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1、主讲人：主讲人：主讲人：主讲人：徐泽林徐泽林徐泽林徐泽林天津师范大学数学科学学院天津师范大学数学科学学院http:/59.67.71.237:8080/006/index.htmzelinxuS第七章第七章 分析时代分析时代 在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。7.1 7.1 微积分的发展微积分的发展7.1.1 7.1.1 积分技术与椭圆积分积分技术与椭圆积分 7.1.2 7.1.2 微积分向多元函数的
2、推广微积分向多元函数的推广 7.1.3 7.1.3 无穷级数理论无穷级数理论 7.1.4 7.1.4 函数概念的深化函数概念的深化7.1.5 7.1.5 微积分严格化的尝试微积分严格化的尝试 7.2 7.2 微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成7.2.1 7.2.1 常微分方程常微分方程 7.2.2 7.2.2 偏微分方程偏微分方程7.2.3 7.2.3 变分法变分法 7.3 7.3 1818世纪的几何与代数世纪的几何与代数7.3.1 7.3.1 微分几何的形成微分几何的形成 7.3.2 7.3.2 方程论及其他方程论及其他7.3.3 7.3.3 数论的进展数论的进展 7.1
3、微积分的发展微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。泰勒在自己的正的和反的增量方法中，陈述了他早在1712年就已获得的那个著名定理:Brook TaylorColin Maclaurin其中v为独立变量 z 的增量，和 为流数。泰勒假定随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在零
4、点的特殊情况后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力维护者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了大不列颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来。推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布伯努利和约翰伯努利两兄弟担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进
5、步应归于欧拉。他于1748年出版的无限小分析引论以及随后发表的微分学和积分学是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。Jacob Bernoulli 1654-1705Johann Bernoulli 1667-1748这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了重要作用。此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。18世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的无限小分析引论以及随后发表的微分学和积分学是微积分史上里程碑式
6、的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，如：对分析表述的规范化起了重要作用。欧拉还创设了许多数学符号，例如（1736年），sin和cos（1748年），tg（1753年），x（1755年）等Leonhard Euler e i 欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直
7、到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清他对数学分析的贡献更独具匠心，无穷小分析引论一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为分析学的化身 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院
8、为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”欧拉的父亲保罗欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎
9、科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了 1725年约翰伯努利的儿子丹尼尔伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失
10、明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A欧拉（数学家和物理学家）笔录欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成有一个例子
11、足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来.欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉他晚年的时候，欧洲所
12、有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：欧拉是我们的导师 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：我死了，欧拉终于停止了生命和计算 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的 欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、
13、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数(n)，用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。Alexis Clairaut 1713-1765Jean Le Rond dAlembert 1717-1783 此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。Joseph-Louis Lagrange 1736-1813Gaspard
14、 Monge 1746-1818Adrien-Marie Legendre 1752-1833Pierre-Simon Laplace 1749-1827 18世纪这些数学家虽然不象牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反也许会变得荒芜凋零。我们不可能逐一介绍18世纪的数学家和他们的工作，以下概要论述这一时期微积分深入发展的几个方面。18世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这
15、方面，积分技术的推进尤为明显。约翰伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们正在打开一片新天地。因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示，例如雅可布伯努利在求双纽线（极坐标下方程为r 2=a2cos2）弧长时，得到弧长积分：7.1.1 7.1.1 积分技术与椭圆积分积分技术与椭圆积分在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分：欧拉在1744年处理弹性问题也得到积分：所以这些积分都属于后来所谓的“椭圆积分”范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等
16、超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是：（其中P(x)是x 的有理函数，R(x)则是一般的四次多项式）勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。在18世纪，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等都为特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。而对椭圆函数的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数论。Guillaume De lHpital虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。1720年，尼古拉伯努利证明了二元函数在一定条件下，对两个自变量
17、求偏导数的结果与求导顺序无关。即相当于：Nicolaus(II)Bernoulli 1687-17597.1.2 7.1.2 微积分向多元函数的推广微积分向多元函数的推广 欧拉在1734年的一篇文章中证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。达朗贝尔在1743年的著作动力学和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号 d 表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号到19世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐渐普及，虽然拉格朗日在1786年曾建议使用这一符号。牛顿关于多重积分的几何论述，也在18世纪被以分析的形式推广。1748年
18、，欧拉用累次积分算出椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。，积分区域由椭圆 围成。微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。由于泰勒级数提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。雅各布伯努利在1689-1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下面积和曲线长等方面的应
19、用。这些构成了雅各布伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中最具启发性的工作是其关于调和级数之和为无穷的证明。7.1.3 7.1.3 无穷级数理论无穷级数理论James Gregory 这就意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：它相当于 。利用它可以作 n!的近似计算。当 n 很大时，称之为斯特林公式，虽然这一极限情形是由棣莫弗得到的。上述斯特林级数系数中出现的
20、B1、B4、B6、B2n、叫做贝努利数。关于无穷级数敛散性的研究也开始得到了数学家们的注意。他首先指出了，故有 18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。这一转折归功于欧拉，欧拉在无限小分析引论中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。首先使用“函数”这一术语的是莱布尼兹。最先将函数概念公式化的是约翰伯努利。欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，大大丰富了函数概念的本质。欧拉明确区分了代数函数与超越函数，还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数等。通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被
21、纳入了函数的范畴，如椭圆函数、-函数和-函数：它们对于函数概念的拓广有很大影响。7.1.4 7.1.4 函数概念的深化函数概念的深化 此外，受积分计算的激发，已有的初等函数还被推广到了复数领域。1748年，欧拉再次发现著名的“棣莫弗公式”:(cosi sin)n=cosni sinn.它不仅使人们能正确回答什么是复数的对数，更重要的是揭示了三角函数、指数函数和对数函数之间的深刻联系而形成了初等函数的统一理论。Abraham de Moivre第二次数学危机!无穷小:它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！7.1.5 7.1.5 微积分严格化的尝试微积分严格化的尝试微积
22、分的起源微积分的起源运动微分:速度、切线、极值积分:距离、面积、体积芝诺悖论芝诺悖论:飞矢不动飞矢不动运动是不存在的运动是不存在的时刻t瞬时速度瞬时速度自由落体:牛顿牛顿IsaacNewton(1642-IsaacNewton(1642-1727)1727)贝克莱主教贝克莱主教BishopGeorgeBerkeley(1685-1753)BishopGeorgeBerkeley(1685-1753)分析学者分析学者,或致一个不信邪的数学家，或致一个不信邪的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清否比起宗教的神秘与信条，构思更
23、为清楚，或推理更为明晰楚，或推理更为明晰最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱（G.Berkeley,1685-1753），伯克莱在1734年担任克罗因(今爱尔兰境内)主教，同年发表一本小册子分析学家，或致一位不信神的数学家,副标题中“不信神的数学家”是指帮助牛顿出版原理的天文学家哈雷（E.Halley）.伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。他集中攻击了牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂xn 的流数，牛顿假设x有一个增量o，并以它去除xn 的增量，得 贝克莱贝克莱贝克莱贝克莱:它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也它
24、们既不是有限量，也不是无穷小量，但也它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！不是无。难道它们是量的幽灵！不是无。难道它们是量的幽灵！不是无。难道它们是量的幽灵！然后又让o“消失”，得到xn 的流数nxn-1,伯克莱指出这里关于增量o 的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。1695年荷兰数学家纽文蒂（B.Nieuwentyjt）在其著作无限小分析中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”。无穷级数无穷级数微分与积分:无穷级数的形式微积分的应用牛顿求积分:二项式定理无穷级数无穷级数(x=-2)(x=1)危机的加剧人
25、们总是热衷于扩大人们总是热衷于扩大人们总是热衷于扩大数学的范畴，却很少阐数学的范畴，却很少阐数学的范畴，却很少阐明其来源，注重向高层明其来源，注重向高层明其来源，注重向高层次发展，而很少考虑加次发展，而很少考虑加次发展，而很少考虑加固它的基础。固它的基础。固它的基础。(1743)(1743)(1743)达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔在他为科学，艺术和工艺百科全书撰写的“微分”等条目中，讨论了他所谓的“微分演算的形而上学”，即微积分的基础。他在这里发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念代替了含糊的“最初比”“最末比”。达朗贝尔是这样定义的：如果量Y可任意逼近X，就是说Y与X 之间的差可任意小，则称量Y的
26、极限为X。证明的严密性函数概念的模糊无穷级数的发散1800年前后:庞大的分析学陷入困境 什么是连续？罗尔罗尔(法国法国,Michel Rolle,16521719)微积分只是一些精巧的谬误的集合微积分只是一些精巧的谬误的集合克莱洛克莱洛（法国）（法国）Alexis-Alexis-ClaideClaideClairaut(17131765)Clairaut(17131765)欧几里得自找麻烦地去证明是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者，而这些人是以拒绝最明显的真理而自豪的。因此，象逻辑那样，集合必须依赖形式推理去反驳他们。但是，一切都倒了个个，所有那些涉及到常识且早已熟知的
27、事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了。西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特（英国）（英国）（英国）（英国）James Sylvester(18141897)James Sylvester(18141897)我还没有证明这个结果，但是，我能像肯定任何必然事物一样肯定它。在这个基础上，我们证明对不起，上节课假对不起，上节课假定的结果错了。让我定的结果错了。让我们重新假设们重新假设雅可比雅可比雅可比雅可比（德国）（德国）（德国）（德国）JakobJakob Jacobi(18041851)Jacobi(18041851)要达到像高斯那样的严密，我们没有时间！高斯(18
28、12年):无穷级数的收敛性严密性使数学家们丧失了兴趣 数学危机-无穷小是什么？分析学需要严格化!18世纪的数学家们一方面努力探索完善牛顿和莱布尼兹微积分的途径；另一方面又往往不顾基础问题的含混而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围。尤其是与力学的有机结合，已成为18世纪数学的特征之一。当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家。欧拉的名字同刚体运动和流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最负盛名的著作是分析力学；拉普拉斯许多最重要的数学成果包含在他的五大卷天体力学中。分析学的广泛应用成为新思想的源泉，一系列新的数学分支在18世纪很快成长壮大起来。7.2 7.2 微积分的应用与新分支的形成微积分的
29、应用与新分支的形成常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题引出了一系列常微分方程。比较有名的如悬链线方程、等时曲线方程、正交轨线方程等。在经过一段对特殊技巧的探索之后，数学家们逐渐开始寻找适合这些方程的普遍解法。经达莱布尼兹、欧拉和克莱洛的有关工作，到1740年左右，几乎所有求解一阶方程的初等方法都已知道。在常微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程是“黎卡提方程”：.黎卡提基于变量替换的降阶法后来成为处理高阶方程的主要手段.1728年，欧拉引进了著名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶,这是二阶常微分方程系统研究的开始
30、。1743年，欧拉关于n阶常系数线性齐次方程的完整解法：对于n阶常系数方程：欧拉利用指数代换（q为常数）得到所谓特征方程:7.2.1 7.2.1 常微分方程常微分方程 当q是该方程的一个实单根时，则 是原微分方程的一个特解。当q 是特征方程的k重根时，欧拉用代换,求得为包含k 个任意常数的解。欧拉指出：n阶方程的通解是其n个特解的线性组合。他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家。这种完整解法实现了高阶常微分方程求解的重要突破。18世纪常微分方程求解的最高成就是，拉格朗日在1774-1775年间用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程。由解决一些具体物理问题而发展起来的常微分方程，在
31、18世纪，已经成为有自己的目标与方法的新数学分支。微积分在弦振动等力学问题中的应用则引导出另一门新的数学分支：偏微分方程。一般将达朗贝尔1747年发表的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究看作为偏微分方程论的发端。该文明确推导出弦振动所满足的偏微分方程:7.2.2 7.2.2 偏微分方程偏微分方程1753年，丹尼尔丹尼尔伯努利伯努利也发表了他的弦振动问题新思考，他假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数，从而弦振动问题所有可能的解都是正弦周期模式的迭加：,并给出了形如 的通解。欧拉、拉格朗日等在研究鼓膜振动与声音传播时还导出了二维和三维波动方程。18世纪获得的另一类重要的偏微分方程是位势方程。拉普
32、拉斯拉普拉斯在1785年发表的论文球状物体的引力理论与行星形状中，引进了与引力分量具有偏导数关系的标量函数V，它与引力分量Fx、Fx、Fx之间有关系：，并在球坐标下推导了该标量函数V 满足的方程。稍后在1787年，他又给出了该方程的直角坐标形式:,也就是所谓的“位势方程”，现在通常也称为“拉普拉斯方程”。拉普拉斯还用球调和函数解出了位势方程。位势理论主要是经拉普拉斯的工作才引起普遍关注，并由格林、高斯等发展为数学物理的重要部分。7.2.3 7.2.3 变分法变分法18世纪新的数学分支中，变分法的诞生最富有戏剧性。它缘起于“最速降线”和其他一些类似的问题。最速降线最速降线本是一个由约翰伯努利提出
33、来以向其他数学家挑战的问题，牛顿、莱布尼兹、洛必达、雅各布伯努利以及约翰伯努利本人都曾给出正确解答。该问题实际相当于求一个未定积分式的最小值。用现代符号表示，最速降线问题相当于求函数 y(x),使表示质点从A(x1，y1)到B(x2，y2)下降时间的积分:取最小值，其中g 是重力加速度,是与初始坐标及速度有关的常数=(y1v1/2g2)。重要的是，牛顿和雅各布伯努利等人所给出的结论，揭示了该问题区别于普通极值问题的特征。因此他们的工作与同时期出现的等周问题、测地线问题等一道成为变分法诞生的标志。变分法处理的是一个全新的课题：求变量 的极大或极小值，这个变量（积分）与通常函数有本质区别，即它的极
34、值依赖于未知函数而不是未知实数.欧拉对于变分问题给出了一般的处理.1744年他借助一个二阶常微分方程：给出了变分问题的解应满足的必要条件，这就是后来所谓的“欧拉方程欧拉方程”，至今仍为变分法的基本方程。欧拉的工作为变分法这门新学科奠定了独立的基础。A(x1，y1)B(x2，y2)欧拉的变分法在许多地方还依赖于几何论证。变分法的另一位奠基人拉格朗日则在纯分析的基础上建立变分法。他在1760年首创了函数的变分概念，给出了专门的记号，并导出了与欧拉方程一致的必要条件。拉格朗日还第一次成功地处理了端点变动的极值曲线问题及重积分情形。1770年以后又研究了被积函数中含有高阶导数的变分问题，这些后来都成为
35、变分法的标准内容。拉格朗日拉格朗日的工作使由最速降线等特殊问题发展起来的变分法名符其实地成为分析的一个独立分支。在18世纪，微分方程、变分法等新分支与微积分本身一起，形成了被称之为“分析”的广大领域，与代数、几何并列为数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。18世纪数学家们不仅大大开拓了分析的疆域，而且赋予它与几何相对的意义，他们力图用纯分析的手法以摆脱几何论证的束缚，这种倾向成为18世纪数学的又一大特征。分析的光芒使18世纪综合几何的发展暗然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支，即微分几何，从而改变了18世纪几何学的面貌。“代数”在18世纪数学家心目中
36、则是“分析”的同义语，他们将分析看作是代数的延伸。在这种情况下，18世纪的代数学为下个世纪的革命性发展做出了必要准备。7.3 7.3 1818世纪的几何与代数世纪的几何与代数7.3.1 7.3.1 微分几何的形成微分几何的形成微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。1731年法国数学家克莱洛发表了关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在无限小分析引论
37、第2卷中则引进了曲线的参数表示：x=x(s),y=y(s),z=z(s),欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率,并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化（另一个曲率,现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得到）。欧拉关于曲面论的经典工作关于曲面上曲线的研究（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中将曲面表示为z=f(x,y),并引进了相当于的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式（其中是主曲率，是一法截面与主曲率所在法截面的交角
38、）。1771年以后，欧拉还率先对可展曲面理论进行了研究，导出了曲面可展性的充分必要条件。18世纪微分几何的发展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年发表的关于分析的几何应用的活页论文是第一部系统的微分几何著述。他将空间曲线与曲面理论与微分方程紧密结合，在曲面簇、可展曲面及直纹面研究方面获得了大量深刻的结果。与大多数学数学家不同的是，蒙日不仅将分析应用于几何，同时也反过来用几何去解释微分方程，从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具：特征曲线与特征锥（现称“蒙日锥”）等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念。18世纪代数学的主题仍然是代数方程。在这个
39、世纪的最后一年，年青的高斯在他的博士论文中公布了代数基本定理的第一个实质性证明。高斯的这一成果可以看作是18世纪方程论的一个漂亮的总结。代数基本定理断言n次代数方程恰有n个根。它最早是由荷兰数学家吉拉尔于1629年提出，后经笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈述、应用，但均未给出证明。高斯的思想具有深刻的意义，因为其证明是纯粹存在性的。在此之前，几乎所有的数学家都习惯于通过实际构造来证明问题解的存在。相对于代数基本定理而言，高次方程根式可解性问题显得并不怎么幸运。尽管未能在18世纪奏响解决的凯歌,但这个世纪的数学家们还是为此做出了历史性贡献，其中以拉格朗日的工作最为重要。他在1770年的一篇长文中探讨
40、了一般三、四次方程能根式求解的原因，并猜测高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜测被意大利的鲁菲尼所证实。可以说，他们已经走到了成功的边缘，虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。方程组理论也是颇受关注的代数方程问题。首先是线性方程组与行列式理论。瑞士数学家克拉姆在其代数曲线分析引论（1750）中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，即“克拉姆法则”。行列式理论在1772年被法国数学家范德蒙德系统化，自此成为独立的数学对象。范德蒙德用二阶子行列式及其余子式来展开行列式的法则，后来被拉普拉斯推广到一般情形而称为“拉普拉斯展开”。7.3.2 7.3.2
41、 方程论及其他方程论及其他与方程论相联系的是人们对数的认识。18世纪的数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图。虽然在接受负数与复数方面还存有疑虑与争议，但在弄清复数的意义方面却也有些功绩。随着微积分的发展，复数几乎进入了所有的初等函数领域，并且在应用上卓有成效。达朗贝尔在1747年关于一切复数均可以表示成形式a+b i的断言开始被多数人接受。1797年，丹麦数学家韦塞尔创造了复数的几何表示，并发展了复数的运算法则。等到1806年瑞士人阿尔冈、1831年高斯各自独立发表了关于复数几何表示的研究之后，笼罩着虚数的疑云终于被驱散开来。18世纪数学家在澄清无理数逻辑基础方面没有进展，但他们以相
42、对平静的态度接受了一些数的无理性。欧拉在1737年证明了e是无理数。他的证明以连分数为基础，他得到 e 的连分数展开：因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一个有限的连分数，所以e必定是无理数。1761年，兰伯特用类似方法证明了圆周率是无理数。稍后勒让德甚至猜测说可能不是任何有理系数方程的根。这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数。1844年，法国数学家刘维尔第一次真正地显示了超越数的存在，他证明了形如 的数（a1,a2,a3,为从0到9的任意整数）都是超越数。1873年和1882年，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又分别证明了e和的超越性。虽虽然古希腊、中国与印度的数学著作中早就给出
43、了不少问题和结果，但近代意义上的数论研究还得从费马开始。费马提出了大量定理或猜想，让全世界的数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题。(1)费马小定理：如果p是素数，a与p互素，则ap-a可以被p 整除。1640年10月18日,费马给德贝西（B.FrenicledeBessy）的信中提出。(2)费马大定理：对于任意大于2的自然数n，方程xn+yn=zn 没有整数解。费马阅读巴歇（C.-G.Bachet）校订的丢番图算术时的批注。1670年费马及其子萨缪尔（Samuel）的批注连同巴歇校订的算术再版，此问题公诸于世。(3)平方数问题：I）每个4n+1形的素数和它的平方都只能以
44、一种方式表示为两个平方数之和；每个4n+1形的素数的三次方和它的四次方都只能以两种方式；其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷。如n=1时，5=22+12，52=32+42，53=22+112=52+102，等等；II）每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和。(4)费马数：形如Fn=22+1（n=0,1,2,3,）的数永远是素数.1640年，费马给梅森的信中提出。(5)佩尔方程的解：当A是正数而非完全平方数时，佩尔（J.Pell,1611-1685）方程x2-Ay2=1有无穷个整数解。1657年2月,费马给德贝西（B.FrenicledeBessy）的信中提出。18世纪的数论尤
45、其受到了费马思想的主宰，该时期得到的许多结果，都与证明费马提出的这些猜想有关。7.3.3 7.3.3 数论的进展数论的进展n1732年，欧拉推翻了费马关于费马数的结论，证明n=5时，Fn=22+1不是素数，它有一个因子641。今天我们知道，对于n=516，Fn都是合数。还存在其他的n使Fn是合数。1736年，欧拉证明了费马小定理是正确的。1753年，欧拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布证明了n=3时的费马大定理。其证明使用了一种称为“无限下降法”技巧。该技巧实际也是费马的发明。他曾使用这种方法证明了如下定理：边长为整数的直角三角形其面积不可能是整数的平方。
46、这也是费马惟一写出了证明过程的定理。证明大意是：令x,y,z为直角三角形的边长，z 是斜边，则有x2+y2=z2,设三角形面积为 u2,u是整数，三角形面积应为u2=xy/2.依靠一套巧妙的推理,费马导出了另一组正整数 X1,Y1,Z1和U1 ,因为X1,Y1,Z1和x,y,z有同样性质，故根据同样推理可导出另一组正整数X2,Y2,Z2,U2,使得5且有Z2Z1.且有Z11,n 取遍所有的正整数，p取遍所有素数。从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说：“在我
47、看来似乎（数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它，科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。当然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年写道：“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点，我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途的第一步！”思考题：1、简述无限小算法推广的两条路线及其成果。2、查阅欧拉的传记，概述其主要数学贡献。3、叙述积分技术、椭圆积分、多元函数微积分、无穷级数理论、函数概念的深化、微积分严格化的尝试等问题，在十八世纪的发展状况。4、18世纪微积分应用的发展特点，新分支形成过程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法等是什么？5、概述18世纪微分几何、代数学、数论的发展情况。谢谢！