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1、3.4.4 快速横向滤波(FTF)自适应算法 FTF算法是由4个横向滤波器组合起来的一种自适应算法.由于这4个滤波器都是用横向滤波算子描述的,因此这些滤波器的参数更新可利用该算子的时间更新来实现,并进而达到横向自适应滤波器参数更新的目的.1.用矢量空间法描述用矢量空间法描述FTF算法中的算法中的4个横向滤波器个横向滤波器（1）最小二乘横向滤波器 设一 阶横向滤波器的权矢量为 时刻的输入信号矢量期望信号矢量Fast Transversal Filter(FTF)Adaptive Algorithm 由已知的 来估计 ,这时,横向滤波器的输出是 的最小二乘估计 ,即滤波方程为 (3.4.125)其
2、中,采用前加窗法时的数据矩阵 由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定:(3.4.126)定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵):(3.4.127)则式(3.4.126)可写成 (3.4.128)上式表明,权矢量 是横向滤波算子 各行矢量与 的内积.将式(3.4.128)代入式(3.4.125),可得 (3.4.129)估计误差矢量为 (3.4.130)式中，和 分别是数据子空间 的投影矩阵和正交投影矩阵。利用单位现时矢量 ,可求出误差矢量 的当前分量:(3.4.131)（2）前向预测误差滤波器 最小二乘前向预测器是用 时刻以前相继的 个数据,对该时刻的 做最小二乘估计,即 (3.4.1
3、32)在最小二乘意义下,预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.133)考虑到数据子空间 的投影矩阵:因此得到 (3.4.134)式(3.4.134)表明,用横向滤波算子 作用于数据矢量 ,便可求出最小二乘前向预测系数矢量 (即最佳权矢量).最小二乘前向预测误差矢量为 (3.4.135)其当前分量为 (3.4.136)根据前向线性预测滤波器的输入输出关系,上式还可表示为(3.4.137)预测误差能量为(3.4.138)（3）后向预测误差滤波器 最小二乘后向预测器,是利用 时刻以后的 个相继数据 ,向后一步预测 即延时数据 .根据上节分析,的最小二乘后向预测矢量为 (3.4.
4、139)在最小二乘意义下,后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.140)考虑到子空间 的投影矩阵因此得到 (3.4.141)(3.4.142)式(3.4.141)表明,用横向滤波算子 作用于延时数据矢量 ,便可求出最小二乘后向预测系数矢量 (即最佳权矢量).最小二乘后向预测误差矢量为 (3.4.143)其当前分量为 (3.4.144)误差能量为 (3.4.145)（4）增益滤波器 a)什么是增益滤波器?确切而言,增益滤波器实际是关于角参量的滤波器.现以图3.4.9所示的一维数据空间为例予以说明.设 时刻的数据子空间为 ,时刻的数据子空间为 ,两者之间的夹角为 ,角参量
5、为 (3.4.146)若一维子空间 的投影矩阵为 ,单位现时矢量 在上投影为 ,令 (3.4.147)很明显,矢量 就是 对 的最小二乘估计.如果把这种估计看成是 通过一个最小二乘滤波器的输出,则 便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数),因此,把该滤波器称为增益滤波器.图3.4.9 最小二乘增益滤波器的几何说明b)估计误差矢量与角参量 在上述情况下,由 对 进行最小二乘估计的误差矢量为 (3.4.148)式中,是对 的正交投影矩阵.由角参量的定义可知,的当前分量等于该时刻的角参量 (3.4.149)将式(3.4.148)代入上式,得即 (3.4.150)参见华中教材p83,式(3.1
6、86):由上式得到 (3.4.151)可以看出,增益滤波器的增益 与 一样,也是两个子空间 与 之间夹角的一种度量.c)维情况 这时,数据子空间为 ,相应的投影矩阵为 ,将一维的式(3.4.147)推广,得 (3.4.152)式中,称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量,权矢量).上式两边同乘以 ,可进一步得到 (3.4.153)其中,是增益滤波器的横向滤波算子.上式说明,增益矢量可以通过 作用于单位现时矢量 来得到.维时的角参量为 (3.4.154)式中,(3.4.155)小结小结 由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量,增益矢量)的计算公式:最小二乘横向滤波器 前向预测误差滤波器 后向预
7、测误差滤波器 增益滤波器 以上权矢量的时间更新,皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作 用 于 x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到2.横向滤波算子的时间更新横向滤波算子的时间更新(1)子空间 的横向滤波算子 的更新 设 是 (行)(列)数据矩阵,则横向滤波算子定义为又设:列矢量;由 的 个列矢量张成的 维子空间;的投影矩阵;对 的正交投影矩阵;将 附加到 的最后一列,构成的 维新矩阵;由 的 个列矢量张成的 维矢量空间;的投影矩阵;对 的
8、正交投影矩阵;的横向滤波算子.参照式(3.4.127)可以证明，横向滤波算子 具有以下性质(证明参见教材):(a)(b)(c);(d)(e)(f)(2)横向滤波算子的更新(a)的时间更新关系式令于是有由 的 个列矢量张成的 维子空间为 设子空间 的投影矩阵为 ;横向滤波算子为.由 时刻投影矩阵 递推 时刻投影矩阵 的公式如下:见教材p83,式(3.11.3):上式两边左乘 ,得到 (3.4.156)注意到:上式右边分块矩阵的最后一列是列矢量 ,利用横向滤波算子 的性质(c),有设 与分块矩阵其余部分相乘后得到的矩阵的最后一行为,同时根据性质(a),有 所以由式(3.11.32)得到横向滤波算子
9、 的时间更新关系式为:(3.4.157)式中,yT(n-1)表示一个1n维矢量.同理可得横向滤波算子的时间更新关系式为:(3.4.158)3.FTF自适应算法中的时间更新自适应算法中的时间更新 FTF自适应算法的目的,是要解决权矢量 的时间更新问题,为此要涉及 ,等一系列参量的更新.(1)横向滤波器横向滤波器 的更新的更新推导思路(a)利用横向滤波算子性质(e):式中,取 ,.式中,bT(n-1)表示一个1n维矢量.(b)其它有关公式:结论 由 时刻递推计算 时刻的权矢量的时间更新公式为 (3.4.159)上式表明,在由 递推计算 时,还必须事先计算 ,和.(2)增益滤波器增益滤波器 的更新的
10、更新推导思路推导思路(a)利用横向滤波算子性质(f):式中,取 ,于是有(b)再利用前向预测误差矢量的当前分量和误差能量表示式:同时注意到,因则 阶增益滤波器的权矢量为并定义 式中,是 的前 个元素组成的矢量;表示 的最后一个(即第 个)元素.结论(a)时刻的 阶增益滤波器 的计算公式为:(3.4.160)可见,计算 时需预先求出 时刻的 ,和 .(b)进一步由 求 时刻的 :(3.4.161a)上式中的 和 可分别由式(3.4.160)求得.该式说明,一般情况下,不等于 的前 个元素组成的矢量 .利用下面将要得到的式(3.4.168),可进一步导出下面的实用公式:(3.4.161b)(3)前
11、向预测误差滤波器前向预测误差滤波器 的更新的更新 的更新公式的更新公式推导思路推导思路(a)利用横向滤波算子性质(f):式中,取 ,.(b)其它有关公式:结论结论 前向预测系数矢量 的时间更新公式为:(3.4.162)上式中,和 是通过第 次迭代后的已知参量,欲得 ,还必须进一步解决 的计算问题.问题:是用 来预测 时的前向预测误差,即计算时需知道 ,而计算 时又要用到 ,如何解决这一问题?前向预测的输出是 的预测值:预测误差为写成矢量形式,有 (3.4.163)其中,数据矢量预测系数矢量将式(3.4.162)代入式(3.4.163),得到(3.4.164)其中,(3.4.165)由式(3.4
12、.164)可解得 (3.4.166)由上式计算 可避免预先计算 .误差能量误差能量 的更新公式的更新公式 直接给出更新计算公式如下:(3.4.167)(4)后向预测误差滤波器后向预测误差滤波器 的更新的更新后向预测系数矢量 的时间更新公式 (3.4.168)由上式可看出,为了由 计算 ,必须在第 次迭代中先算出 ,和 .的时间更新公式的时间更新公式 (3.4.169)其中 (3.4.170)由上式计算 ,可避免与计算 出现的“交叉耦合”.的时间更新公式的时间更新公式 (3.4.171)4.角参量的时间更新角参量的时间更新 与 的推导过程类似.可分两步得到递推公式:首先由 到 的更新,其次再由到
13、 的更新.结论结论:由 (3.4.172)由 (3.4.173)或者 (3.4.174)5.FTF自适应算法流程自适应算法流程(1)初始化 令 ;.其中,为一个很小的正常数.(2)按时间 ,依次迭代计算以下参数 a)前向预测误差滤波器参数:式(3.4.165)式(3.4.166)式(3.4.167)式(3.4.162)b)阶角参量:c)阶增益滤波器权矢量:d)后向预测误差滤波器参数,阶角参量及 阶增益矢量:式(3.4.171)式(3.4.160)式(3.4.170)式(3.4.174)式(3.4.169)式(3.4.171)式(3.4.161b)e)最小横向滤波器参数:当 和 满足给定条件时,即停止迭代.式(3.4.168),同时利用式(3.4.169)由式(3.4.131)导出由式(3.4.159)导出