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1、会计学1通信原理差错控制编码要点通信原理差错控制编码要点信道编码一般有下列要求：信道编码一般有下列要求：(1)(1)增增加加尽尽可可能能少少的的数数据据率率而而可可获获得得较较强强的的检检错错和和纠纠错错能能力力，即即编编码码效率高，抗干扰能力强；效率高，抗干扰能力强；(2)(2)对对数数字字信信号号有有良良好好的的透透明明性性，也也即即传传输输通通道道对对于于传传输输的的数数字字信信号号内容没有任何限制；内容没有任何限制；(3)(3)传输信号的频谱特性与传输信道的通频带有最佳的匹配性；传输信号的频谱特性与传输信道的通频带有最佳的匹配性；(4)(4)编编码码信信号号内内包包含含有有正正确确的的
2、数数据据定定时时信信息息和和帧帧同同步步信信息息，以以便便接接收收端准确地解码；端准确地解码；(5)(5)编码的数字信号具有适当的电平范围；编码的数字信号具有适当的电平范围；(6)(6)发生误码时，误码的扩散蔓延小。发生误码时，误码的扩散蔓延小。第1页/共43页其中，最主要的可概括为两点：其一，附加一些数据信息以实现最大的检错纠错能力，这就涉及到差错控制编码原理和特性。其二，数据流的频谱特性适应传输通道的通频带特性，以求信号能量经由通道传输时损失最小，因此有利于载波噪声比(载噪比，C/N)高，发生误码的可能性小。第2页/共43页解决误码从两个方面着手解决误码从两个方面着手1、通过合理选择码型，
3、尽量减少传输信道发生误码的可能2、进行误码控制，既增强信道的纠错能力第3页/共43页差错控制编码原理差错控制编码原理 为为了了能能判判断断发发送送的的信信息息是是否否有有误误，可可以以在在发发送送时时增增加加必必要要的的附附加加数数据据。又又为为了了能能纠纠正正一一定定程程度度的的错错误误，这这需需要要增增加加更更多多的的附附加加数数据据。这这些些附附加加数数据据在在不不发发生生误误码码的的情情况况下下，是是完完全全多多余余的的，但但若若发发生生误误码码，便便可可利利用用信信息息数数据据与与附附加加数数据据之之间间特特定定的的关关系系实实现现误误码码检知和误码纠正。检知和误码纠正。换换言言之之
4、，为为使使信信源源代代码码具具有有检检错错纠纠错错能能力力，应应按按一一事事实实上上规规则则在在信信源源编编码码所所产产生生数数据据的的基基础础上上增增加加一一些些冗冗余余码码元元（又又称称监监督督码码或或检检验验码码），使使监监督督码码元元和和信信息息码码元元之之间间建建立一种确定的关系，发送端完成这项任务的过程就称为差错控制编码。立一种确定的关系，发送端完成这项任务的过程就称为差错控制编码。第4页/共43页n n注意：n n 无论检错还是纠错，都有一定的差错识别范围，误码严重而超过识别范围时，将不能实现检错和纠错，甚至越纠越错。第5页/共43页差错控制编码的方式差错控制编码的方式1.1.1
5、.1.反馈重发反馈重发反馈重发反馈重发(ARQARQARQARQ，自动重发请求自动重发请求自动重发请求自动重发请求)方式方式方式方式 这种方式中，接收端发现误码后通过反馈信道请求发送端重发数据。因此，这种方式中，接收端发现误码后通过反馈信道请求发送端重发数据。因此，接收端需要有误码检测和反馈信道。接收端需要有误码检测和反馈信道。优点：优点：系统的编解码设备比较简单、纠错能力强，适合于干扰不严重的点对系统的编解码设备比较简单、纠错能力强，适合于干扰不严重的点对点通信中应用。点通信中应用。缺点：缺点：当信道质量较差而干扰频繁发生时，经常处于重发信息状态，使信息当信道质量较差而干扰频繁发生时，经常处
6、于重发信息状态，使信息的连续性和实时性很差。的连续性和实时性很差。第6页/共43页DATA0DATA0ABNAKACKDATA0DATA1ABACKACK出错DATA0DATA0ABACK丢失tDATA0DATA0ABACKtACK丢失第7页/共43页2.2.前向纠错前向纠错(FEC)FEC)方式方式 这种方式中，发送端发送的数据内包括信息码元以及供接收端自动发现错误和纠正误码的监督码元。优点：它不需要反馈信道，能进行单点对多点的同步通信，译码实时性较好。缺点：编译码电路稍微复杂些，由于添加的监督码元较多，从而使编码效率较低。第8页/共43页3.3.混合纠错混合纠错(HEC)HEC)方式方式
7、这种方式中，发送端发出的信息内包含有给出检错纠错能力的这种方式中，发送端发出的信息内包含有给出检错纠错能力的监督码元，误码量少时接收端检知后能自动纠错，误码量超过纠监督码元，误码量少时接收端检知后能自动纠错，误码量超过纠错能力时接收端能通过反馈信道请求发送端重发有关信息。错能力时接收端能通过反馈信道请求发送端重发有关信息。优点：编译码电路的复杂性比优点：编译码电路的复杂性比FECFEC方式的简单，又可避免方式的简单，又可避免ARQARQ方式中信息连续性差的缺点，并且能保证较低的接收误码率。方式中信息连续性差的缺点，并且能保证较低的接收误码率。第9页/共43页纠错码的分类纠错码的分类 对具体的纠
8、错码，可以从不同角度将其分类，下图所示即为纠错码的分类情况。第10页/共43页图图5-6 纠错码的分类纠错码的分类 第11页/共43页检错码：检错码：只能检知一定的误码而不能纠错。只能检知一定的误码而不能纠错。纠错码：纠错码：具备检错能力和一定的纠错能力。具备检错能力和一定的纠错能力。纠删码：纠删码：能检错纠错，对超过其纠错能力的误码能检错纠错，对超过其纠错能力的误码则将有关信息删除或采取误码隐匿措施将误则将有关信息删除或采取误码隐匿措施将误码加以掩蔽。码加以掩蔽。纠错码按照检错纠错功能的不同，可分为纠错码按照检错纠错功能的不同，可分为:第12页/共43页差错控制编码的几个基本概念差错控制编码
9、的几个基本概念1.1.1.1.信息码元和监督码元信息码元和监督码元信息码元和监督码元信息码元和监督码元 n=k+rkrnk为信息码元，是发送端由信源编码给出的信息数据比特。在二元码情况下，总共有为信息码元，是发送端由信源编码给出的信息数据比特。在二元码情况下，总共有2k个不同的信息码组。个不同的信息码组。r为监督码元，组成一组总码数为为监督码元，组成一组总码数为n的码组。的码组。第13页/共43页2.许用码组和禁用码组 信道编码后总码长为n的不同码组值可有2n个。其中发送的信息码组有2k个，通常称之为许用码组，其余的为禁用码组，不允许传送。第14页/共43页3.3.3.3.编码效率编码效率编码
10、效率编码效率 通通常常，将将每每个个码码组组内内信信息息码码元元数数k k值值与与总总码码元元数数n n 值值之之比比k/nk/n称为信道编码的编码效率，即称为信道编码的编码效率，即k/nk/nk/(k+r)k/(k+r)是衡量信道编码性能的一个重要指标。是衡量信道编码性能的一个重要指标。可可见见，监监督督码码元元越越多多，检检错错纠纠错错能能力力越越强强，但但编编码码效效率率相相应地降低。应地降低。第15页/共43页4、码重、码重n n 码重码重码字的重量，即一个码字中码字的重量，即一个码字中“1”1”码的个数。通常用码的个数。通常用WW表示。表示。n n例如：码字例如：码字10011000
11、10011000的的 码重码重n nW=3W=3n n0000000000000000的码重的码重n nW=0W=0n n10011110011001111001的码重的码重n nW=6W=6第16页/共43页5、码距、码距码距码距即码元距离就是两个码组中对应码位上码元即码元距离就是两个码组中对应码位上码元不同的个数（也称汉明距），用不同的个数（也称汉明距），用d d表示。表示。码距反映的是码组之间的差异程度码距反映的是码组之间的差异程度,比如比如:0000和和0101两组码的码距为两组码的码距为d=1d=1；011011和和100100的码距为的码距为d=3;d=3;11000 11000
12、与与 1001110011之间的距离为之间的距离为d=3d=3。最小码距最小码距码集中所有码字之间码距的最小值即称码集中所有码字之间码距的最小值即称为最小码距，用为最小码距，用 表示。表示。第17页/共43页例如：若码集包含的码字有例如：若码集包含的码字有例如：若码集包含的码字有例如：若码集包含的码字有1001010010，0001100011，和，和，和，和1100011000，求最小码距。，求最小码距。，求最小码距。，求最小码距。各码字两两之间的码距分别如下：各码字两两之间的码距分别如下：1001010010和和0001100011之间：之间：d=2 d=2 1001010010和和110
13、0011000之间之间:d=2d=20001100011和和1100011000之间之间:d=4 d=4 因此因此该码集的最小码距为该码集的最小码距为2 2。最小码距是衡量码检错、纠错能力的依据。最小码距是衡量码检错、纠错能力的依据。第18页/共43页6 6、d d0 0的大小直接关系着编码的检，纠错能力。的大小直接关系着编码的检，纠错能力。的大小直接关系着编码的检，纠错能力。的大小直接关系着编码的检，纠错能力。n n为检测 e 个错码，要求 d0 e+1n n为纠正 t 个错码，要求 d0 2 t+1n n为纠正 t 个错码，同时检测 e 个错码，要求 d0 e+t+1Bd0BA12BA12
14、BB345d0第19页/共43页例：例：1 1）如果）如果A A和和B B为为1 1个比特：个比特：d0=1，则无法检错和纠错；则无法检错和纠错；2 2）如果）如果A A和和B B各增加各增加1 1个监督码元，组成（个监督码元，组成（2 2，1 1）码组，便具有检错能）码组，便具有检错能力。如将力。如将0000和和1111作为许用码组，作为许用码组，0101和和1010作为禁用码组，作为禁用码组，这时这时d0 =2=2，码组的检错能力码组的检错能力e=1e=1，而纠错能力为，而纠错能力为0 0。3 3）如果再增加）如果再增加1 1个监督码元，就可实现纠错能力。个监督码元，就可实现纠错能力。第2
15、0页/共43页线性分组码线性分组码1、奇偶校验码：它是一种最简单的线性分组检错码。方法：是先将信源编码后的信息数据流分成等长码组，然后在每一信息码组之后加入1位监督码元作为奇偶校验位，使得码组总码长的码重为奇数（奇校验编码）或偶数（偶校验编码）。它可以检知奇数个误码，而不能发现偶数个误码，而且没有纠错能力。第21页/共43页n n一般地，若有一般地，若有r r个监督码元，就有个监督码元，就有r r个监督方程和个监督方程和r r个相应的校验子，个相应的校验子，可给出可给出2 2 r r种状态。对于一位误码来说，非全种状态。对于一位误码来说，非全0 0的的2 2r r-1-1种状态可指明种状态可指
16、明2 2r r-1 1个误码位置。个误码位置。线性分组码具有如下性质：线性分组码具有如下性质：n n1 1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。n n2 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。、码的最小距离等于非零码的最小码重。n n如果对于线性分组码（如果对于线性分组码（n n，k)k)中中2 2r r-1=n-1=n，就有可能构造出能纠正一，就有可能构造出能纠正一位或一位以上误码的线性分组码。位或一位以上误码的线性分组码。第22页/共43页2、汉明码、汉明码n n汉明码汉明码(Hamming Code)(Hamming Code)是由是由Ric
17、hardHammingRichardHamming于于19501950年提出的，它属于线性分组编码方式，用年提出的，它属于线性分组编码方式，用以纠正单个错误的线性分组码，在软件无线电以纠正单个错误的线性分组码，在软件无线电中应用广泛。中应用广泛。n n其基本原理是其基本原理是:n n 将信息码元与监督码元通过线性方程式联系将信息码元与监督码元通过线性方程式联系起来，每一个监督位被编在传输码字的特定比起来，每一个监督位被编在传输码字的特定比特位置上。系统对于错误的数位无论是原有信特位置上。系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加监督位中的都能把它分离息位中的，还是附加监督位中的都能把它分
18、离出来。出来。第23页/共43页它有以下特征：它有以下特征：n n码码 长长 n n=2=2m m 1 1n n信息位数信息位数 k k=2=2m m m m 1 1n n监督码位监督码位 r r=n n k k=m mn n最小距离最小距离 d d=3=3n n纠错能力纠错能力 t t=1=1n n这里这里m m为大于等于为大于等于2 2的正整数，给定的正整数，给定m m后，即可构造出具体的后，即可构造出具体的(n,kn,k)汉明码。汉明码。n n假设假设k k为为4 4，要求能纠正一位误码，则根据条件，要求能纠正一位误码，则根据条件2 2r r-1=n-1=n，得，得r=3r=3，现取，现
19、取3 3，则，则构成（构成（7 7，4 4）汉明码。）汉明码。第24页/共43页（7，4）汉明码）汉明码n n用用a0a0、alal、a2a2、a3a3、a4a4、a5a5、a6a6表示这表示这7 7个码元，个码元，n n用用S1S1、S2S2、S3S3表示由三个监表示由三个监督方程式计算得到的校正子，督方程式计算得到的校正子，n n并假设三位并假设三位S1S1、S2S2、S3S3校正校正子码组与误码位置的对应关子码组与误码位置的对应关系如下表所示。系如下表所示。S1S2S3误码位误码位置置S1S2S3误码位误码位置置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000
20、无错无错l（7，4）码校正子与误码位置）码校正子与误码位置第25页/共43页n n当误码位置在当误码位置在a2a2、a4a4、a5a5、a6a6时，时，n n校正子校正子S1S11 1；否则；否则S1S10 0。n n因此有因此有:S1 S1a6a6 a5a5 a4a4 a2a2n n同理有同理有 S2S2a6a6 a5a5 a3a3 a1a1n n S3 S3a6a6 a4a4 a3a3 a0a0。由表可知：由表可知：第26页/共43页n n在编码时在编码时:n na6a6、a5a5、a4a4、a3a3为信息码元，为信息码元，n na2a2、a1a1、a0a0为监督码元。为监督码元。n n则
21、监督码元可由以下监督方程唯一确定：则监督码元可由以下监督方程唯一确定：0 0a6a6 a5a5 a4a4 a2a20 0a6a6 a5a5 a3a3 a1a10 0a6a6 a4a4 a3a3 a0a0 也即：也即：a2 a2 a6a6 a5a5 a4a4 a1 a1 a6a6 a5a5 a3a3 a0 a0 a6a6 a4a4 a3a3第27页/共43页由上面方程可得到由上面方程可得到16个许用码组：个许用码组：n n在接收端收到每在接收端收到每个码组后，计算个码组后，计算出出S1S1、S2S2、S3S3，如果不全为如果不全为0 0，则表示存在错误，则表示存在错误，可以由下表确定可以由下表确
22、定错误位置并予以错误位置并予以纠正。纠正。信 息 位监 督 位信 息 位监 督 位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a00000000100100011010001010110011100001110111011010101100010001001101010111100110111101111111100010001001010100111第28页/共43页例如：例如：n n收到码组为0000011，可算出S1S2S3=011,由表可知在a3上有一误码。通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为dmin3，它能纠正一个误码或检测两个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠
23、”出现新的误码。第29页/共43页监督矩阵监督矩阵0a6a5a4a20a6a5a3a10a6a4a3a0可写成：01a6+1a5+1a4+0a3+1a2+0a1+0a001a6+1a5+0a4+1a3+0a2+1a1+0a001a6+0a5+1a4+1a3+0a2+0a1+1a0用矩阵表示为：用矩阵表示为：1110100 0 1101010 a6a5a4a3a2a1a0 T=0 1011001 0简化为：简化为：HAT=0T 其中其中H称为监督矩阵称为监督矩阵第30页/共43页H可以分成两部分：可以分成两部分：n n 1110 100n n 1101 010 =PIrn n 1011 001n
24、 n其中P为信息位矩阵，Ir为rXr阶的单位矩阵n n生成矩阵G：G=IkPTn n根据生成矩阵和已知的信息码元可产生整个码组。A=a6a5a4a3G第31页/共43页扩展汉明码扩展汉明码n n汉明码如果再加上一位对所有码元都进行校验的监督位，则监督汉明码如果再加上一位对所有码元都进行校验的监督位，则监督码元由码元由m m增至增至m m+1+1，信息位不变，码长由，信息位不变，码长由2 2m m 1 1增至增至2 2m m，通常把这，通常把这种（种（2 2m m，2 2m m 1 1 m m）码称为扩展汉明码。扩展汉明码的最小码距）码称为扩展汉明码。扩展汉明码的最小码距增加为增加为4 4，能纠
25、正，能纠正l l位错误同时检测位错误同时检测2 2位错误。简称纠位错误。简称纠1 1检检2 2错码。其错码。其实质上是在原汉明码的每个码组后面增加实质上是在原汉明码的每个码组后面增加1 1位偶监督码元。位偶监督码元。n n例如例如(7,4)(7,4)汉明码可变成汉明码可变成(8,4)(8,4)扩展汉明码（又称增余汉明码）。扩展汉明码（又称增余汉明码）。第32页/共43页循环码循环码循环码循环码：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了：循环码是一种特殊的线性分组码，它除了具有群码的封闭性外，还有一个特性就是循环性。具有群码
26、的封闭性外，还有一个特性就是循环性。具有群码的封闭性外，还有一个特性就是循环性。具有群码的封闭性外，还有一个特性就是循环性。按模运算按模运算第33页/共43页n n为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式来表示，称为码多项式。设许用码组来表示，称为码多项式。设许用码组 C C=（c c n n 1 1 c c n n 2 2 c cl l c c0 0）n n对应的码多项式可表示为对应的码多项式可表示为 C C（x x）=c c n n 1 1 x x n n 1 1+c c n n 2 2 x x n n 2 2+c cl l x x+c c0 0
27、n n其中多项式的系数就是码字各分量的值，其中多项式的系数就是码字各分量的值，x x为一为一个任意实变量，其幂次个任意实变量，其幂次i i代表该分量所在位置。代表该分量所在位置。第34页/共43页循环码中的几个定理循环码中的几个定理n n1 1、若、若C C(x)x)是是n n长循环码中的一个码多项式，则长循环码中的一个码多项式，则x xi iC(C(x x)按模（按模（x x n n+1+1）运算的余式必为循环码）运算的余式必为循环码中另一码多项式。中另一码多项式。n n2 2、一个二进制中（、一个二进制中（n n，k k）循环码中有惟一的循环码中有惟一的r=n-kr=n-k次多项式次多项式
28、g g(x x)，且其常数项为，且其常数项为l l。如果一。如果一个码的所有码多项式都是多项式个码的所有码多项式都是多项式g g(x x)的倍式，的倍式，则称则称g g(x x)生成该码，且称生成该码，且称g g(x x)为该码的生成多为该码的生成多项式，所对应的码字成为生成子或生成子序列。项式，所对应的码字成为生成子或生成子序列。n n 3 3、设、设g(g(x x)是（是（n n，k k）循环码循环码 C C(x x)中的一个中的一个次数最低的多项式（次数最低的多项式（g g(x x)0)0），则该循环码），则该循环码由由g g(x x)生成，并且生成，并且g g(x x)是（是（x x
29、n n+1+1）的一个因）的一个因式。式。第35页/共43页从以上讨论中，可得到几个重要结论：从以上讨论中，可得到几个重要结论：从以上讨论中，可得到几个重要结论：从以上讨论中，可得到几个重要结论：n n在二元或在二元或GF(2)GF(2)上找一个上找一个(n,kn,k)循环码，就是找一个能循环码，就是找一个能除尽除尽x x n n+1+1的的n-kn-k次首次首1 1多项式多项式g g(x x)，为了寻找生成多项式，为了寻找生成多项式，必须对必须对x x n n+1+1进行因式分解，这可用计算机来完成。进行因式分解，这可用计算机来完成。n n对于某些对于某些n n值，值，x x n n+1+1
30、只有很少的几个因式，因而码长只有很少的几个因式，因而码长为为n n的循环码也不多。仅对于很少的几个的循环码也不多。仅对于很少的几个n n值，才有较值，才有较多的因式。多的因式。n n如果如果C C(x x)是是(n,kn,k)码的一个码多项式，则码的一个码多项式，则g g(x x)一定除尽一定除尽C C(x x)。反之，若。反之，若g g(x x)|)|C C(x)x)，则次数小于等于，则次数小于等于n n-1-1的的C C(x x)必是码的码多项式。也就是说若必是码的码多项式。也就是说若C C(x x)是码多项式，则是码多项式，则 n n C C(x x)0 mod g()0 mod g(x
31、 x)第36页/共43页例：多项式例：多项式例：多项式例：多项式x x 7 7+1=+1=（x x+1+1）（）（）（）（x x 3 3+x x+1+1）（）（）（）（x x 3 3+x x 2 2+1+1），构造一），构造一），构造一），构造一个个个个(7,3)(7,3)循环码循环码循环码循环码n n要构造一个要构造一个(7,3)(7,3)循环码，就是在循环码，就是在x x 7 7+1+1中找一个中找一个n kn k=4=4次的因式次的因式g g(x x)，作为码的生成多项式，由它的一切倍式，作为码的生成多项式，由它的一切倍式就组成了就组成了(7,3)(7,3)循环码。循环码。n n若选若选
32、g g(x x)=)=（x x 3 3+x x+1+1）（）（x x+1+1）=x x4 4+x x3 3+x x2 2+1+1，该，该码的八个码字可由码的八个码字可由g g(x x)，x x g g(x x)，x x2 2 g g(x x)的线性组合产生出的线性组合产生出来，而且这三个码多项式是线性无关的，它们构成一组来，而且这三个码多项式是线性无关的，它们构成一组基底。所以生成的循环子空间（循环码）是一个三维子基底。所以生成的循环子空间（循环码）是一个三维子空间空间VV7 7，3 3，对应于一个，对应于一个(7,3)(7,3)循环码。循环码。n n若选若选g g(x x)=)=（x x+1
33、+1）（）（x x3 3+x x2 2+1+1）=x x4 4 +x+x2 2+x x+l+l，则，则生成另一个循环码。生成另一个循环码。n n由此可知，只要知道了由此可知，只要知道了x x n n +l+l的因式分解式，用它的各的因式分解式，用它的各个因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。个因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。第37页/共43页循环码的编码方法循环码的编码方法 1 1、首首先先根根据据给给定定的的(n n,k k)值值选选定定生生成成多多项项式式g g(x x)。1 1）g(x)g(x)是一个（是一个（n nk k）次多项式）次多项式 2 2）g(x)g(x)的常数项不
34、为的常数项不为0 0 3 3）g(x)g(x)是是x xn n1 1的一个因子的一个因子第38页/共43页2、冗余码的计算、冗余码的计算1)把信息码元多项式m(x)乘xn-k，得T(x)；2)用g(x)除T(x)，得到余式r(x)；3)余式r(x)即为循环冗余码，它作为监督码元加于信息码元后面。4）写出码多项式C(x)=T(x)r(x)即，即，在在m(x)m(x)后面添加后面添加n n个个0 0第39页/共43页监督位信息位例例例例(7,3)(7,3)循环码循环码循环码循环码 m(x)=xm(x)=x2 2+x,g(x)=x+x,g(x)=x4 4+x+x2 2+x+1x+1n n解 r(x)
35、第40页/共43页在接收端的检错在接收端的检错设接收端接收到的数据为R(x)那么，进行R(x)/g(x)运算如果：1、余数为零 2、余数不为零没有出错，或出错概率很低没有出错，或出错概率很低有错有错第41页/共43页循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵 一个一个 n,kn,k 线性分组码是线性分组码是n n维线性空间中的一个维线性空间中的一个k k维子空间，同样，一个维子空间，同样，一个 n,kn,k 循环码也是循环码也是n n维线性空间中的一个维线性空间中的一个k k维子空间。因此，只要找出维子空间。因此，只要找出k k个线个线性无关的码多项式，就可通过线性组合得到所有码多项式。性无关的码多项式，就可通过线性组合得到所有码多项式。n n由于码的生成多项式由于码的生成多项式g g(x x)是是n-kn-k次的，所以次的，所以g g(x x)，xgxg(x x)，x x2 2g g(x x)，x xk k-1 1g g(x x)都是线性无关的，可得码的生成矩阵：都是线性无关的，可得码的生成矩阵：n nG G=x xk k-1-1g g(x x)n n n n xg xg(x x)n n g g(x x)第42页/共43页