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1、 一、自回归条件异方差模型一、自回归条件异方差模型一、自回归条件异方差模型一、自回归条件异方差模型 自自 回回 归归 条条 件件 异异 方方 差差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARCH)模模型型是是特特别别用用来来建建立立条条件件方差模型并对其进行预测的。方差模型并对其进行预测的。ARCH模模型型是是1982年年由由恩恩格格尔尔(Engle,R.)提提出出，并并由由博博勒勒斯斯莱莱文文(Bollerslev,T.,1986)发发展展成成为为GARCH(Generalized ARCH)广广义义自自回回归归条条件件异异方
2、方差差。这这些些模模型型被被广广泛泛的的应应用用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按按照照通通常常的的想想法法，自自相相关关的的问问题题是是时时间间序序列列数数据据所所特特有有，而而异异方方差差性性是是横横截截面面数数据据的的特特点点。但但在在时时间间序序列列数数据据中中，会会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？不会出现异方差呢？会是怎样出现的？第1页/共75页 恩格尔和克拉格（恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩
3、格尔的结论现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，
4、而在某一时期里则相对地大，然后，在预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。）模型。ARCH的主要思想是时刻的主要思想是时刻 t 的的ut 的方差的方差（=t2 ）依赖于时
5、刻依赖于时刻(t 1)的残差平方的残差平方的大小，即依赖于的大小，即依赖于 ut2 1。第2页/共75页 （一）（一）ARCHARCH模型模型模型模型 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k 变量回归模型：变量回归模型：(9.1.1)并并假假设设在在时时刻刻(t 1)所所有有信信息息已已知知的的条条件件下下，扰扰动动项项 ut 的分布是：的分布是：(9.1.2)也就是，也就是，ut 遵循以遵循以0为均值，为均值，(0+1u2t1)为方差的正态分布。为方差的正态分布。由由于于(9.1.2)中中ut的的方方差差依依赖赖于于前前期期的的平平方方扰扰动动项项，我我们们称称它它为为ARC
6、H(1)过程：过程：然而，容易加以推广。然而，容易加以推广。第3页/共75页 例如，一个例如，一个ARCH(p)过程可以写为：过程可以写为：（9.1.3）如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0：这时这时 从而得到误差方差的同方差性情形。从而得到误差方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：（9.1.4）其中，其中，t 表示从原始回归模型（表示从原始回归模型（9.1.1）估计得到的）估计得到的OLS残差。残差。第4页/共75页 （二）（二）GARCH(1,1)GARCH(1,1)
7、模型模型模型模型 常常常常有有理理由由认认为为 ut 的的方方差差依依赖赖于于很很多多时时刻刻之之前前的的变变化化量量（特特别别是是在在金金融融领领域域，采采用用日日数数据据或或周周数数据据的的应应用用更更是是如如此此）。这这里里的的问问题题在在于于，我我们们必必须须估估计计很很多多参参数数，而而这这一一点点很很难难精精确确的的做做到到。但但是是如如果果我我们们能能够够意意识识到到方方程程(6.1.3)不不过过是是 t2的的分分布布滞滞后后模模型型，我我们们就就能能够够用用一一个个或或两两个个 t2的的滞滞后后值值代代替替许许多多ut2的的滞滞后后值值，这这就就是是广广义义自自回回归归条条件件
8、异异方方差差模模型型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简简记记为为GARCH模模型型)。在在GARCH模模型型中中，要要考考虑虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。第5页/共75页在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中：(9.1.5)(9.1.6)其其中中：xt是是1(k+1)维维外外生生变变量量向向量量，是是(k+1)1维维系系数数向向量量。(9.1.5)中中给给出出的的均均值值方方程程是是一一个个带带有有误误差差项项
9、的的外外生生变变量量函函数数。由由于于 t2是是以以前前面面信信息息为为基基础础的的一一期期向向前前预预测测方方差差，所所以以它它被被称作条件方差。称作条件方差。第6页/共75页 (6.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1常数项（均值）：常数项（均值）：2用用均均值值方方程程(6.1.5)的的残残差差平平方方的的滞滞后后来来度度量量从从前前期得到的波动性的信息：期得到的波动性的信息：ut21（ARCH项）。项）。3上一期的预测方差：上一期的预测方差：t21 （GARCH项）。项）。GARCH(1,1)模模型型中中的的(1,1)是是指指阶阶数数为
10、为1的的GARCH项项（括括号号中中的的第第一一项项）和和阶阶数数为为1的的ARCH项项（括括号号中中的的第第二二项项）。一一个个普普通通的的ARCH模模型型是是GARCH模模型型的的一一个个特特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差 t2的说明。的说明。第7页/共75页 在在EViews中中ARCH模模型型是是在在误误差差是是条条件件正正态态分分布布的的假假定定下下，通通过过极极大大似似然然函函数数方方法法估估计计的的。例例如如，对对于于GARCH(1,1)，t 时时期期的对数似然函数为：的对数似然函数为：(9.1.7)其中其中(9.1.8)这这个个
11、说说明明通通常常可可以以在在金金融融领领域域得得到到解解释释，因因为为代代理理商商或或贸贸易易商商可可以以通通过过建建立立长长期期均均值值的的加加权权平平均均（常常数数），上上期期的的预预期期方方差差（GARCH项项）和和在在以以前前各各期期中中观观测测到到的的关关于于变变动动性性的的信信息息（ARCH项项）来来预预测测本本期期的的方方差差。如如果果上上升升或或下下降降的的资资产产收收益益出出乎乎意意料料地地大大，那那么么贸贸易易商商将将会会增增加加对对下下期期方方差差的的预预期期。这这个个模模型型还还包包括括了了经经常常可可以以在在财财务务收收益益数数据据中中看看到到的的变变动动组组，在在这
12、这些些数数据据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。第8页/共75页 有有两两个个可可供供选选择择的的方方差差方方程程的的描描述述可可以以帮帮助助解解释释这这个个模模型：型：1如如果果用用条条件件方方差差的的滞滞后后递递归归地地替替代代（9.1.6）式式的的右右端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：（9.1.9）可可以以看看到到GARCH(1,1)方方差差说说明明与与样样本本方方差差类类似似，但但是是，它包含了在更大滞后阶数上的，残差的加权条件方差。它包含了在更大滞后阶数上的
13、，残差的加权条件方差。第9页/共75页 2设设 vt=ut2 t2。用用其其替替代代方方差差方方程程（9.1.6）中中的的方方差并整理，得到关于平方误差的模型：差并整理，得到关于平方误差的模型：（9.1.10）因此，平方误差服从一个异方差因此，平方误差服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是冲击持久性的自回归的根是 加加 的和。在很多情况下，这个的和。在很多情况下，这个根非常接近根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。，所以冲击会逐渐减弱。第10页/共75页（三）（三）方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子方差方程的回归因子 方方程程(6.
14、1.6)可可以以扩扩展展成成包包含含外外生生的的或或前前定定回回归归因因子子z的的方差方程：方差方程：（9.1.11）注注意意到到从从这这个个模模型型中中得得到到的的预预测测方方差差不不能能保保证证是是正正的的。可可以以引引入入到到这这样样一一些些形形式式的的回回归归算算子子，它它们们总总是是正正的的，从从而而将将产产生生负负的的预预测测值值的的可可能能性性降降到到最最小小。例例如如，我我们们可可以以要求：要求：（9.1.12）第11页/共75页 GARCH(GARCH(p p,q q)模型模型模型模型 高高阶阶GARCH模模型型可可以以通通过过选选择择大大于于1的的p或或q得得到到估估计计，
15、记作记作GARCH(p,q)。其方差表示为：其方差表示为：（9.1.13）这里这里，p是是GARCH项的阶数，项的阶数，q是是ARCH项的阶数。项的阶数。第12页/共75页（四）（四）ARCHMARCHM模型模型模型模型 金金融融理理论论表表明明具具有有较较高高可可观观测测到到的的风风险险的的资资产产可可以以获获得得更更高高的的平平均均收收益益，其其原原因因在在于于人人们们一一般般认认为为金金融融资资产产的的收收益益应应当当与与其其风风险险成成正正比比，风风险险越越大大，预预期期的的收收益益就就越越高高。这这种种利利用用条条件件方方差差表表示示预预期期风风险险的的模模型型被被称称为为ARCH均
16、均值值模模型型(ARCHinmean)或或ARCHM回回归归模模型型。在在ARCHM中中把把条条件方差引进到均值方程中件方差引进到均值方程中:（9.1.14）ARCHM模模型型的的另另一一种种不不同同形形式式是是将将条条件件方方差差换换成成条条件件标准差：标准差：或取对数或取对数 第13页/共75页 ARCHM模模型型通通常常用用于于关关于于资资产产的的预预期期收收益益与与预预期期风风险险紧紧密密相相关关的的金金融融领领域域。预预期期风风险险的的估估计计系系数数是是风风险险收收益益交交易易的的度度量量。例例如如，我我们们可可以以认认为为某某股股票票指指数数，如如上上证证的的股股票票指指数数的的
17、票票面面收收益益（returet）依依赖赖于于一一个个常常数数项项，通通货货膨膨胀胀率率 t 以以及条件方差：及条件方差：这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCHM模型。模型。第14页/共75页二、二、在在在在EViewsEViews中中估计估计估计估计ARCHARCH模型模型模型模型 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Quick/Estimate Equation或或Object/New Object/Equation，然后在，然后在Method的下拉菜单的下拉菜单中选择中选择ARCH，得，得到如下
18、的对话框。到如下的对话框。(EViews4.0)的对话框的对话框第15页/共75页 (EViews5)的对话框的对话框第16页/共75页 与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。方程。（一）（一）均值方程均值方程均值方程均值方程 在在因因变变量量编编辑辑栏栏中中输输入入均均值值方方程程形形式式，均均值值方方程程的的形形式式可可以以用用回回归归列列表表形形式式列列出出因因变变量量及及解解释释变变量量。如如果果方方程程包包含含常常数数，可可在在列列表表中中加加入入C。如如果果需需要要一一个个更更复复杂杂的的均均值值方方程程，可可以以用用
19、公式的形式输入均值方程。公式的形式输入均值方程。如如果果解解释释变变量量的的表表达达式式中中含含有有ARCHM项项，就就需需要要点点击对话框右上方对应的按钮。击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，只有只有3个选项：个选项：1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项；2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表示在方程中加入条件标准差；3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。而而EViews5中中的的ARCHM的的下下拉拉框框中中，除除了了这这三三个个选选项项外外，还还添添加加了了一一个个新新的的选选项
20、项：Log(Var)，它它表表示示在在均均值值方方程程中中加入条件方差的对数加入条件方差的对数ln(2)作为解释变量。作为解释变量。第17页/共75页 （二）（二）方差方程方差方程方差方程方差方程 EViews5的选择模型类型列表的选择模型类型列表 （1）在）在model下拉框中可以选择所要估计的下拉框中可以选择所要估计的ARCH模模型的类型，需要注意，型的类型，需要注意，EViews5中的模型设定下拉菜单中中的模型设定下拉菜单中的的PARCH模型是模型是EViews5中新增的模型，在中新增的模型，在EViews4.0中，中，并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。并没有这个选项，而是
21、直接将几种类型列在对话框中。第18页/共75页 （3）在）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。（2）设定了模型形式以后，就可以选择）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。如果要估计一项的模型，这是现在最普遍的设
22、定。如果要估计一个非对称的模型，就应该在个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为个数为0。仍需注意的是，这个。仍需注意的是，这个Threshold编辑栏也是编辑栏也是EViews5新增的选项，即新增的选项，即EViews5可以估计含有多个非对称可以估计含有多个非对称项的非对称模型。在项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对中，并没有这个选项，非对称模型中的非对称项只能有称模型中的非对称项只能有1项。项。第19页/共75页 （4）
23、Error组组合合框框是是EViews5新新增增的的对对话话框框，它它可可以以设设 定定 误误 差差 的的 分分 布布 形形 式式，缺缺 省省 的的 形形 式式 为为Normal（Gaussian），备备选选的的选选项项有有：Studentst，Generalized Error（GED）、Studentst with fixed df.和和GED with fixed parameter。需需要要注注意意，选选择择了了后后两两个个选选项项的的任任何何一一项项都都会会弹弹出出一一个个选选择择框框，需需要要在在这这个个选选择择框框中中分分别别为为这这两两个个分分布布的的固固定定参参数数设设定定一
24、一个个值值。在在EViews4.0中中，并并没没有有Error选选项项，误误差差的的条条件件分分布布形形式式默默认为认为Normal（Gaussian）。）。第20页/共75页 （三）（三）估计选项估计选项估计选项估计选项（OptionsOptions）EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击要点击Options按钮并按要求填写对话即可。按钮并按要求填写对话即可。第21页/共75页 1.1.回推回推回推回推(Backcasting)(Backcasting)在缺省的情况下，在缺省的情况下，MA初始的扰动项和初始的扰动项和GARCH项
25、中要求项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化会设置残差为零来初始化MA过程，用无过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。模型的效果要理想。2.2.系数协方差系数协方差系数协方差系数协方差 (Coefficient Covariance)(Coefficient Co
26、variance)点点击击Heteroskedasticity Consistent Covariances计计算算极极大大似然（似然（QML）协方差和标准误差。）协方差和标准误差。如如果果怀怀疑疑残残差差不不服服从从条条件件正正态态分分布布，就就应应该该使使用用这这个个选选项项。只只有有选选定定这这一一选选项项，协协方方差差的的估估计计才才可可能能是是一一致致的的，才才可能产生正确的标准差。可能产生正确的标准差。注注意意如如果果选选择择该该项项，参参数数估估计计将将是是不不变变的的，改改变变的的只只是是协方差矩阵。协方差矩阵。第22页/共75页 3.3.导数方法导数方法导数方法导数方法 (D
27、erivatives)(Derivatives)EViews现现在在用用数数值值导导数数方方法法来来估估计计ARCH模模型型。在在计计算算导导数数的的时时候候，可可以以控控制制这这种种方方法法达达到到更更快快的的速速度度（较较大大的的步步长长计计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。4.4.迭代估计控制迭代估计控制迭代估计控制迭代估计控制 (Iterative process)(Iterative process)当当用用默默认认的的设设置置进进行行估估计计不不收收敛敛时时，可可以以通通过过改改变变初初值值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代
28、控制。增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。5 5算法选择算法选择算法选择算法选择 (Optimization algorithm)(Optimization algorithm)ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯高斯牛顿）使其达到收牛顿）使其达到收敛。敛。第23页/共75页三、三、ARCHARCH的估计结果的估计结果的估计结果的估计结果 在均值方程中和方差方程中估计含有解释变量的标准在均值方程中和方差方程中估计含有解释变量的标准GARCH(1,1)模型，模型
29、，(9.3.1)例例例例1 1 1 1 为为了了检检验验股股票票价价格格指指数数的的波波动动是是否否具具有有条条件件异异方方差差性性，我我们们选选择择了了沪沪市市股股票票的的收收盘盘价价格格指指数数的的日日数数据据作作为为样样本本序序列列，这这是是因因为为上上海海股股票票市市场场不不仅仅开开市市早早，市市值值高高，对对于于各各种种冲冲击击的的反反应应较较为为敏敏感感，因因此此，本本例例所所分分析析的的沪沪市市股股票票价价格格波波动动具具有有一一定定代代表表性性。在在这这个个例例子子中中，我我们们选选择择的的样样本本序序列列sp是是1998年年1月月3日日至至2001年年12月月31日日的的上上
30、海海证证券券交交易易所所每每日日股股票票价价格格收收盘盘指指数数，为为了了减减少少舍舍入入误误差差，在在估估计计时时，对对sp进进行行自自然然对对数数处处理，即将序列理，即将序列log(sp)作为因变量进行估计作为因变量进行估计。第24页/共75页 由由于于股股票票价价格格指指数数序序列列常常常常用用一一种种特特殊殊的的单单位位根根过过程程随随机机游游动动（Random Walk）模模型型描描述述，所所以以本本例例进进行行估估计的基本形式为：计的基本形式为：首首先先利利用用最最小小二二乘乘法法，估估计计了了一一个个普普通通的的回回归归方方程程，结结果如下：果如下：(9.3.2)（15531）R
31、2=0.994 对数似然值对数似然值=2874 AIC=5.51 SC=5.51 第25页/共75页 可可以以看看出出，这这个个方方程程的的统统计计量量很很显显著著，而而且且，拟拟和和的的程程度度也也很很好好。但但是是对对这这个个方方程程进进行行异异方方差差的的White和和ARCHLM检检验验，发发现现 q=3 时时的的ARCHLM检检验验的的相相伴伴概概率率，即即P值值接接近近于于0，White检检验验的的结结果果类类似似，其其相相伴伴概概率率，即即P值值也也接接近近于于0，这说明误差项具有条件异方差性。，这说明误差项具有条件异方差性。第26页/共75页 股票价格指数方程回归残差股票价格指
32、数方程回归残差股票价格指数方程回归残差股票价格指数方程回归残差 但但是是观观察察上上图图，该该回回归归方方程程的的残残差差，我我们们可可以以注注意意到到波波动动的的“成成群群”现现象象：波波动动在在一一些些较较长长的的时时间间内内非非常常小小（例例如如2000年年），在在其其他他一一些些较较长长的的时时间间内内非非常常大大（例例如如1999年年），这这说说明明残残差差序序列存在高阶列存在高阶ARCH效应。效应。第27页/共75页ARCH ARCH 的检验的检验的检验的检验1.ARCH LM1.ARCH LM检验检验检验检验 Engle(1982)提提 出出 对对 残残 差差 中中 自自 回回
33、归归 条条 件件 异异 方方 差差(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,ARCH)进进行行拉拉格格朗朗日日乘乘数数检检验验(Lagrange multiplier test)，即即 LM检检验验。异异方方差差的的这这种种特特殊殊定定义义是是由由于于对对许许多多金金融融时时间间序序列列的的观观测测而而提提出出的的，残残差差的的大大小小呈呈现现出出与与近近期期残残差差值值有有关关。ARCH自自身身不不能能使使标标准准LS推推理理无无效效，但但是是，忽忽略略ARCH影影响可能导致有效性降低。响可能导致有效性降低。第28页/共75页 ARCH L
34、M检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验验原假设：残差中直到原假设：残差中直到原假设：残差中直到原假设：残差中直到q q阶都没有阶都没有阶都没有阶都没有ARCHARCH，运行如下回归：运行如下回归：式式中中t是是残残差差。这这是是一一个个对对常常数数和和直直到到q阶阶的的滞滞后后平平方方残残差差所所作作的的回回归归。F统统计计量量是是对对所所有有滞滞后后平平方方残残差差联联合合显显著著性性所所作作的的检检验验。Obs*R2统统计计量量是是LM检检验验统统计计量量,它它是是观观测测值值数数T乘以检验回归乘以检验回归R2。第29页/共75页2.2.平方残差相
35、关图平方残差相关图平方残差相关图平方残差相关图 显显示示直直到到所所定定义义的的滞滞后后阶阶数数的的平平方方残残差差t2的的自自相相关关性性和和偏偏自自相相关关性性，计计算算出出相相应应滞滞后后阶阶数数的的LjungBox统统计计量量。平平方方残残差差相相关关图图可可以以用用来来检检查查残残差差自自回回归归条条件件异异方方差差性性（ARCH）。如如如如果果果果残残残残差差差差中中中中不不不不存存存存在在在在ARCHARCH，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后自自自自相相相相关关关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关应应应应为为为为0 0，且且且且QQ统统统统计计计计量量量量应应应应
36、不不不不显显显显著著著著。可可适适用用于于使使用用LS，TSLS，非非线线性性LS估估计计方方程程。显显示示平平方方残残差差相相关关图图和和Q统统计计 量量，选选 择择 View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在在打打开开的的滞滞后后定定义义对对话话框框，定定义义计计算算相相关关图图的的滞滞后数。后数。第30页/共75页 因此，对式因此，对式(9.3.2)进行条件异方差的进行条件异方差的ARCH LM检验，得检验，得到了在滞后阶数到了在滞后阶数p=3时的时的ARCH LM检验结果：检验结果：此处的此处的P值为值为0，拒绝原假设，说明式（
37、，拒绝原假设，说明式（9.1.2）的残差序）的残差序列存在列存在ARCH效应。还可以计算式（效应。还可以计算式（9.1.2）的残差平方的自）的残差平方的自相关（相关（AC）和偏自相关（）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：）系数，结果如下：第31页/共75页 重新建立序列的重新建立序列的GARCH（1,1）模型，结果如下：）模型，结果如下：均值方程：均值方程：（23213）方差方程：方差方程：（11.44）（33.36）对数似然值对数似然值=3006 AIC=5.76 SC=5.74 第32页/共75页 方差方程中的方差方程中的ARCH项和项和GARCH项的系数都是统计显项的系数都是统计显著的
38、，并且对数似然值有所增加，同时著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的件异方差的ARCHLM检验，相伴概率为检验，相伴概率为P=0.924，说明，说明利用利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH和和GARCH的系数之和等于的系数之和等于0.982，小于，小于1，满足参数约束条，满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于件。由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的，表明一个条件方差所受的冲击是持久
39、的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。结果在高频率的金融数据中经常可以看到。第33页/共75页第34页/共75页 ARCH估估计计的的结结果果可可以以分分为为两两部部分分：上上半半部部分分提提供供了了均均值值方方程程的的标标准准结结果果；下下半半部部分分，即即方方差差方方程程包包括括系系数数，标标准准误误差差，z统统计计量量和和方方差差方方程程系系数数的的P值值。在在方方程程(9.1.6)中中ARCH的的参参数数对对应应于于，GARCH的的参参数数对对应应于于 。在在表表的的底底部部是是一一组组标标准
40、准的的回回归归统统计计量量，使使用用的的残残差差来来自自于均值方程。于均值方程。注注意意如如果果在在均均值值方方程程中中不不存存在在回回归归量量，那那么么这这些些标标准准，例如例如R2也就没有意义了。也就没有意义了。第35页/共75页 例例例例2 2 估估计计我我国国股股票票收收益益率率的的ARCHM模模型型。选选择择的的时时间间序序列列仍仍是是1998年年1月月3日日至至2001年年12月月31日日的的上上海海证证券券交交易易所所每每日日股股票票价价格格收收盘盘指指数数sp，股股票票的的收收益益率率是是根根据据公公式式：，即即股股票票价价格格收收盘盘指指数数对对数数的的差差分分计算出来的。计
41、算出来的。ARCHM模型：模型：，估计出的结果是估计出的结果是:(2.72)(2.96)(5.43)(12.45)(29.78)对数似然值对数似然值=3010 AIC=5.77 SC=5.74 在收益率方程中包括在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设均值方程假设”的含义。在这的含义。在这个假设下，个假设下，应该是正数，结果应该是正数，结果 =0.27，因此我们预期较大值的条件标准差，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程
42、的所有系数都很显著。并且系数之和小于与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程中，满足平稳条件。均值方程中 t 的系数为的系数为0.27，表明当市场中的预期风险增加，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.27个百分点。个百分点。第36页/共75页第37页/共75页四、四、ARCHARCH模型的视图与过程模型的视图与过程模型的视图与过程模型的视图与过程 一一旦旦模模型型被被估估计计出出来来，EViews会会提提供供各各种种视视图图和和过过程程进进行推理和诊断检验。行推理和诊断
43、检验。（一）（一）ARCHARCH模型的视图模型的视图模型的视图模型的视图 1.1.Actual,Actual,Fitted,Fitted,ResidualResidual 窗窗口口列列示示了了各各种种残残差差形形式式，例例如，表格，图形和标准残差。如，表格，图形和标准残差。2.2.条件条件条件条件SDSD图图图图 显显示示了了在在样样本本中中对对每每个个观观测测值值绘绘制制向向前前一一步步的的标标准准偏偏差差 t。t 时期的观察值是由时期的观察值是由t1期可得到的信息得出的预测值。期可得到的信息得出的预测值。第38页/共75页 3.3.协方差矩阵协方差矩阵协方差矩阵协方差矩阵 显显示示了了估
44、估计计的的系系数数协协方方差差矩矩阵阵。大大多多数数ARCH模模型型（ARCHM模模型型除除外外）的的矩矩阵阵都都是是分分块块对对角角的的，因因此此均均值值系系数数和和方方差差系系数数之之间间的的协协方方差差就就十十分分接接近近零零。如如果果在在均均值值方方程程中中包包含含常常数数，那那么么在在协协方方差差矩矩阵阵中中就就存存在在两两个个C；第一个第一个C是均值方程的常数，第二个是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。是方差方程的常数。4.4.系数检验系数检验系数检验系数检验 对对估估计计出出的的系系数数进进行行标标准准假假设设检检验验。注注意意到到在在结结果果的的拟极大似然解释下，似然比
45、值检验是不恰当的。拟极大似然解释下，似然比值检验是不恰当的。第39页/共75页 5.5.残差检验残差检验残差检验残差检验/相关图相关图相关图相关图QQ统计量统计量统计量统计量 显显示示了了标标准准残残差差的的相相关关图图（自自相相关关和和偏偏自自相相关关）。这这个个窗窗口口可可以以用用于于检检验验均均值值方方程程中中的的剩剩余余的的序序列列相相关关性性和和检检查查均均值值方方程程的的设设定定。如如果果均均值值方方程程是是被被正正确确设设定定的的，那那么么所所有的有的Q统计量都不显著。统计量都不显著。6.6.残差检验残差检验残差检验残差检验/残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关图残差平方相关
46、图 显示了标准残差平方的相关图（自相关和偏自相关）。显示了标准残差平方的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验方差方程中剩余的这个窗口可以用于检验方差方程中剩余的ARCH项和检查项和检查方差方程的指定。如果方差方程是被正确指定的，那么所方差方程的指定。如果方差方程是被正确指定的，那么所有的有的Q统计量都不显著。统计量都不显著。第40页/共75页 7.7.残差检验残差检验残差检验残差检验/直方图直方图直方图直方图正态检验正态检验正态检验正态检验 显示了描述统计量和标准残差的直方图。可以用显示了描述统计量和标准残差的直方图。可以用JB统计统计量检验标准残差是否服从正态分布。如果标准残差服
47、从正态量检验标准残差是否服从正态分布。如果标准残差服从正态分布，那么分布，那么JB统计量就不是显著的。例如，用统计量就不是显著的。例如，用GARCH(1,1)模模型拟合型拟合GDP的增长率的增长率GDPR的标准残差的直方图如下：的标准残差的直方图如下：JB统计量拒绝正态分布的假设。统计量拒绝正态分布的假设。第41页/共75页 8.8.残差检验残差检验残差检验残差检验/ARCH LM/ARCH LM拉格朗日乘子检验拉格朗日乘子检验拉格朗日乘子检验拉格朗日乘子检验 通通过过拉拉格格朗朗日日乘乘子子检检验验来来检检验验标标准准残残差差中中是是否否显显示示了了额额外外的的ARCH项项。如如果果正正确确
48、设设定定方方差差方方程程，那那么在标准残差中就不存在么在标准残差中就不存在ARCH项。项。第42页/共75页 （二）（二）ARCHARCH模型的方法模型的方法模型的方法模型的方法 1 1构造残差序列构造残差序列构造残差序列构造残差序列 将将残残差差以以序序列列的的名名义义保保存存在在工工作作文文件件中中，可可以以选选择择保保存存普普通通残残差差 ut 或或标标准准残残差差 ut/t。残残差差将将被被命命名名为为RESID1，RESID2等等等等。可可以以点点击击序序列列窗窗口口中中的的name按按钮钮来来重重新新命命名名序序列残差。列残差。2 2构造构造构造构造GARCHGARCH方差序列方差
49、序列方差序列方差序列 将条件方差将条件方差 t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得等等。取平方根得到如到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。所示的条件标准偏差。第43页/共75页 3 3预测预测预测预测 例例例例3 3 假设我们估计出了如下的假设我们估计出了如下的ARCH(1)(采用采用Marquardt方法方法)模型：模型：(ARCH_CPI方程，留下方程，留下2001年年10月月2001年年12月的月的3个月做检验性数据个月做检验性数据)第
50、44页/共75页 使用估计的使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了的对话栏中输入名字。如果选择了Do gragh选项选项EViews就会显示预测值图就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。和两个标准偏差的带状图。第45页/共75页 估计期间是估计期间是1/03/1998 9/28/2001，预测期间是，预测期间是10/02/2001 12/31/2001左图表示了由均值方