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1、第二讲第二讲 预期效用函数与均方偏好预期效用函数与均方偏好对外经济贸易大学金融学院对外经济贸易大学金融学院 郭敏郭敏 教授教授3/12/20231一、二元关系(binary relations)与偏好关系（preference relationship）二元关系(binary relations)o一个集合上的二元关系是确定这个集合中两一个集合上的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。元素之间的一种联系。o有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于不同性质的集合。不同性质的集合
2、。o有的二元关系满足一定的性质，如完全性、有的二元关系满足一定的性质，如完全性、传递性、自反性、传递性、自反性、（非）对称性。我们主要（非）对称性。我们主要考虑前三者。考虑前三者。3/12/20232二元关系(binary relations)o定义集合定义集合X,元素元素x，y，z。o如果二元关系满足；对于任意如果二元关系满足；对于任意x X,有有x x,则称则称 具有自反性具有自反性o如果二元关系满足；对于任意如果二元关系满足；对于任意x,y X,要要么么x y,y x,则称则称 具有完全性。具有完全性。o如果二元关系满足；对于任意如果二元关系满足；对于任意x,y,z X,x y,y z,
3、意味着意味着x z,则称则称 具有传递性。具有传递性。3/12/20233o定义定义:是指具有传递性、完全性、自反性的一个二是指具有传递性、完全性、自反性的一个二元关系元关系。o偏好关系的一般表示是对于偏好关系的一般表示是对于x,y X,有有 x y，但，但有以下两种特殊偏好关系：有以下两种特殊偏好关系：给定偏好关系给定偏好关系，称称x与与y是无差别的，如果是无差别的，如果x y，y x。记为记为x y称称x严格偏严格偏好好y，如果如果x y，但，但y x不成立。记作：不成立。记作：x y偏好关系(preference relationship)3/12/20234三三、期望效用函数期望效用函
4、数 不确定性下的投资决策选择不确定性下的投资决策选择o给给定定偏偏好好关关系系虽虽然然可可以以用用效效用用函函数数来来表表示示，但但是是当当可可能能状状态态数数目目非非常常巨巨大大时时，证证券券组组合合是是一一个个高高维维的的向向量量或或随随机机变变量量,为为此此，我我们们对对效效用用函函数数进进一一步步限限制制，经经常常用用一一类类更更为为特特殊殊的的、性性质质更更好好的的效效用用函函数数期期望望效效用用函函数数。3/12/20235（一）不确定性下的选择问题与对象（一）不确定性下的选择问题与对象o不确定性下的选择问题是其预期效用最大化不确定性下的选择问题是其预期效用最大化的决定，这不仅决定
5、自己行动的选择，也取的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。决于自然状态本身的选择或随机变化。o因此不确定下的选择对象被人们称为彩票因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery)或未定商品（或未定商品（contingent commodity)3/12/20236o假设投资者的证券组合收益变量的概率分假设投资者的证券组合收益变量的概率分布定义在有限集合布定义在有限集合L上，上，o投资者的证券组合选择也可看成抽彩投资者的证券组合选择也可看成抽彩（lottery）（或者投资者的消费计划，或者投资者的消费计划，或者投资收益），或者投资收益），L中的元素为所有可
6、能各中的元素为所有可能各种奖金数额，不妨设种奖金数额，不妨设L L=l1，ln，得得到奖品的到奖品的li的概率为的概率为p(li)，i=1，2.n.o(l1，p1；ln,，pn)表示一次性抽彩表示一次性抽彩 p P。3/12/20237o复赌（复赌（复合抽彩复合抽彩“a compound lottery”）:o显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确定性利益定性利益3/12/20238o公理：不确定性利益是某些随机变量所构公理：不确定性利益是某些随机变量所构成的一个集合成的一个集合L，并且对于任何两个不确，并且对于任何两个不确定性利益定性利益a,b来说，以概率来说，以概
7、率p得得a，以概，以概率（率（1p)得得b也是不确定性利益，这个也是不确定性利益，这个不确定性利益可称为不确定性利益可称为a以概率以概率p与与b的平均，的平均，记为（记为（a,b;p).3/12/20239（二）期望效用函数（二）期望效用函数（expected utility function）不确定性下的投资决策原则不确定性下的投资决策原则oVNM预期效用函数：在不确定性下，证券预期效用函数：在不确定性下，证券收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集合合L上直接定义效用函数上直接定义效用函数 u:L R，使得不确定性利益使得不确定性利益a比不确定比不确定性
8、利益性利益b好等价于好等价于u(a)u(b),并且对于并且对于任何不确定性利益任何不确定性利益a与与b，a以概率以概率p与与b的的平均平均(a,b；p),满足：满足：u(a,b;p)=pu(a)+(1-p)u(b)3/12/202310o其含义是一种其含义是一种“未定商品未定商品”的效用就等于的效用就等于该该“未定商品未定商品”所涉及的所涉及的“确定商品确定商品”效效用的均值。用的均值。o所谓期望效用函数是定义在一个随机变量所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值等于它作为数值函数在该随机
9、变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益值的数学期望。用它来判断有风险的利益就是比较就是比较“钱的函数的数学期望钱的函数的数学期望”（“而而不是钱的数学期望不是钱的数学期望”）。）。3/12/202311o如果偏好可以用期望效用函数来表示，如果偏好可以用期望效用函数来表示，那么它明确的表示了不同状态的概率那么它明确的表示了不同状态的概率分布如何影响消费计划的总效用。分布如何影响消费计划的总效用。o偏好中的概率以及消费本身的个人喜偏好中的概率以及消费本身的个人喜好明确分离，前者是外生的，后者是好明确分离，前者是外生的，后者是因人而异的因人而异的。3/12/202312o期望效用函数的时间可加
10、性或时间分离性期望效用函数的时间可加性或时间分离性o效用函数把影响偏好的三个因素完全分开：效用函数把影响偏好的三个因素完全分开：每一消费路径发生的概率每一消费路径发生的概率P消费的时间性消费的时间性 由消费得到的效用本身由消费得到的效用本身u3/12/202313期望效用函数的提出者VNM效用函数（上）上）John von Neumann(1903-1957)（下）下）Oskar Morgenstern(1902-1977)o1944 年在巨著年在巨著对策论与对策论与经济行为经济行为中用数学公理化中用数学公理化方法提出期望效用函数。这方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风是经济学中首
11、次严格定义风险险3/12/202314（三）期望效用函数的公理化陈述三）期望效用函数的公理化陈述pVNM期望效用函数存在定理期望效用函数存在定理:定义在定义在L上的偏上的偏好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可以以 用用von Neumann and Morgenstern期望效用函数：期望效用函数：u(a,b;p)=pu(a)+(1-p)u(b)表示，表示，并且期望效用函数是唯一的。并且期望效用函数是唯一的。3/12/202315公理1（序假设）o二元关系二元关系是一个定义在是一个定义在L上的偏好关系，上的偏好关系，满足：满足：自返性自返性 传递性传
12、递性 完全性完全性3/12/202316假设假设2（约简公理（约简公理 Reduction Axiom）对于任意对于任意o即即3/12/202317p对于对于p,q L,pq,意味着意味着 ap+(1-a)r a q+(1-a)r,对任意对任意r L,任意任意a (0,1)。q含义含义:引入一个额外的不确定性的消费计划不引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给定事件中的消费定事件中的消费p、q的满意程度并不依赖于的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时消费如果另外事件发生时消费r将会是什么。将会是什么。公理3（独立性公理独立性
13、公理或替代公理替代公理，Independent or Substitute Axiom）3/12/202318p对于对于p,q,r L,pqr,则存在实数则存在实数a,b (0,1)使使得得 ap+(1-a)rqbp+(1-b)rq含义含义:没有哪一个消费计划没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足好到使得对任意满足qr的消费计划，能使得的消费计划，能使得P的发生是个等于的发生是个等于b的小概率事的小概率事件而件而r的发生是等于（的发生是等于（1b）的大概率事件的复合彩）的大概率事件的复合彩票票bp+(1-b)r的效用从来不比的效用从来不比q差。同样，没有哪差。同样，没有哪一个消费计划一个消费计
14、划r，差到使得对任意满足差到使得对任意满足pq的消费计的消费计划能使得划能使得P的发生是等于的发生是等于a的大概率事件，而的大概率事件，而r的发生的发生是等于一个（是等于一个（1-a）的小概率事件的复合彩票）的小概率事件的复合彩票ap+(1-a)r的效用从来不比的效用从来不比q好。即不存在无限好或好。即不存在无限好或无限差的消费计划。无限差的消费计划。(数学上有类似的阿基米德公理数学上有类似的阿基米德公理)公理4（阿基米德公理，Archimedean Axion）3/12/202319（四）对期望效用函数的置疑 “Allais 悖论”(1953)o期望效用函数似乎是相期望效用函数似乎是相当人为
15、、相当主观的概当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是批评。其中最著名的是“Allais Allais 悖论悖论”(1953)(1953)。o由此引起许多非期望效由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不多古怪的数学。但都不很成功。很成功。o（法）法）Maurice Allais Maurice Allais(1911-)1988(1911-)1988 年诺贝尔年诺贝尔经济奖获得者。经济奖获得者。3/12/202320（五）风险厌恶偏好（五）风险厌恶偏好o18世纪著名的数学家世纪著名的数学家Daniel Bernou
16、lli 在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博输在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博输掉的钱看得比可能赢的钱跟重。例如掉的钱看得比可能赢的钱跟重。例如:有一有一个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，正面朝上可以赢正面朝上可以赢2000元，反面朝上元，反面朝上1分钱分钱什么也没有。现在入局费为多少，才能使这什么也没有。现在入局费为多少，才能使这场赌博为一场公平的赌博？场赌博为一场公平的赌博？3/12/2023211.1.公平赌博公平赌博v公公平平赌赌博博是是指指不不改改变变个个体体当当前前期期望望收收益益的的赌赌局局，如如一一个个赌赌局局的的随随机机收收益益为
17、为 ，其其变变化化均均值值为为E(E()=0)=0的的赌赌局局。或或者者公公平平赌赌博博是是指指一一个个赌赌博博结结果果的的预预期期只只应应当当和和入入局局费费相相等等的的赌赌博。博。3/12/202322o考虑一个博弈，它以概率考虑一个博弈，它以概率p有一个正的回报有一个正的回报h1,以概率以概率（1-p）有负收益有负收益h2,它称为一它称为一个公平的赌博个公平的赌博是指是指ph1+(1-p)h2=0。o如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人应当先交出数学期望值大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博等于期望值
18、的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。变得公平。o或者说公平的赌博得结果的预期只应当和或者说公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均意义上的应该是不输不赢果从概率平均意义上的应该是不输不赢。3/12/202323怎样判别风险厌恶、风险喜好和风险中性怎样判别风险厌恶、风险喜好和风险中性 若投资者的初始财富为若投资者的初始财富为W0，他不参与一他不参与一个公平赌博，则其效用值是个公平赌博，则其效用值是U(W0),若参与，若参与，则其财富会起变化，变化的财富的期望效用则其财富会起变化，变化的财富的期望效用是以是以p取（取（W0
19、h1),以（以（1p）取（取（W0 h2),比较投资者对二者之间态度，可以判比较投资者对二者之间态度，可以判断投资者的风险态度。断投资者的风险态度。3/12/202324确定性利益与不确定性利益的效用比较确定性利益与不确定性利益的效用比较3/12/202325p定义：定义：如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博，如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博，即即u(Wu(W0 0)pu(Wpu(W0 0+h+h1 1)+(1-p)u(W)+(1-p)u(W0 0+h+h2 2)，则称投则称投资者是风险厌恶型。此时，效用函数资者是风险厌恶型。此时，效用函数u u是一个是一个凹函数，更一般的表示为凹函数，更一般
20、的表示为：u(E(W)u(E(W)E(u(W)E(u(W)。p个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。异于任何公平的赌博。p个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博。平的赌博。p定理定理 u u的凹性对应着个体风险厌恶的凹性对应着个体风险厌恶；u u的严格的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。凹性对应着个体严格风险厌恶。2 2.风险厌恶风险厌恶3/12/202326风险厌恶的函数图形3/12/202327o定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌博博，即，即u
21、(W0)pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)，则称投资者是风险爱好型。则称投资者是风险爱好型。此时，效用函数此时，效用函数u是一个凸函数，更一般是一个凸函数，更一般的表示为的表示为：u(E(W)E(u(W)。3.风险喜好风险喜好3/12/202328o这种投资者把风险的这种投资者把风险的“乐趣乐趣”考虑在内，考虑在内，使预期收益率上调。因为上调的风险效用使预期收益率上调。因为上调的风险效用的公平赌博的确定等价值高于一个确定性的公平赌博的确定等价值高于一个确定性收入财富，风险爱好者总是加入公平赌博。收入财富，风险爱好者总是加入公平赌博。3/12/2023294、风险中性、风险中性o定义
22、：如果投资者对是否参与所有公平的赌定义：如果投资者对是否参与所有公平的赌博没有任何差别，则称投资者是风险中性型。博没有任何差别，则称投资者是风险中性型。此时，此时，u(W0)=pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)，o效用函数效用函数u是一个线性函数，更一般的表示是一个线性函数，更一般的表示为：为：u(E(W)=E(u(W)3/12/202330o这时，投资者对风险采取完全无所谓的态这时，投资者对风险采取完全无所谓的态度，不对风险资产要求任何风险补偿。投度，不对风险资产要求任何风险补偿。投资者只是按照预期收益率来判断风险投资。资者只是按照预期收益率来判断风险投资。风险的高低与风险中性投
23、资者无关，这意风险的高低与风险中性投资者无关，这意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价报酬率就是预期说，资产组合的确定等价报酬率就是预期收益率。收益率。3/12/202331四、个体风险厌恶度量四、个体风险厌恶度量o假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个人假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个人风险厌恶的程度可能个不相同，因此需要对风险厌恶的程度可能个不相同，因此需要对风险厌恶程度给出一个度量。风险厌恶程度给出一个度量。oMarkowitz risk premiumoPratt-Arrow risk premium3/12/202332（一
24、）确定性等值与（一）确定性等值与Markowitz risk premiumo定义：定义：W0-f(W0,H)称为确定性等值称为确定性等值（certainty equivalent wealth）o确定性等值（确定性等值（CE)是一个完全确定是一个完全确定的量，的量，在此收入水平（被认为这是一个确定性在此收入水平（被认为这是一个确定性财富）上的效用水平等于不确定条件下财富）上的效用水平等于不确定条件下财富的期望效用水平。财富的期望效用水平。3/12/202333o定义：定义：f(W0,H)是一个收入额度，当一个完全确是一个收入额度，当一个完全确定的收入减去该额度后所产生的效用水平等于不确定的收
25、入减去该额度后所产生的效用水平等于不确定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明投资者为了避免赌博愿交的罚金越多，因而就越厌投资者为了避免赌博愿交的罚金越多，因而就越厌恶风险。恶风险。of(W0,H)是投资者为了避免参与赌博（一个不确是投资者为了避免参与赌博（一个不确定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量。这定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量。这个特定的额度称为罚金个特定的额度称为罚金f(W0,H)或或Markowitz risk premium.3/12/202334o它们满足下式它们满足下式 u(W0-f(W0,H)=pu(W0+h1)
26、+(1-p)u(W0+h2)其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的额度后的效用相当于不确定财富的期望效用额度后的效用相当于不确定财富的期望效用.或者或者 3/12/202335（二）Pratt-Arrow risk premiumo定义定义 考察风险很小的赌博，考察风险很小的赌博，Pratt-Arrow风风险溢价定义为：险溢价定义为：3/12/202336（三）绝对风险厌恶与相对风险厌恶（三）绝对风险厌恶与相对风险厌恶v绝对的厌恶风险型绝对的厌恶风险型o对于个体效用函数，定义它的绝对风险厌恶对于个体效用函数，定义它的绝对风险厌恶系数为：系数为：o用来判
27、断当个体在风险资产与无风险资产之用来判断当个体在风险资产与无风险资产之间进行选择时，是否能像对待正常商品一样间进行选择时，是否能像对待正常商品一样对待有风险资产。对待有风险资产。3/12/202337v 定义定义 如果如果RA（）（）是严格递减的函数，即是严格递减的函数，即 ，那么称投资者是递减绝对，那么称投资者是递减绝对风险厌恶的，类似的，若风险厌恶的，类似的，若 ，那么称投资者是常绝对风险厌恶的，若那么称投资者是常绝对风险厌恶的，若 ，则称投资者是递增绝对，则称投资者是递增绝对风险厌恶的。风险厌恶的。3/12/202338v定理（阿定理（阿罗罗-普拉特定理）对于递减绝对风普拉特定理）对于递
28、减绝对风险厌恶者来说，随着个人财富的增长，他险厌恶者来说，随着个人财富的增长，他对风险资产的投资也就越大；对于递增绝对风险资产的投资也就越大；对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的增加，他对风险厌恶者，随着个人财富的增加，他对风险资产投资反而减少（视风险资产为对风险资产投资反而减少（视风险资产为劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富无关风险资产投资与财富无关。3/12/202339o前面我们已经知道：显示递减绝对风险厌恶前面我们已经知道：显示递减绝对风险厌恶系数的投资者，当财富增加时，他对风险资系数的投资者，当财富增加时，他对风险资产的绝对投
29、资量也会增加，但是，不能回答，产的绝对投资量也会增加，但是，不能回答，相对于总财富的风险投资比例是增加还是减相对于总财富的风险投资比例是增加还是减少。引入相对风险厌恶的概念可以回答这一少。引入相对风险厌恶的概念可以回答这一问题。问题。3/12/202340v相对的厌恶风险型相对的厌恶风险型 对于个体效用函数，定义它的相对风险厌对于个体效用函数，定义它的相对风险厌恶系数为：恶系数为：3/12/202341v定义：定义：如果如果RR（）（）是严格递减的函数是严格递减的函数 即即 ，那么称投资者是递减相对风险厌恶的；那么称投资者是递减相对风险厌恶的；若若 那么称投资者是常（不变）相对那么称投资者是常
30、（不变）相对风风 险厌恶的；险厌恶的；若若 ，则称投资者是递增相对风险，则称投资者是递增相对风险 厌恶的。厌恶的。3/12/202342v定理定理 对于递增相对风险厌恶者，风险资产需对于递增相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性小于求的财富弹性小于1 1（即随财富的增加，投资（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例下降），对于不于风险资产相对于财富的比例下降），对于不变相对风险厌恶者，风险资产需求的弹性等于变相对风险厌恶者，风险资产需求的弹性等于1 1，对于递减相对风险厌恶者，风险资产需求，对于递减相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性大于的财富弹性大于1 1（即随财富的增加，投资于（
31、即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例上升）风险资产相对于财富的比例上升）。v财富弹性：随着财富的增加，投资于风险资产财富弹性：随着财富的增加，投资于风险资产的比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）的比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）。3/12/202343 究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型？q普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映了大多数投资者的投资行为。反映了大多数投资者的投资行为。o但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，
32、但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为数人投资者的行为.3/12/202344下面的效用函数通常被用来在金融学中解释前面所讨论的风险厌恶的性质。q凹的二次效用函数q这个二次函数显示了递增（递减，不变）的绝对风险厌恶？（四）常用风险厌恶型的效用函数3/12/202345q负指数效用函数 是递增绝对风险厌恶函数吗？q广义幂效用函数q判断广义幂函数表示的是递增还是递减的绝对与相对风险厌恶？3/12/202346o狭义幂效用函数如下所示：判断绝对风险厌恶系数与相对风险厌恶系数的情况。p对数效用函数:u(z)=lnz
33、3/12/202347五、预期效用函数与均方偏好的关系五、预期效用函数与均方偏好的关系（一）金融决策的核心问题是什么？（一）金融决策的核心问题是什么？不确定条件下收益与风险的权衡不确定条件下收益与风险的权衡 tradeoff between risk and return。p投资组合理论的基本思想：投资组合是一个风险与投资组合理论的基本思想：投资组合是一个风险与收益的收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。的投资来对冲掉一部分风险。“nothing ventured,nothing gained”for a given level
34、 of return to minimize the risk,and for a given level of risk level to maximize the return“Dont put all eggs into one basket”3/12/202348o马科维兹于马科维兹于1952年提出的年提出的“均值方差组合模型均值方差组合模型”是是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界边界(Efficient Frontier)，即一定收
35、益率水平下方即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边界上选差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，欲使投择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外，资组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。因此，马科维兹的还应挑选相关系数较低的股票。因此，马科维兹的“均值方差组合模型均值方差组合模型”不只隐含将资金分散投资于不不只隐含将资金分散投资于不同种类的股票，还隐含应将资金投资于不同产业的股同种类的股票，还隐含应将资金投资于不同产业的股票。同时马科维兹均值
36、方差模型也是提供确定有效票。同时马科维兹均值方差模型也是提供确定有效边界的技术路径的一个规范性数理模型。边界的技术路径的一个规范性数理模型。3/12/202349v实现方法：实现方法：q收益收益证券组合的期望报酬证券组合的期望报酬q风险风险证券组合的方差证券组合的方差q风险和收益的权衡风险和收益的权衡求解二次规划求解二次规划 3/12/202350均方模型的假设条件：均方模型的假设条件：1.1.单期投资单期投资 单单期期投投资资是是指指投投资资者者在在期期初初投投资资，在在期期末末获获得得回回报报。单单期期模模型型是是对对现现实实的的一一种种近近似似描描述述，如如对对零零息息债债券券、欧欧式式
37、期期权权等等的的投投资资。虽虽然然许许多多问问题题不不是是单单期期模模型型，但但作作为为一一种种简简化化，对对单单期期模模型型的的分分析析成成为为我我们们对对多多时时期期模模型型分分析析的基础。的基础。2.2.投资者事先知道投资收益率的概率分布，并投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。且收益率满足正态分布的条件。（二）预期效用函数与均方偏好的关系（二）预期效用函数与均方偏好的关系3/12/2023513.3.资者的效用函数是二次的，即资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CWu(W)=a+bW+CW2 2。（注意：假设注意：假设2 2和和3 3成立可保证期望
38、效用仅仅是财富期成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数）望和方差的函数）4 4、投投资资者者以以期期望望收收益益率率（亦亦称称收收益益率率均均值值）来来衡衡量量未未来来实实际际收收益益率率的的总总体体水水平平，以以收收益益率率的的方方差差（或或标标准准差差）来来衡衡量量收收益益率率的的不不确确定定性性（风风险险），因因而而投投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。5 5、投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，、投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；即：在同一风险水平下，选择收益率较高
39、的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。3/12/202352oM-V模型以资产回报的均值和方差作为选择模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报和方差不能对象，但是一般而言，资产回报和方差不能完全包含个体做选择时的所有个人期望效用完全包含个体做选择时的所有个人期望效用函数信息。函数信息。o在什么条件下，期望效用分析和均值方差分在什么条件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？析是一致的？3/12/202353假设假设2或假设或假设3之一成立可保证期望效用仅仅是之一成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数财富期望和方差的函
40、数 假设个体的初始财富为假设个体的初始财富为W0，个体通过投资个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富各种金融资产来最大化他的期末财富.设个设个体的体的VNM效用函数为效用函数为u，在期末财富的期望在期末财富的期望值这点，对效用函数进行值这点，对效用函数进行Taylor展开。展开。3/12/202354o上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果财富的高阶矩为财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅的期望和方差来表示，则
41、期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。仅是财富的期望和方差的函数。3/12/202355p定理定理1 如果如果 则期望效用仅仅是财富的期望和方差的函则期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数数p定理定理2 如果期望财富服从正态分布，则期如果期望财富服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。数。3/12/202356o 由假设条件得出的结论：均值由假设条件得出的结论：均值-方差模型不方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有
42、数理分析的简易性和丰富的实证检验。数理分析的简易性和丰富的实证检验。3/12/202357六、证券组合前沿的推导和性质六、证券组合前沿的推导和性质1、用二次规划得出用二次规划得出N种证券的组合前沿种证券的组合前沿o假定市场上有N2种风险资产，允许卖空，期望收益率为 ej，j=1,n.权重为wj.o假设任一资产的收益率不能由其他资产的收益假设任一资产的收益率不能由其他资产的收益率线性表出，方差率线性表出，方差-协方矩阵协方矩阵V满足满足对称对称非奇异非奇异正定的正定的3/12/202358o定义定义:称一个证券组合称一个证券组合 是前沿证券组合是前沿证券组合(a frontier portfol
43、io),如果它在所有等如果它在所有等均值收益率的证券组合中具有最小方差值。均值收益率的证券组合中具有最小方差值。o用数学语言描述为：用数学语言描述为：P是一个前沿证券组是一个前沿证券组合当且仅当它的证券组合权重合当且仅当它的证券组合权重 是下是下列二次规划问题的解列二次规划问题的解:3/12/202359p求解结果：求解结果：p任任何何前前沿沿资资产产组组合合都都可可用用上上式式表表示示,另另一一方方面面,任任何何可可用用上上式式表表示示的的资资产产组组合合都都是是前前沿边界的资产组合沿边界的资产组合.3/12/2023602、求解结果分析：证券组合前沿的基本性质、求解结果分析：证券组合前沿的
44、基本性质对于对于o命题命题1：g是具有是具有0期望收益率的前沿边界资期望收益率的前沿边界资产组合相应的权重向量。产组合相应的权重向量。g+h是期望收益率是期望收益率为为1的前沿边界资产权重向量。的前沿边界资产权重向量。o命题命题2：整个资产组合的前沿边界可以由整个资产组合的前沿边界可以由g和和g+h这两个前沿边界的资产组合生成。这两个前沿边界的资产组合生成。o命题命题3：由命题由命题2得出得出:资产组合前沿边界可资产组合前沿边界可以由任意两个相异的前沿边界资产组合生成。以由任意两个相异的前沿边界资产组合生成。3/12/2023613、在均方平面中、在均方平面中 证券组合前沿的几何结构证券组合前
45、沿的几何结构o任何两个前沿边界资产组合任何两个前沿边界资产组合p和和q的收益率的收益率协方差为：协方差为：o对于任意前沿组合的资产收益率的标准差对于任意前沿组合的资产收益率的标准差与期望收益率之间的关系：与期望收益率之间的关系：3/12/202362o由由以上等式整理得到：在均方平面上这个等以上等式整理得到：在均方平面上这个等式是以（式是以（0，A/C)为中心，以为中心，以 为渐进线的双曲线。为渐进线的双曲线。o等价地，证券组合前沿也是一条抛物线。等价地，证券组合前沿也是一条抛物线。3/12/202363 MVPA/C3/12/202364o再在证券组合前沿中定义什么是有效资产组合？再在证券组
46、合前沿中定义什么是有效资产组合？期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率A/C的前沿边界资产组合称为有效资产组合。的前沿边界资产组合称为有效资产组合。o什么是非有效资产组合？什么是非有效资产组合？位于资产组合前沿边界或边界围成的区域内，既不位于资产组合前沿边界或边界围成的区域内，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的资产是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的资产组合称为非有效资产组合。组合称为非有效资产组合。o对于每一个非有效资产组合，存在一个具有相同方对于每一个非有效资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。差但更高期望收益
47、率的有效资产组合。3/12/2023654、组合前沿的数学性质o性质性质1 最小方差组合最小方差组合mvp，与任何资产组合与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差是等于最小方差资产组合的收益率的方差,即即o性质性质2 任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。组合，有效组合的集合因此是一个凸集。3/12/202366o性质性质3 资产组合边界的一个重要性质是，对资产
48、组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产于前沿边界上的任何资产p，除了最小方差资除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用用zc(p)表示，与表示，与p的协方差为的协方差为0。o性质性质4 最小方差资产组合与任何其他前沿边最小方差资产组合与任何其他前沿边界资产组合的协方差为界资产组合的协方差为1/C.从而不存在与最从而不存在与最小方差资产组合具有小方差资产组合具有0协方差的前沿边界资产协方差的前沿边界资产组合组合 3/12/202367o性质性质5 如果如果p是有效资产组合，则是有效资产组合，则 这样这样的的zc(p)是一个非有效的资产组合。是一个非有效的资产组合。o在标准差-期望收益率空间中，经过与任何前沿边界资产组合（除最小方差资产组合）相对应的点，与资产组合前沿边界相切的直线在期望收益率坐标轴上的截矩是 。相应的，在方差-期望收益率空间中，连接任何前沿边界资产组合p和mvp的直线在期望收益率坐标轴上的截矩等于3/12/202368