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1、方程的根和函数方程的根和函数的的零点零点问题问题探探究究12/10/20222 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？12/10/20223 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx0121
2、12y=x22x+312/10/20224方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x212/10/20225 对于函数对于函数y=f(x),叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点
3、函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数函数函数的的的的零点定义：零点定义：零点定义：零点定义：等价关系等价关系等价关系等价关系使使f(x)=0的实数的实数x零点的求法零点的求法零点的求法零点的求法 代数法代数法图像法图像法(1)不是所有的函数都有零点，(2)函数的零点并不是“点”，而是数.函数零点的意义函数零点的意义:12/10/20226求下列函数的零点求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和和30 例例1：求函数：求函数f（x）=lg(x-1)的零点。的零点。12/10/20227 求函数零点的步骤：求函数零点的步骤：(1)令令f(x)=0;(2)解方程
4、解方程f(x)=0；(3)写出零点写出零点.12/10/20228 问题探究问题探究12/10/20229 观察以上函数的图象观察以上函数的图象 1）在区间）在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；f(a)f(b)_0（或）；（或）；2）在区间）在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；f(b)f(c)_ 0（或）；（或）；3）在区间）在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；f(c)f(d)_ 0（或）（或）12/10/202210结结论论xy00yx0yx0yx12/10/202211xy0思考：若函数思考：若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零内有零点，一定能
5、得出点，一定能得出f(a)f(b)0的结论吗？的结论吗？12/10/202212 零点唯一性定理：零点唯一性定理：如果函数如果函数 y=f(x)在在 a,b上上,图象是图象是连续连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数的，并且在闭区间的两个端点上的函数值值互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数那么，函数那么，这个函数在这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。内必有惟一的一个零点。12/10/202213由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域
6、(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13）4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题 2 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x x x xf f f f（x x x x）.x0246105y24108612148764321912/10/202214你能判断出方程你能判断出方程 x=-x2+3 实数根的个数吗？实数根的个数吗？试一试：试一试：12/10/202215反思小结:1函数零点的定义；函数零点的定义；2等价关系；等价关系；3函数的零点或相应方程的根的函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。存在性以及个数的判断。12/10/202216练习练习：4.求函数求函数f(x)=x3-4x的零点的零点.5.求函数求函数f(x)=lnx-2/x的零点的个数的零点的个数.6.P88练习题练习题1.12/10/20221712/10/202218