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1、第二讲间接效用函数与支出函数 Outline of Todays Class1.间接效用函数2.罗伊（Roy identity）等式3.支出最小化问题支出最小化问题4.支出函数5.希克斯（补偿）需求函数6.谢泼特（Shephard）引理7.效用最大化与支出最小化的关系效用最大化与支出最小化的关系8.斯卢茨基方程9.替代效应与收入效应一、定义一、定义 瓦尔拉斯定律第一节间接效用函数它是极大化了的效用它的自变量不是消费计划，而是价格与收入控制消费者行为，可以间接地控制p、m来实现二、性质二、性质（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t0)即它是关于p,m的零次齐次函数（二）证：记（三）证：记（四）
2、罗伊（Roy identity）等式：如果 则证明：先求分子（最大化一阶条件）同时 即两边同时对pj偏微分故（1）再求分母 对m求偏微分又两边对m求微分由（1）、（2）可得例，设 比较政府征收0.5元的所得税与0.5元的商品税对消费者效用的影响。三、应用解：的解为 故 时 现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税，即由0.25元变为0.5元从而 政府获得税金总额为 如果政府征收同等额度的所得税即则 所以 征收所得税比商品税对消费者的影响要小 第二节 支出函数 一、支出最小化问题一、支出最小化问题（一）（二）希克斯（补偿）需求函数（M2）的解x与p，u有关，即是p，u 的函数，这一函数称
3、为希克斯需求函数，记为（三）支出函数 二、支出函数的性质二、支出函数的性质（一）若 则 证：（二）.证：u 不变，给定p时，支出最小为ph(p,u)价格tp下，支出最小为e(tp,u)(三)是关于P的凹函数 即 有 证：设 则三.谢泼特（Shephard）引理 为希克斯函数 的第i个分量 证明：两边对pi求偏导 在最小化的过程中 最小化的一阶条件：四、效用最大化与支出最小化的关系四、效用最大化与支出最小化的关系命题1.设 的解，则 x*也是(M2)的解。命题2.设 的解，记 则x*也是（M1）的解 五、重要等式五、重要等式（一）证：设x*为 在 时的解，则其必为 的解，故 即要想获得最大效用必
4、定要花掉所有的收入（二）证：设x*为 时 M1的解，故又x*必为M2的解，故x*满足所以 即花掉所有收入的效用最大（三）（四）偏好EMPUMP六、例题例2（P22）七、预算份额Si=pixi/m习题11.6 斯卢茨基方程一.方程及其推导:证明：两边对pi微分(1)由谢泼特引理知 且 即 代入(1)式变形即可得二.替代效应与收入效应 (一)替代效应:由商品价格的变动起的商品相对价格的变动,进而由其导致商品需求量的变化.(二)收入效应：由商品价格变动所导致的实际收入水平变动,进而导致商品需求量的变动。+-+-替代效应收入效应x2x1替代效应收入效应-+-x2x1x1X1x1替代效应收入效应三.关于
5、普通需求曲线的斜率在斯卢茨基方程中令i=j得所以1.正常商品。从而收入效应2.对于低档商品收入效应0，符号不定，大致可分为两种情况：其一，若收入效应的绝对值小于自替代效应的绝对值，斜率为负，即普通需求曲线是向右下方倾斜的。其二，若收入效应的绝对值大于自替代效应的绝对值，斜率为正，即普通需求曲线是向有上方倾斜的，属吉芬商品。消费者行为理论小结1.偏好作为个人选择的基础和出发点.2.建立偏好与效用函数的相互对应，便于数学分析.3.个人选择问题理论上抽象为效用最大化问题。4.效用最大化的均衡条件：商品的边际替代率=边际交换率5.引入普通需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数和支出函数等概念，讨论它们之间关系.从某种程度上是对个人选择问题讨论的深化。斯卢茨基方程的导出是这种讨论深化的具体体现。习题：1、设求2、设求：