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1、多元方差分析多元方差分析多元方差分析多元方差分析单因素方差分析单因素方差分析,有协变量的方差分析有协变量的方差分析 单因变量多因素方差分析单因变量多因素方差分析 多因变量线性模型的方差分析多因变量线性模型的方差分析 重复测量设计的方差分析重复测量设计的方差分析,方差成分分析方差成分分析单因素方差分析回顾单因素方差分析回顾饲料比较数据饲料比较数据,n=19头猪头猪,用用p=4种种饲料喂养一段时间后的重量增加饲料喂养一段时间后的重量增加(data12.01)问题问题:四种饲料是否不四种饲料是否不同同?饲料饲料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.61
2、43.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6饲料例子饲料例子(继续继续):饲料饲料(fodder)为自变量为自变量(单因子单因子),重重量增加量增加(weight)为为因变量因变量(一个数量一个数量变量变量)(SPSS计算机数据形式有所不计算机数据形式有所不同同)饲料饲料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6均值均值A=133.36 均值均值B=152.04 均值均值C=1
3、89.72 均值均值D=220.78各种各种SPSS输出输出:(ANOVA-CONTRASTS/POSTHOC-LSD,T2/OPTION-DES.,HOMO./MEANPLOT)DescriptivesWEIGHT NMeanStd.DeviationStd.Error95%Confidence Interval for MeanMinimumMaximumLower BoundUpper BoundA5133.366.807943.04460124.9068141.8132125.3143.1B5152.046.957233.11137143.4015160.6785143.8162.7C
4、5189.726.350352.83996181.8350197.6050182.8198.6D4220.786.105943.05297211.0591230.4909212.3225.8Total19171.5234.311377.87157154.9730188.0481125.3225.8四种饲料的箱图四种饲料的箱图 四种饲料的均值图四种饲料的均值图 假设假设:检验检验:H0:m m1=m mp线性模型线性模型:公式公式:总平方和总平方和=组间平方和组间平方和+组内平方和组内平方和 其中其中,SST 有自由度有自由度n-1,SSB有自由度有自由度p-1,SSE 有自由度有自由度n-p,
5、在正态分布的假设下在正态分布的假设下,如果各组增重均值相等如果各组增重均值相等(零假设零假设),则则 有自由度为有自由度为p-1 和和n-p 的的F 分布分布.(比较一元总体的比较一元总体的)ANOVAWEIGHT(重量重量)由由SPSS可以得到方差分析表可以得到方差分析表:Sum of Squares(平方和平方和)Df自由度Mean Square(均方均方)FSig.Between Groups(处理处理)SSBP-1MSB=SSB/(p-1)F=MSB/MSEP(FFa a)Within Groups(误差误差)SSEn-pMSE=SSE/(n-p)Total(总和总和)SSTn-1这里
6、这里n n 为观测值数目为观测值数目p p 为水平数为水平数,F Fa a满足满足P(FP(FF Fa a)=)=a a.这是自由度为这是自由度为p-1p-1和和n-pn-p的的F F-分分布的概率布的概率 F0.05(3,15)面积面积=0.05F(3,15)分布密度图分布密度图ANOVAWEIGHT 由由SPSS可以得到方差分析表可以得到方差分析表:Sum of SquaresDfMean SquareFSig.Between Groups20538.69836846.233157.467.000Within Groups652.1591543.477Total21190.85818该表说
7、明各饲料之间有显著不同该表说明各饲料之间有显著不同.Test of Homogeneity of Variances(Arobusttest)这是这是SPSS输出之一输出之一,明白即可明白即可,不用记住不用记住Levene Statisticdf1df2Sig.024315.995SPSS操作操作CompareMeansOneWayANOVA:fodder(饲料饲料)FactorWeight(重量重量)DependentListOptions:DescriptiveHomogeneityofVarianceMeanPlot还还可以做饲料各个水平之可以做饲料各个水平之间的对比等更多的检验间的对比
8、等更多的检验(比如两两对比比如两两对比)单因变量多因素单因变量多因素方差分析方差分析 4个种系大白鼠各三只分别用个种系大白鼠各三只分别用3种不同剂量雌种不同剂量雌激素激素.关心关心(因变量因变量)子宫重量子宫重量(WUTERI)和其和其他他两两(自变量自变量)因子因子的关系的关系(受何种影响受何种影响)(data12.03)(该例是最简单的两因子方差分析该例是最简单的两因子方差分析)雌激素剂量雌激素剂量(ETROGEN)种系种系(MOUSE)0.2(1)0.4(2)0.8(3)A(1)106116145B(2)4268225C(3)70111314D(4)4263192Levels of Mo
9、use Effects on WUTERI Levels of Etrogen Effects on WUTERI 在相应的正态假设下在相应的正态假设下检验检验:H0:a a1=a ap(=0)H0:b b1=b bq(=0)简单两因子单因变量线性模型简单两因子单因变量线性模型:或者或者公式公式:总平方和总平方和=组间平方和组间平方和+组内平方和组内平方和 其中其中,SSA 有自由度有自由度p-1,SSB有自由度有自由度q-1,SSE 有自由度有自由度(p-1)(q-1),在正态分布的假设在正态分布的假设下下,如果各组增重均值相等如果各组增重均值相等(零假设零假设),则则 分别有自由度为分别有
10、自由度为p-1 和和(p-1)(q-1)及及自由度自由度为为q-1 和和(p-1)(q-1)的的F 分布分布.Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable:XXX SPSS:GLM-GeneralFactorial-Model,custom(maineffect)Note:SS.c=SSA+SSB SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected ModelSS.cP+q-2MSS.cMSS.c/MSEIntercept1Effect ASSAp-1MSAMSA/MSEEf
11、fect BSSBq-1MSBMSB/MSEErrorSSE(p-1)(q-1)MSE Totalpq Corrected TotalSST=SSA+SSB+SSEPq-1 Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable:WUTERI SPSS:GLM-GeneralFactorial-Model,custom(maineffect)(白鼠子宫重量数据白鼠子宫重量数据)a R Squared=.958(Adjusted R Squared=.924)Note:SS.Cor Model=SS.Mouse+SS.ETROGEN SourceT
12、ype III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model12531.667a52506.33327.677.000Intercept100467.0001100467.0001109.452.000MOUSE6457.66732152.55623.771.001ETROGEN6074.00023037.00033.537.001Error543.333690.556 Total113542.00012 Corrected Total13075.00011 有有协协变变量量的的方方差差分分析析例例(既既有有定定性性变变量量又又有有定定量量变变
13、量量):存存在在混混杂杂因因素素的的方方差差分分析析.数数据据:镉镉作作业业工工人人年年龄龄(age协协变变量量),接接触触粉粉尘尘时时间间(time:分分2组组作作为为因因子子)和和肺肺活活量量(vitalcp因因变变量量)(data12.06)(自自变变量量:一一个个连连续续变变量量,一一个个定定性变量性变量)暴露于镉尘年段对肺活量的暴露于镉尘年段对肺活量的影响影响年龄和肺活量的年龄和肺活量的散点图散点图在相应的正态假设下在相应的正态假设下检验检验:H0:a a1=a ap(=0)H0:b b=0有协变量的方差分析有协变量的方差分析模型模型:或者或者Tests of Between-Sub
14、jects EffectsDependent Variable:肺活量肺活量 a R Squared=.446(Adjusted R Squared=.402)SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model11.085a25.54310.073.001Intercept41.936141.93676.216.000AGE10.881110.88119.775.000TIME.5421.542.985.330Error13.75525.550Total483.62528Corrected Total24.84127SP
15、SS:GLM-Generalfactorial-Model-Full-Factorial加上一个加上一个covariateParameter EstimatesDependent Variable:肺活量肺活量 a This parameter is set to zero because it is redundant BStd.ErrortSig.95%Confidence IntervalParameterLower BoundUpper BoundIntercept7.977.8868.998.0006.1519.803AGE-8.700E-02.020-4.447.000-.127-
16、4.670E-02TIME=1.300.303.993.330-.323.924TIME=20a.暴露于镉尘年段暴露于镉尘年段Dependent Variable:肺活量肺活量 a Evaluated at covariates appeared in the model:年龄年龄=46.64 MeanStd.Error95%Confidence Interval 暴露于镉尘年段暴露于镉尘年段 Lower BoundUpper Bound大于等于大于等于10年年4.219a.2233.7614.678不足不足10年年3.919a.1913.5264.312多多维维交交互互影影响响方方差差分分析
17、析实实例例:胶胶卷卷数数据据(film.sav)(p=q=2,n=5)两两 因因 子子(拉拉 速速:speed;添添 加加 剂剂:additive);3因变量因变量y1:耐撕耐撕力力,y2:光泽度光泽度,y3:不透明度不透明度;我们仅考虑我们仅考虑y=y1作为因变量作为因变量在相应的正态假设下在相应的正态假设下检验检验:H0:a a1=a ap(=0),H0:b b1=b bq(=0)H0:(abab)ij=0 (i=1,p;j=1,q)多因子单因变量线性模型多因子单因变量线性模型:或者或者SPSS:GLM-Generalfactorial-Model-Full-Factorial自由度自由度
18、:主效应主效应:p-1和和q-1;交叉效应交叉效应:(p-1)(q-1);残差残差:pq(n-1);总和总和pqn-1SST=SSA+SSB+SSAB+SSE胶卷数据胶卷数据:p=q=2,n=5多多维维交交互互影影响响方方差差分分析析实实例例:教教育育心心理理数数据据(data12.07):4个个目目标标(Target):1(T1),2(T2),3(T3),4(T4);3部部设设备备(Device):1(D1),2(D2),3(D3);2种种照照明明度度(Light):1(L1),2(L2);共共有有24个个组组合合单元单元,每个随机部署每个随机部署5名受试者名受试者(共共120个得分数据个得
19、分数据Score)目标对分数的目标对分数的影响影响光线对分数的光线对分数的影响影响设备对分数的设备对分数的影响影响在相应的正态假设下在相应的正态假设下检验检验:H0:a a1=a ap(=0),H0:b b1=b bq(=0)H0:g g1=g gk(=0),H0:abab=0.多因子单因变量线性模型多因子单因变量线性模型:或者或者 在光线在光线=11时时，目标和设备对分目标和设备对分数的数的影响影响在光线在光线=12时时，目标和设备对分目标和设备对分数的数的影响影响Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable:SCORE a R Sq
20、uared=.918(Adjusted R Squared=.898)SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model783.4672334.06446.451.000Intercept3162.13313162.1334312.000.000TARGET235.200378.400106.909.000DEVICE86.467243.23358.955.000LIGHT76.800176.800104.727.000TARGET*DEVICE104.200617.36723.682.000TARGET*LIGHT93
21、.867331.28942.667.000TARGET*DEVICE*LIGHT186.933823.36731.864.000Error70.40096.733 Total4016.000120 Corrected Total853.867119 重复测量设计的方差分析：重复测量设计的方差分析：12个个受受试试者者(编编号号numb1-12)随随机机分分到到三三个个视视觉觉刺刺激激级级别别(vsno1-3)的的 实实 验验 组组 中中。每每 个个 人人 在在 同同 样样 条条 件件 下下 测测 试试 三三 次次(time1-3)。(data12.09)刺激级别对刺激级别对时间的时间的影响影响
22、GLM-RepeatedMeasure基本信息与描述统计量基本信息与描述统计量多变量检验结果多变量检验结果组内效应检验结果组内效应检验结果组内效应方差分析结果组内效应方差分析结果组内均值对比检验组内均值对比检验组间效应方差分析表组间效应方差分析表各因素变量的单元均值各因素变量的单元均值方差成分分析方差成分分析:(Variance component)假假定定可可观观测测随随机机变变量量Y有有方方差差,Y是是两两个个独独立立的的不不可可观观测测的的变变量量之之和和A+E.它它们们的方差分别为的方差分别为和和.于是于是,由于由于A和和E的独立性的独立性,有有.和和称为称为的方差成分的方差成分.还还
23、用用data12.07.教教育育心心理理实实验验:要要把把因因子子都都选选为为随随机机因因子子.选选Maximum likelihood(option)(GLM-Variance Components)下面讲下面讲主成分分析主成分分析一本参考书一本参考书(有数据软盘）有数据软盘）:SPSSforWIndows统计分析统计分析主编主编卢纹岱卢纹岱（一九九八年六月版）（一九九八年六月版）电子工业出版社电子工业出版社￥56.00一本参考书一本参考书(有数据软盘）有数据软盘）:AppliedMultivariateStatisticalAnalysis实用多元统计分析实用多元统计分析R.A.Johnson&D.W.Wichern（一九九八年第四版）一九九八年第四版）(陆璇译陆璇译)清华大学出版社清华大学出版社￥69.50一本参考书一本参考书:多元统计分析多元统计分析（一九九九年）一九九九年）(于秀林、任雪松编著于秀林、任雪松编著)中国统计出版社中国统计出版社￥17.00