非奇异来确定 的 个行向量线性无关。第132页/共168页 二、时变系统的能控性二、时变系统的能控性 设时变系统状态方程为若存在一个控制向量 ，在 区间内能使任意起始时刻的任意初态 转移到任意终态 ，则称时变系统在区间是完全可控的。这里仍不失一般性地假定 。线性时变系统在 区间完全能控的充要条件是下列格兰姆矩阵(3-118)非奇异。式中 为时变系统状态转移矩阵。第133页/共168页证明 先证明充分性充分性，即 非奇异时必能控。由于 非 奇异，必存在 ，如下控制(3-119)确能在 区间将初态 转移到终态 。由时变系统状态方
46、程的解令 ，且把 代入，并利用 ：第134页/共168页 再证明必要性必要性，即能控系统的 必非奇异。用反证法，即系统能控，而 却是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于 奇异，于是 的行向量在 区间线性相关，必存在非零行向量 使(3-122)(3-121)因而系统是能控的。充分性得证。第135页/共168页在 区间成立。那么 时，状态方程的解左乘 ，且选择一个特殊初态 ,有：左乘 得（3-124）第136页/共168页考虑到 及及式(1-122)，应存在 ，这意味着 必须为零向量，而与前面假定 为非零向量是相矛盾的。于是证明了可控系统的 必非奇异。应用以上判据需计算 ，计算量相当大，需计算机来进
47、行。有必要重复提出，的非奇异表明 的行向量线性无关，或 的列向量线性无关。由格兰姆阵(3-118)可导出定常的能控判据。这时，都是常数矩阵，状态转移矩阵与起始时刻 无关，因而可假定 这时格兰姆阵变为：第137页/共168页(3-125)式中(3-126)两端右乘 ：(3-127)第138页/共168页的行向量线性无关。可见，定常系统能控性判据是时变系统能控性判据的特例。式 为 中阶单位矩阵，均为幂函数，是线性无关的于是 的行向量线性无关表明第139页/共168页三 时变系统的能观测性 设时变系统动态方程 (3-128)能根据 区间测得的输出向量 唯一确定系统任意初始状态 ，则称时变系统在 区间
48、是完全能观测的。线性时变系统在 区间完全能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵(3-129)非奇异。第140页/共168页证明 先证明充分性，即 非奇异时必能观测。由于动态方程的解为：(3-131)(3-130)式(3-131)两端左乘 ，并在 区间取积分，得：由于 非奇异，存在 ，于是有：(3-132)第141页/共168页只要在 区间测得 ，便可求得 ，因而系统是能观测的。充分性得证。再证必要性，即能观测系统的 必非奇异。用反证法，即系统能观测，而 却是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于 奇异，于是 的列向量在 区间线性相关，必存在非零列向量 ，使(3-133)在 区间成立。如果选择一个特殊的初
49、态 ，则有(3-134)第142页/共168页与式(3-131)相比，在区间 恒为零，这时便不能观测到初态 ，因而与能观测的假定相矛盾。于是证明了能观测系统的 必非奇异。也有必要重复提出，非奇异表明 的列向量线性无关，或 的行向量线性无关。由格兰姆阵(3-129)可导出定常系统的能观测性判据。这时 都是常数矩阵，状态转移矩阵中可令 ，有：(3-135)式中(3-136)第143页/共168页两端左乘C C：(3-137)式中 为 阶单位矩阵。于是，的列向量线性无关表明的列向量线性无关。可见，定常系统能观测性判据是时变系统能观测性判据的特例。第144页/共168页以上我们研究了多种形式的能控性、
50、能观测性判据，现总结如下：能控性判据能控性判据定常定常系统：的行向量线性无关；（或 ）的行向量线性无关；非奇异。时变时变系统：格兰姆阵第145页/共168页 A A阵对角化且有相异特征值时，输入矩阵无全零行（A A阵元素 相同时不适用）；A A阵约当化时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行不全零；输入矩阵中与相异特征值对应的行不全零（相同的重特征值若分布在几个子约当块内时不适用）；单输入-单输出系统的传递函数无零极点对消（多输入-多输 出系统不适用）；或若有对消，仍能观测，则不能控。非奇异。格兰姆阵第146页/共168页第五节 线性定常系统的典范分解引例 研究下列系统动态方程的各状态变量的能控