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1、6.1 线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为正定二次型 半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。第1页/共27页性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大第2页/共27页线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优
2、的目的。线性二次型问题的三种重要情形：第3页/共27页6.2 状态调节器问题 设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。6.2.1 有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。第4页/共27页解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定 与 的关系，带入（5-6）形成状态反馈第5页/共27页横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13
3、）-（5-12）*F 可得第6页/共27页可实现最优线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大第7页/共27页（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：第8页/共27页还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第9页/共27页（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分
4、方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值第10页/共27页例6-1已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）第11页/共27页利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunction dy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%a column vectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)2-q;第12页/共27页利用matl
5、ab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4);f=0;%initial valuesol=ode45(dfun1,1 0,f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100);%p(t0)=y(100)第13页/共27页利用matlab进行最优控制系统仿真第14页/共27页第15页/共27页第16页/共27页第17页/共27页 设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指
6、标取极小值。6.2.1 无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第18页/共27页 最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值 可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第19页/共27页例6-2已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性第20页/共27页展开整理得到三个代数方程 P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正
7、定的性质第21页/共27页与给定条件 矛盾，故假设 不成立 下面用反证法证明 不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质第22页/共27页 最优状态调节器闭环系统结构图 闭环系统传递函数 闭环极点为 a2,实根，过阻尼 a2,复根，衰减震荡第23页/共27页 利用matlab计算和仿真A=0 1;0 0B=0;1a=2b=1Q=1 b;b aR=1K=lqr(A,B,Q,R,0)第24页/共27页第25页/共27页第6章 结束语q 研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。q 调节器问题：状态调节器,输出调节器q 跟踪问题q 与经典控制问题的关系q 线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题。q线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。q 在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。本章要点：状态调节器的控制规律第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页