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1、函数的零点函数的零点3.8函数与方程函数与方程 引例引例1：已知一次函数：已知一次函数y=x 1，试问，试问x取什么值时，取什么值时，y=0?一、创设情境一、创设情境 引入问题引入问题使使y=0的实数的实数x的值叫做函数的值叫做函数y=x1的的零点零点.y=x1的零点是的零点是1.y=x1的零点，从的零点，从“数数”上看，就是方程上看，就是方程x1=0的的实根实根.而而(1,0)为函数为函数 y=x1的图象与的图象与x轴的交点，轴的交点，函数函数y=x1的的零点零点1,从从“形形”上看，就是上看，就是函数函数y=x1的图象与的图象与x 轴交轴交点的点的横坐标横坐标.引例引例2：已知二次函数：已
2、知二次函数y=x2x2，试问，试问x取什么值时，取什么值时，y=0?该二次函数有两个零点该二次函数有两个零点1,2.把使把使y=0的实数的实数x的值叫做该函数的的值叫做该函数的零点零点.二次函数二次函数y=x2x2的的零点，零点，从从“数数”上看，上看，就是方程就是方程x2x2=0的的实根实根.而而(-1,0),(2,0)为该二次为该二次函数函数的图象与的图象与x轴轴的交点的交点,这样，二次函数这样，二次函数y=x2x2的的零点，零点，从从“形形”上看就是上看就是其图象与其图象与x轴交点轴交点的的横坐标横坐标.二、归纳概括二、归纳概括 形成定义形成定义函数函数y=f(x)的的零点零点就是其图象
3、就是其图象与与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标形形数数就是方程就是方程 f(x)=0 的的实根实根 一般地一般地,我们把使函数我们把使函数y=f(x)的值为的值为0的实数的实数x称为函称为函数数y=f(x)的零点。的零点。零点是一个点吗零点是一个点吗?零点指的是一个实数零点指的是一个实数；结论：函数的零点不是一个点，而是一个实数方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点 方程y=x2x6函数函数的图象方程的实数根函数的图象与x轴的交点x2x6=0 x=-2 或 3（-2，0），（3，0）1、使 y=0 的x 值与方程的根有什么关系？2、方程的根与图象和x 轴
4、的交点有什 么关系？思考问题：思考问题：1 1、一次函数、一次函数y=kx+by=kx+b是否一定有零点？零点是否一定有零点？零点是（是（-b/k,0)-b/k,0)吗？吗？2 2、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)是否一定有零点？是否一定有零点？试求下列函数的零点：试求下列函数的零点：(口答口答)(1)y=3x+6;(2)y=x25x+4;(3)y=x2+5x.(1)2(2)1,4(3)0,5方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式=b24ac0=00函数的零点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x2
5、0 xy0 x1xy0两个零点一个二重零点没有零点两个不相等的实数根x1、x2思考问题：思考问题：1 1、在零点两侧附近函数值的符号怎、在零点两侧附近函数值的符号怎样？样？2 2、相邻两个零点之间的所有的函数、相邻两个零点之间的所有的函数值符号有什么关系？值符号有什么关系？1 1、当函数的图象通过零点且穿过、当函数的图象通过零点且穿过x x轴轴时（时（），函数值变号。），函数值变号。不是二重零点不是二重零点二次函数零点的性质2 2、相邻两个零点之间的所有函数值保、相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。持同号。判断函数判断函数y=x2-2x-1 在区间在区间(2,3)上是否存上是否存在零点在零点
6、?f(2)0在在(2，3)存在零点存在零点观察下面函数图象思考:虽然函数虽然函数f(x)满足了满足了f(-1)f(1)0,但它在但它在区间区间(-1,1)上却没有零点上却没有零点,为什么为什么?因为不连续因为不连续零点存在性的判定零点存在性的判定:一般的一般的,若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的上的图象是图象是一条不间断的曲线一条不间断的曲线，并且有，并且有f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上上有零点有零点.(.(即零点即零点c(a,b)c(a,b)使得使得f(c)=0f(c)=0，这个这个
7、c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0根根.).)注意两个条件注意两个条件:函数函数y=f(x)的图象在区间的图象在区间a,b上是不间断的上是不间断的f(a)f(b)0.yxOk0)零点的探求与性质(1)探求：(2)性质：性质性质1:函数的图象通过零点函数的图象通过零点且穿过且穿过x轴时轴时,函数函数值变号值变号.性质性质2:在零点把在零点把 x 轴分成的每个开区间上轴分成的每个开区间上,函函数值保持同号数值保持同号.yxOx1x2xOx1=x2y 3.三次函数零点的探求与性质三次函数零点的探求与性质例例 求函数y=x32x2x+2 的零点，画出它的 图象,并研究该函数零点的性质.
8、解解:y=x32x2x+2 令令 y=0，得 x=1,1,2.所以已知函数的零点为所以已知函数的零点为 1,1,2.=x2(x2)(x2)=(x2)(x21)=(x+1)(x 1)(x2),x1.510.500.511.522.5y4.3801.8821.1300.6302.63 3个零点把个零点把 x 轴分成轴分成4个区间：个区间：(，1)、(1，1)、(1，2)、(2，+).在这四个区间内，取在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，画出这个函数的图象在直角坐标系内描点连线，画出这个函数的图象.(1)
9、该函数的图象通过零点时该函数的图象通过零点时,函数值变号函数值变号;3个零点把个零点把 x 轴分成轴分成4个区间：个区间：(，1)、(1，1)、(1，2)、(2，+).(2)在零点把在零点把x 轴轴分成的每个开区间上分成的每个开区间上,函数函数值保持同号值保持同号.x1.510.500.511.522.5y4.3801.8821.1300.6302.63判断函数y=x2-2x-1 在区间(2,3)上是否存在零点?f(2)0在在(2，3)存在零点存在零点观察下面函数图象思考:虽然函数虽然函数f(x)满足了满足了f(-1)f(1)0,但它在但它在区间区间(-1,1)上却没有零点上却没有零点,为什么
10、为什么?因为不连续因为不连续零点存在性的判定零点存在性的判定:一般的一般的,若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的上的图象是图象是一条不间断的曲线一条不间断的曲线，并且有，并且有f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上上有零点有零点.(.(即零点即零点c(a,b)c(a,b)使得使得f(c)=0f(c)=0，这个这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0根根.).)注意两个条件注意两个条件:函数函数y=f(x)的图象在区间的图象在区间a,b上是不间断的上是不间断的f(a)f(b)0 xy
11、oabxyoab若函数若函数y=f(x)在（在（a,b）有零点能）有零点能得到得到f(a)f(b)0吗吗?在什么条件下可以在什么条件下可以呢？函数是单调的函数是单调的函数函数 在区间在区间(0,1)上有上有 零点吗零点吗?变式变式:判断方程判断方程2x +x-4=0在区间在区间(1,2)上是否有根上是否有根?函数零点的定义函数零点的定义等价关系等价关系等价关系等价关系:函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点函数零点存在性的判定函数零点存在性的判定零点的求法零点的求法零点的求法零点的求法代数法代数法几何法几何法方程方程x2+mx+3=0有两实根有两实根x1,x2,且满足条件且满足条件0 x11x24,求实数求实数m的范围的范围.若方程若方程x2+2x+m+1=0有两实根有两实根,且一根比且一根比2大大,一根比一根比2小小,求实数求实数m的范围？的范围？