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1、2.2.2用样本的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征 善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路!主备主备人：王朝远人：王朝远 张洪华张洪华 审审核人：牟必继核人：牟必继【复习引入复习引入】1、频率分布直方图、频率分布直方图2、频率分布折线图、频率分布折线图3、总体密度曲线、总体密度曲线4、茎叶图、茎叶图 我们学习了用图、表来组织数据，以及通过我们学习了用图、表来组织数据，以及通过图、表提供的的信息，用图、表提供的的信息，用样本的频率分布样
2、本的频率分布估计估计总总体的分布体的分布.为了更好的把握总体的规律，还需要为了更好的把握总体的规律，还需要通过通过样本的数据样本的数据对对总体的数字特征总体的数字特征进行研究。进行研究。探究探究1：某学校高一甲班和高一乙班各有某学校高一甲班和高一乙班各有49名学生，两班名学生，两班 在一次数学测试中的成绩统计如下：在一次数学测试中的成绩统计如下：班级班级平均分平均分众数众数中位数中位数标准差标准差甲班甲班79708719.8乙班乙班7970795.2【探究新知探究新知】（1）请你对下面的一段话给予简要分析：）请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚对妈妈说：甲班的小刚对妈妈说：“昨天的数学测
3、验，全班平均分昨天的数学测验，全班平均分79 分，得分，得70分的人最多，我得了分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！分，在班里算是上游了！”（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要 分析，并提出建议分析，并提出建议解解：（：（1）甲班甲班49名学生数学成绩的中位数是名学生数学成绩的中位数是87，则，则85分排在全分排在全班第班第25名之后，从位次上看应该属于中游但也不能以位次来判名之后，从位次上看应该属于中游但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握较分，说明他
4、对这段的学习内容掌握较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游；好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游；（2）甲班成绩的中位数是）甲班成绩的中位数是87分，说明高于分，说明高于87分的人数占一半以分的人数占一半以上，而平均分为上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助严重，建议加强对学习困难的学生的帮助 乙班的中位数和平均数都是乙班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学生优异的也少，建议采取间差别较小，学习很差的学生少，但学生
5、优异的也少，建议采取措施提高优秀率措施提高优秀率班级班级平均分平均分众数众数中位数中位数标准差标准差甲班甲班79708719.8乙班乙班7970795.2名称名称定义定义特征特征众数众数一组数据中出现一组数据中出现次数最多的数次数最多的数（1）反映了数据的集中趋势；）反映了数据的集中趋势；（2）只能表达样本数据很少的一部分信）只能表达样本数据很少的一部分信 息，无法客观反映总体特征息，无法客观反映总体特征中位数中位数一组数据按大小依次一组数据按大小依次排列，中间位置的一排列，中间位置的一个数（或中间两个数个数（或中间两个数的平均数）的平均数）（1）反映了数据的集中趋势；）反映了数据的集中趋势；
6、（2）不受少数极端值的影响，但对极端）不受少数极端值的影响，但对极端 值不敏感值不敏感平均数平均数一组数据的和与这组一组数据的和与这组数据的个数的商数据的个数的商（1）反映了数据的平均水平；）反映了数据的平均水平；（2）反映出更多的关于样本数据全体的）反映出更多的关于样本数据全体的 信息；信息；（3）受少端值的影响较大，任何一个数）受少端值的影响较大，任何一个数 据的改变都会引起平均数的改变据的改变都会引起平均数的改变1、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数练习：练习：平均数平均数中位数中位数众数众数他们分别是多少？他们分别是多少？月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.3
7、0.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O探究探究2：下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图，直方图，如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？平均数？月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O 取最高矩形取最高矩形中点的横坐标中点的横坐标2.25作为众数作为众数.（1）你认为众数应在哪个小矩形内？）你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？由此估计总体的众数是什么？（2）
8、直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是）直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是:0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此 估计总体的中位数是什么？估计总体的中位数是什么？0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.010.5=0.02，中位数是中位数是2.02.月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O（3）平均数是频率分布直方图的）平均数是频率分布直
9、方图的“重心重心”，由此估计总体平均数为多少？由此估计总体平均数为多少？月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O平均数的估值平均数的估值 =频率分布直方图中频率分布直方图中每个每个小矩形的面积小矩形的面积 乘以乘以小矩形底边中点的横坐标小矩形底边中点的横坐标之和之和 0.250.04+0.750.08+1.250.15+1.750.22+2.250.25+2.750.14+3.250.06+3.750.04+4.250.02=2.02（t）.（4）从居民月均用水量样本数据可知，该样本）从居民月均用水量样本数
10、据可知，该样本 的众数是的众数是2.3，中位数是，中位数是2.0，平均数是，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分布直方图得，这与我们从样本频率分布直方图得 出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关.因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、
11、中位数和平均数，并由可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征此估计总体特征.归纳归纳比较：三种数字特征的优缺点比较：三种数字特征的优缺点 1.众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如如上例中众数是上例中众数是2.25t,它告诉我们它告诉我们,月均用水量为月均用水量为2.25t的的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并但它并没有告诉我们多多少。没有告诉我们多多少。2.中位数是样本数据所占频率的等分线，它中位
12、数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为如上例中假设有某一用户月均用水量为10t，那么，那么它所占频率为它所占频率为0.01,几乎不影响中位数几乎不影响中位数,但显然这一但显然这一极端值是不能忽视的。极端值是不能忽视的。3.由于平均数与每一个样本的数据有关，所由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都
13、不具有的性质。也正因变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。时可靠性降低。探究探究3：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击射击10次，每次命中的环数如下：次，每次命中的环数如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，
14、你如何对这次射击作出评价如果你是教练，你如何对这次射击作出评价?【探究新知探究新知】两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗什么差异吗?作出两人成绩的频率分布条形图，可以看出作出两人成绩的频率分布条形图，可以看出还是有差异的还是有差异的环数环数频率频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（甲）（甲）环数环数频率频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（乙）（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定相对集中，比较稳定.甲的环数极差甲的
15、环数极差=10-4=6，乙的环数极差，乙的环数极差=9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略的统计策略.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据据.例如例如:在作统计图表时提到过的在作统计图表时提到过的极差极差.考
16、察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是是标准差标准差标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用离，一般用S表示表示 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算常改用如下公式来计算标准差标准差所谓所谓“平均距离平均距离”，其含义可作如下理解：，其含义可作如下理解：3、标准差与方差、标准差与方差 假设样本数据假设样本数据x1，x2，xn的平均数为的平均数为 ，则标准差的计算公式是：则标准差的计算公式是：（1）标准差：）标准差：（2）方差）方差用来描
17、述样本数据的离散程度用来描述样本数据的离散程度.方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差 特别的特别的，一个容量为，一个容量为2的样本：的样本：x1，x2(x1S乙甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。标准差的取值范围是标准差的取值范围是标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围；S=0，标准差为，标准差为0的样本数据都相等的样本数据都相等.例例1(P76)、画出下列四组样本数据的条形图，、画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点。说明它们的异同
18、点。（1）（2）（3）（4）（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8。例例2(p77)、甲乙两人同时生产内径为、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：件，量得其内径尺寸如下（单位：mm)甲甲乙乙从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？25.46 25.32
19、25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48品种品种第一年第一年 第二年第二年 第三年第三年 第四年第四年 第五年第五年 第六年第六年甲甲900920900850910920乙乙8909609508508
20、60890解解:依题意计算可得依题意计算可得 x1=900 x2=900 s123.8 s2 42.6甲乙两种水稻甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同年平均产量的平均数相同,但甲但甲的标准差比乙的小的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定所以甲的生产比较稳定.练练1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续中连续6年的年平均产量如下（单位：年的年平均产量如下（单位：500g）：）：那种水稻的产量比较稳定？那种水稻的产量比较稳定？若平均数相差不大或则相等，则需比较标准差，若平均数相差很大，则可以不计算标准差练习：练习：（1）校园歌手大赛中，七位
21、裁判为一选手打出的分数如下：）校园歌手大赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差 分别为（分别为（）A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8B（3）若样本）若样本1+X1，1+X2，1+X3，1+Xn的平均数是的平均数是10，方差为方差为2，则对于样本，则对于样本2+X1，2+X2，2+Xn，下，下 列结论正确的是（列结论正确的是（）A.平均数为平均数为10，方差为，方差为2 B.平均数为平均数为11，方差为，方差为3 C.平均数为平
22、均数为11，方差为，方差为2 D.平均数为平均数为12，方差为，方差为4C（2）某学生在一次考试中）某学生在一次考试中,语文、数学、英语三门学科的平均成语文、数学、英语三门学科的平均成 绩是绩是80分，物理、化学两门学科的平均成绩为分，物理、化学两门学科的平均成绩为85分，则该分，则该 学生这五门学科的平均成绩是学生这五门学科的平均成绩是_分分.82（4）若）若X1，X2，X3，X20，这，这20个数据的平均数为个数据的平均数为 X，方差为方差为0.20，则，则X1，X2，X3，X20，X 这这21个数据个数据 的方差约为的方差约为_.4/21（5）数据）数据x1，x2，x8平均数为平均数为6
23、，标准差为，标准差为2，则数据，则数据 2x1-6，2x2-6，2x8-6的平均数为的平均数为_，方差为，方差为_.616品种品种第一年第一年 第二年第二年 第三年第三年 第四年第四年 第五年第五年 第六年第六年甲甲900920900850910920乙乙890960950850860890解解:依题意计算可得依题意计算可得 x1=900 x2=900 s123.8 s2 42.6甲乙两种水稻甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同年平均产量的平均数相同,但甲但甲的标准差比乙的小的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定所以甲的生产比较稳定.练练1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田农场种植
24、的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续中连续6年的年平均产量如下（单位：年的年平均产量如下（单位：500g）：）：那种水稻的产量比较稳定？那种水稻的产量比较稳定？解解:(1)平均重量约为平均重量约为496.86 g,标准差约为标准差约为6.55(2)重量位于重量位于(x-s,x+s)之间有之间有14袋白糖袋白糖,所占所占百分比为百分比为66.67%.练练2.一个小商店从一家食品有限公司购进一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖袋白糖，每袋白糖的标准重量是的标准重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白糖的重量（单位：白糖的重量
25、（单位：g）如下：）如下：486 495 496 498 499 493 493498 484 497 504 489 495 503499 503 509 498 487 500 508求：求：（1）21袋白糖的平均重量袋白糖的平均重量x是多少？标准差是多少？标准差s是多少？是多少？（2）重量位于）重量位于x-s与与x+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？多少？解解:平均数平均数x19.25,中位数为中位数为15.2,标准差标准差s12.50.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25,有一半国家
26、的死亡率不超过有一半国家的死亡率不超过15.2,x 15.2 说说明存在大的异常数据明存在大的异常数据,这些异常数据使得标准差增大这些异常数据使得标准差增大.【知识归纳知识归纳】1、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数2、用频率分布直方图用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数估计众数、中位数、平均数（1）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标（2）中位数：左右两侧直方图的面积相等）中位数：左右两侧直方图的面积相等（3）平均数：）平均数：每个小矩形的面积每个小矩形的面积乘以乘以小矩形底边小矩形底边 中点的横坐标中点的横坐标之和之和3、标准差、方差标准差、方差