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1、第四章 导热数值解法基础本章研究的目的利用计算机求解难以用分析解求解的导热问题基本思想把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。物理问题的数值求解过程研究手段有限差分法数值法求解物理问题的计算机原理：节点方程计算结果运算中枢临时存贮单元输入设备输出设备决定待运算数据的存贮量决定数据的运算速度存贮器第一节 建立离散方程的方法一、区域和时间的离散化（以二维导热为例）网格内节点边界节点微元体空间步长：x，y 时间步长：网格细密程度对求解过程的影响细密稀疏结果更精确，但运算时间长运算时间短
2、，但结果误差较大网格细密程度应合理选择二、建立离散方程的方法用节点（i,j）的温度来表示节点（i+1,j）的温度：1.泰勒级数展开法即将转换为差分格式移项整理，得：向前差分0（x）截断误差用节点（i,j）的温度来表示节点（i-1,j）的温度：移项整理，得：向后差分（1）式减（2）式，得：中心差分（1）式加（2）式，得：同理可得：二维稳态导热离散方程：正方形节点时，xy，离散方程为：2.热平衡法对每个节点所代表的元体用傅立叶定律直接写出其能量守恒表达式由微元体四个方向导入微元体的热量分别为：根据能量守恒定律：将四式相加并除以xy，即得到：与泰勒级数展开法结果完全相同第二节 稳态导热的数值计算一、
3、内节点离散方程的建立常物性、无内热源的二维稳态导热中，均分网格的表达式：对于每个内节点，差分方程均可写出，但尚需补充边界节点的差分方程，才能得到描述整个导热问题的完整方程组。由于泰勒级数展开法对复杂情况的处理存在困难，边界节点差分方程一般用热平衡法来建立。二、边界节点离散方程的建立以右边界为例边界1.第一类边界条件：2.第二类边界条件：xy时简化为：绝热边界：3.第三类边界条件：xy时简化为：其他情况的节点方程见教材表41外拐角与内拐角节点对流边界内部拐角节点热平衡：节点方程式推导实例对流边界外部拐角节点xy时简化为：数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三、节点离散方程组的求解迭代
4、法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值，并重复此步骤若干次两次计算值足够接近，认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果 允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值，使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值，使运算过程接近真实值的时间缩短第三节 非稳态导热的数值计算一、显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程：移项整理后得到：优点可根据k
5、时刻温度分布直接计算(k+1)时刻温度分布缺点选择x和 时必须满足稳定性条件或二、隐式差分格式一维非稳态导热内节点差分方程：或可写成：节点(i,j)处新值依赖于相邻节点新值，未知值间相互耦合，方程组必须联立求解优点无条件稳定缺点不可根据k时刻温度分布直接计算(k+1)时刻温度分布第四节 常用算法语言和计算软件简介一、常用算法语言1.FORTRAN语言Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。2.C语言将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合起来的应用程序设计语言。3.C C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计语言，数值计算软件主要使用的语言。二、常用计算软件matlab软件主界面1.MATLAB矩阵计算软件2.FLUENT流体流动通用数值计算软件3.FLUENT AIRPAK人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件AIRPAK模拟温度场第四章重点：1.有限差分方程的建立2.高斯赛德尔迭代方法