《高中全程复习方略配套课件：6.6直接证明与间接证明.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件：6.6直接证明与间接证明.ppt（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六节第六节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明三年三年9 9考考 高考指数高考指数:1.1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点；法和分析法的思考过程和特点；2.2.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思反证法，了解反证法的思考过程和特点考过程和特点.1.1.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；为主；2.2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，分析法的思想应用广泛，反证法仅
2、作为客观题的判断方法，一般不会单独命题一般不会单独命题.3.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.1.1.直接证明直接证明(1)(1)综合法综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出一系列的推理论证，最后推导出_的证明的证明方法方法.所要证明的结论成立所要证明的结论成立框图表示：框图表示：(P(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q Q表示所要证表示所要证明的结论明的结论).).文字表示为：文字
3、表示为：“因为因为所以所以”或或“由由得得”.思维过程：由因导果思维过程：由因导果.P PQ Q1 1Q Q1 1Q Q2 2Q Q2 2Q Q3 3Q Qn nQ Q(2)(2)分析法分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为直至最后，把要证明的结论归结为_(_(已知条件、定义、定理、公理等已知条件、定义、定理、公理等)为止的证明方法为止的证明方法.判定一个明显成立判定一个明显成立的条件的条件框图表示：框图表示：(Q(Q表示要证明的结论表示要证明的结论).).文字表示为：文字表示为：“要证要
4、证”，“只需证只需证”，“即证即证”思维过程：执果索因思维过程：执果索因.QPQP1 1P P1 1PP2 2P P2 2PP3 3得到一个明显成立的条件得到一个明显成立的条件【即时应用即时应用】(1)(1)思考下列思维特点：思考下列思维特点：从从“已知已知”逐步推向逐步推向“未知未知”，即逐步寻找已知成立的必要，即逐步寻找已知成立的必要条件条件.从从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”即逐步寻找结论即逐步寻找结论成立的充分条件成立的充分条件.满足综合法的是满足综合法的是_，满足分析法的是，满足分析法的是_(_(请填写相请填写相应序号应序号).).(2)(2)已知已知t
5、=a+2b,s=a+bt=a+2b,s=a+b2 2+1,+1,则则s,ts,t的大小关系是的大小关系是_._.(3)(3)在正项等比数列在正项等比数列aan n 和正项等差数列和正项等差数列 b bn n 中，中，a a1 1=b b1 1,a,a3 3=b=b3 3,a a1 1aa3 3，则，则a a5 5与与b b5 5的大小关系为的大小关系为_._.【解析解析】(1)(1)由分析法、综合法的定义可判断由分析法、综合法的定义可判断.满足综合法；满足综合法；满足分析法满足分析法.(2)(2)由由s-ts-t=a+b=a+b2 2+1-a-2b=b+1-a-2b=b2 2-2b+1=(b-
6、1)-2b+1=(b-1)2 20,0,故故stst.(3)(3)由由a a1 1aa3 3,得得b b1 1bb3 3,所以所以b b1 1bb5 5,且且b b1 10,b0,b5 50,0,又又a a3 3=b=b3 3 ,即即 ,又又a a1 1=b=b1 1,所以所以a a5 5bb5 5.答案：答案：(1)(2)st (3)a(1)(2)st (3)a5 5bb5 52.2.间接证明间接证明(1)(1)反证法的定义：反证法的定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明明_，从而证明，从而证明_的证明方法的证明方
7、法.(2)(2)利用反证法证题的步骤利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定简言之，否定归谬归谬断言断言.假设错误假设错误原命题成立原命题成立【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号内打请在括号内打“”或或“”)综合法是由因导果法综合法是由因导果法 ()综合法是顺推法综合法是顺推法 ()分
8、析法是执果索因法分析法是执果索因法 ()分析法是逆推法分析法是逆推法 ()反证法是间接证法反证法是间接证法 ()(2)(2)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于6060”时，应假设时，应假设_._.【解析解析】(1)(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确都正确.(2)(2)因为因为“至少有一个至少有一个”的反面是的反面是“一个也没有一个也没有”，所以，所以“三三角形三个内角至少有一个不大于角形三个内角至少有一个不大于6060”的否定是的否定是“三角形三三角形三个内角一个也没有不大于个内角一个也没
9、有不大于6060”，即，即“三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060”.答案：答案：(1)(1)(2)(2)三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060 综合法的应用综合法的应用【方法点睛方法点睛】利用综合法证题的基本思路利用综合法证题的基本思路【例例1 1】已知已知x+y+zx+y+z=1=1，求证：，求证：x x2 2+y+y2 2+z+z2 2 .【解题指南解题指南】由基本不等式由基本不等式x x2 2+y+y2 22xy,2xy,得到关于得到关于x x、y y、z z的三的三个不等式，将三式相加整理变形个不等式，将三式相加整理变形,然后利用然后利用x+y+zx+y+z=1=
10、1得得(x+y+z)x+y+z)2 2=1=1从而可证从而可证.【规范解答规范解答】xx2 2+y+y2 22xy,x2xy,x2 2+z+z2 22xz,y2xz,y2 2+z+z2 22yz,2yz,2x2x2 2+2y+2y2 2+2z+2z2 22xy+2xz+2yz,2xy+2xz+2yz,3x3x2 2+3y+3y2 2+3z+3z2 2xx2 2+y+y2 2+z+z2 2+2xy+2xz+2yz,+2xy+2xz+2yz,即即3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(x+y+z)(x+y+z)2 2,x+y+z=1,(x+y+z)x+y+z=1,(x+y+z)2 2=1
11、,=1,3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)1,)1,即即x x2 2+y+y2 2+z+z2 2 .【反思反思感悟感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确律，这样才能保证结论的正确.分析法的应
12、用分析法的应用【方法点睛方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点与思路分析法的特点和思路是分析法的特点和思路是“执果索因执果索因”，即从，即从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等明成立的结论等.通常采用通常采用“欲证欲证只需证只需证已知已知”的格的格式，在表达中要注意叙述形式的规范式，在表达中要注意叙述形式的规范.【例例2 2】(2012(2012南通模拟南通模拟)已知已知m0,a,bR,m0,a,bR,求证：求证：【解题指南解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证利用分析法，
13、去分母后移项作差，最后变形可证.【规范解答规范解答】m0,1+m0.m0,1+m0.所以要证原不等式成立，所以要证原不等式成立，只需证明只需证明(a+mb)(a+mb)2 2(1+m)(a(1+m)(a2 2+mb+mb2 2),),即证即证m(am(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)0,)0,即证即证(a-b)(a-b)2 20,0,而而(a-b)(a-b)2 200显然成立，故原不等式得证显然成立，故原不等式得证.【反思反思感悟感悟】1.1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件反推，逐步寻找使结论成立的充分条件
14、.正确把握转化方向是正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键使问题顺利获解的关键2.2.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分或充分)的中间结论，的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证 综合法、分析法的综合应用综合法、分析法的综合应用【方法点睛方法点睛】综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法与分析法各有特点，在
15、解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写.这一这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题.【提醒提醒】综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件步寻找的是充分条件
16、.【例例3 3】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，PBPB平面平面ABCDABCD，MAMA平平面面ABCDABCD，PB=AB=2MA.PB=AB=2MA.求证：求证：(1)(1)平面平面AMDAMD平面平面BPCBPC；(2)(2)平面平面PMDPMD平面平面PBD.PBD.【解题指南解题指南】(1)(1)欲证平面欲证平面AMDAMD平面平面BPCBPC，只需证，只需证AMPBAMPB，ADBCADBC从而得从而得AMAM平面平面PBC,ADPBC,AD平面平面PBCPBC，从而得证，从而得证.(2)(2)欲证平面欲证平面PMDPMD平面平面PBDPBD，只需连接
17、，只需连接ACAC交交BDBD于于E E，取，取PDPD中点为中点为F F，连接，连接MFMF、EFEF，即证，即证AEAE平面平面PBD,PBD,而而AEAE与与MFMF又平行从而得证又平行从而得证.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为PBPB平面平面ABCDABCD，MAMA平面平面ABCDABCD，所以所以PBMA.PBMA.因为因为PBPB 平面平面BPCBPC，MA MA 平面平面PBCPBC，所以所以MAMA平面平面BPC.BPC.同理，同理，DADA平面平面BPC.BPC.又又MAMA 平面平面AMDAMD，ADAD 平面平面AMD,AMD,MAAD=AMAAD=A，所以平面
18、所以平面AMDAMD平面平面BPC.BPC.(2)(2)连接连接ACAC，设，设ACBD=E,ACBD=E,取取PDPD中点中点F F，连接，连接EFEF，MF.MF.PMDBFAEC因为四边形因为四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，所以所以E E为为BDBD的中点的中点.因为因为F F为为PDPD中点，所以中点，所以EF PB.EF PB.又又AM PBAM PB，所以四边形所以四边形AEFMAEFM为平行四边形为平行四边形,所以所以MFAE.MFAE.因为因为PBPB平面平面ABCDABCD，所以所以PBAE,PBAE,又因为又因为ABCDABCD是正方形，是正方形，所以所以AEBD
19、AEBD，所以所以AEAE平面平面PBDPBD，又因为又因为MFAEMFAE，所以所以MFMF平面平面PBDPBD，又因为又因为MFMF 平面平面PMDPMD，所以平面所以平面PMDPMD平面平面PBD.PBD.【反思反思感悟感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，再用综合法书写证明过程再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法，需要灵这是此类问题的常规解法，需要灵活掌握活掌握.反证法的应用反证法的应用【方法点睛方法点睛】1.1.反证
20、法的解题原则反证法的解题原则反证法的原理是反证法的原理是“正难则反正难则反”，即如果正面证明有困难时，或，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法用反证法.2.2.反证法中常见词语的否定形式反证法中常见词语的否定形式原原 词词否定形式否定形式至多有至多有n n个个(即即xnxn，nNnN+)至少有至少有n n个个(即即xn,nNxn,nN+)n n个都是个都是特特例例至少有至少有n+1n+1个个(即即xxn nx xn+1,nNn+1,nN+)至多有至多有n-1n-1个个(即即xx0,-30,
21、且且(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2+(z-1)+(z-1)2 20,0,a+b+ca+b+c0,0,这与这与a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾.因此因此a,b,ca,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0.【反思反思感悟感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：盾可以是：与已知条件矛盾，与已知条件矛盾，与假设矛盾，与假设矛盾，与定义、公与定义、公理、定理矛盾，理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器问题的有力
22、工具，是数学证明中的一件有力武器.【满分指导满分指导】证明题的规范解答证明题的规范解答 【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012常州模拟常州模拟)已知已知a,b,c,dRa,b,c,dR,用分析法用分析法证明证明ac+bdac+bd 并指明等号何时成立并指明等号何时成立.【解题指南解题指南】由于由于a,b,c,dRa,b,c,dR,故故ac+bd0ac+bd0或或ac+bdac+bd0,0,要分两要分两种情况分析，可证种情况分析，可证.【规范解答规范解答】(1)(1)当当ac+bd0ac+bd0时，时，0,0,2 2分分故不等式显然成立，此时故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0
23、a=b=c=d=0时等号成立时等号成立.4 4分分(2)(2)当当ac+bdac+bd00时，要证原不等式成立，只需证时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)ac+bd)2 2(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2),),6 6分分即证即证a a2 2c c2 2+2abcd+b+2abcd+b2 2d d2 2aa2 2c c2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2.8 8分分即证即证2abcda2abcda2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2,即即0(bc-ad)0(bc-ad)2 2.1010分分a,b,c,dR
24、a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bcbc=ad.=ad.由由(1)(2)(1)(2)知原命题成立知原命题成立.1212分分 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)不去分类，而是直接平方作差判断不去分类，而是直接平方作差判断.(2)(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说
25、明不到位而失分说明不到位而失分.备备考考建建议议 解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注分，在备考时要高度关注:(1)(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位反证法的解题过程与推理形式理解不到位.(2)(2)用反证法证题时反设错误用反证法证题时反设错误.(3)(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱已知条件较多，表达不清，逻辑混乱.另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.1.(201
26、21.(2012南阳模拟南阳模拟)在证明命题在证明命题“对于任意角对于任意角,cos,cos4 4-sinsin4 4=cos2=cos2”的过程：的过程：“coscos4 4-sin-sin4 4=(cos=(cos2 2+sin+sin2 2)(cos(cos2 2-sin-sin2 2)=cos)=cos2 2-sin-sin2 2=cos2=cos2”中应用了中应用了()()(A)(A)分析法分析法 (B)(B)综合法综合法(C)(C)分析法和综合法综合使用分析法和综合法综合使用 (D)(D)间接证法间接证法【解析解析】选选B.B.从已知条件出发，推出要证的结论，满足综合法从已知条件出
27、发，推出要证的结论，满足综合法.2.(20122.(2012咸阳模拟咸阳模拟)用反证法证明命题：用反证法证明命题：“三角形的内角中至三角形的内角中至少有一个不大于少有一个不大于6060度度”时，反设正确的是时，反设正确的是()()(A)(A)假设三内角都不大于假设三内角都不大于6060度度(B)(B)假设三内角都大于假设三内角都大于6060度度(C)(C)假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于6060度度(D)(D)假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于6060度度【解析解析】选选B.B.根据反证法词语的否定形式根据反证法词语的否定形式:“至少有一个不大至少有一个不大于于6
28、060度度”的否定为的否定为“三内角都大于三内角都大于6060度度”.3.(20123.(2012枣庄模拟枣庄模拟)若若a0,b0a0,b0，那么必有，那么必有()()(A)a(A)a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2(B)a(B)a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2(C)a(C)a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2(D)a(D)a3 3+b+b3 3a0,b0,a+b0,a0,b0,a+b0,而而(a-b)(a-b)2 20,0,(a-b)(a-b)2 2(a+b)0,(a+b)0,即即a a3 3+b+b3 3-a-a2 2b-abb-
29、ab2 20,0,即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2.4.(20124.(2012大同模拟大同模拟)用反证法证明命题用反证法证明命题“若若a,bN,aba,bN,ab能被能被3 3整整除，那么除，那么a,ba,b中至少有一个能被中至少有一个能被3 3整除整除”时，假设应为时，假设应为()()(A)aA)a、b b都能被都能被3 3整除整除 (B)aB)a、b b都不能被都不能被3 3整除整除(C)bC)b不能被不能被3 3整除整除 (D)aD)a不能被不能被3 3整除整除【解析解析】选选B.B.由反证法的定义可知，否定结论，即由反证法的定义可知，否定结论，即“a,ba,b中至中至少有一个能被少有一个能被3 3整除整除”的否定是的否定是“a,ba,b都不能被都不能被3 3整除整除”，故选，故选B.B.