《实对称矩阵的对角化课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实对称矩阵的对角化课件.pptx（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。第1页/共38页2定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量的内积一、向量的内积,正交和长正交和长度度第2页/共38页3向量长度的性质:由定义可知定义例1证第3页/共38页4二、正交向量组和正交矩阵二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。n维基本单位向量组 是两两正交的。显然有第4页/共38页5例2解即得所求向量为第5页/共38页6定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设是正交向量组，第6页/共38页7施密特正
2、交化方法施密特正交化方法证略。第7页/共38页8例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：第8页/共38页9例4解将向量组标准正交化.第9页/共38页10再单位化,第10页/共38页11例5解它的基础解系为再正交化，第11页/共38页12定义若n阶矩阵Q 满足则称 Q为 。正交矩阵正交矩阵正交矩阵的性质：证第12页/共38页13 Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组证明定理第13页/共38页14是单位正交向量组同理,由可知Q的行向量组是单位正交向量组.第14页/共38页15Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是
3、两两正交的单位向量.第15页/共38页16例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵解(1)不是正交矩阵第16页/共38页17(2)所以它是正交矩阵第17页/共38页18练习验证矩阵是正交矩阵.P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。第18页/共38页19实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化定理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证证略.实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只证两个特征向量的情况.第19页/共38页20定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线
4、性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。第20页/共38页21例7解设求正交阵P，再单位化,第21页/共38页22于是所求正交阵为使第22页/共38页23例8解设求正交阵P，特征向量第23页/共38页24特征向量第24页/共38页25再单位化,拼起来得使第25页/共38页26解例9 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为(1)求属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有 由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为 第26页/共38页27属于特征值3的特征向量为(2)所以第27页/共38页28备选例题备选例题第28页/共38页29解例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值第29页/共38页30解之得基础解系 解之得基础解系第30页/共38页31解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化第31页/共38页32第32页/共38页33第33页/共38页34第34页/共38页35于是得正交阵第35页/共38页36第36页/共38页37第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页