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1、命题的概念命题的概念(1)定义：可以定义：可以_的陈述句叫作命题的陈述句叫作命题(2)真假命题：命题中真假命题：命题中_的语句叫作真命题，的语句叫作真命题，_的语句叫作假命题的语句叫作假命题(3)命题的一般形式：命题的一般形式为命题的一般形式：命题的一般形式为“_”通通常，命题中的常，命题中的p叫作叫作_，q叫作叫作_想一想想一想：判断命题真假的依据是什么？判断命题真假的依据是什么？提示提示客观事实或已学过的公理、定理等客观事实或已学过的公理、定理等自学导引自学导引1判断真假判断为真判断为假若p，则q命题的条件命题的结论第1页/共28页四种命题及其表示四种命题及其表示一般地，用一般地，用p和和
2、q分别表示原命题的条件和结论，那么，分别表示原命题的条件和结论，那么，对对p和和q进行进行“_”和和“_”后，一共可以构成四种后，一共可以构成四种不同形式的命题：不同形式的命题：原命题：若原命题：若p则则q；逆命题：将条件和结论逆命题：将条件和结论“换位换位”，即若，即若_则则_；否命题：条件和结论否命题：条件和结论“换质换质”，即分别否定；，即分别否定；逆否命题：条件和结论逆否命题：条件和结论“换位换位”又又“换质换质”，即分别，即分别_，且位置，且位置_2换位换质qp否定互换第2页/共28页想一想想一想：在四个命题中，原命题是固定的吗？在四个命题中，原命题是固定的吗？提示提示不是原命题是人
3、为指定的是相对于其他三种不是原命题是人为指定的是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式研究它的其他形式第3页/共28页四种命题的相互关系四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系四种命题的相互关系3第4页/共28页(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：系：原命题为真，它的逆命题原命题为真，它的逆命题_原命题为真，它的否命题原命题为真，它的否命题_ 原命题为真，它的逆否命题原命题为真，它的逆否命题_不一定为真不一定
4、为真一定为真第5页/共28页命题的判断与构成命题的判断与构成(1)命题的判定：命题的判定：并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断真假一般地，疑问句、祈使句、感叹关键在于能否判断真假一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题句都不是命题(2)命题的构成：一般地，命题是由条件和结论两部分组命题的构成：一般地，命题是由条件和结论两部分组成有些命题中没有明确的条件和结论，即不是成有些命题中没有明确的条件和结论，即不是“若若p，则，则q”的形式，为了找到命题的条件和结论，我们把命题改写的形式，为了找到命题的条件和结论，我们把命题改写
5、成成“若若p，则，则q”的形式，其中的形式，其中p是命题的条件，是命题的条件，q是命题的结是命题的结论论名师点睛名师点睛1第6页/共28页命题真假的判断命题真假的判断(1)命题分为真命题和假命题两种，一个命题要么是真命题分为真命题和假命题两种，一个命题要么是真命题，要么是假命题，不可能既是真命题又是假命题命题，要么是假命题，不可能既是真命题又是假命题(2)“若若p，则，则q”形式的命题的真假判定方法：若由已知形式的命题的真假判定方法：若由已知条件条件p经过正确的逻辑推理后能够推出结论经过正确的逻辑推理后能够推出结论q成立则成立则可判定命题可判定命题“若若p，则，则q”是真命题，否则就是假命题是
6、真命题，否则就是假命题另外，判定一个命题是假命题，只需举一个反例即可另外，判定一个命题是假命题，只需举一个反例即可如如“x2是负数是负数”是假命题，因为当是假命题，因为当x0时，时，x20不是负数不是负数(3)数学中的公理、定理、公式等都是真命题数学中的公理、定理、公式等都是真命题2第7页/共28页关于否命题、逆否命题中的关于否命题、逆否命题中的“否定否定”将命题中的条件、结论进行否定时，要注意正面词语与将命题中的条件、结论进行否定时，要注意正面词语与它的否定词语的正确转换在数学中，从集合的观点来它的否定词语的正确转换在数学中，从集合的观点来解释，就是：解释，就是：“取其补集为否定取其补集为否
7、定”例如：例如：“至多三个至多三个”(3)其否定为其否定为“至少四个至少四个”(3即即4)下表给出了一些常见的关键词及其否定形式下表给出了一些常见的关键词及其否定形式.3关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有 至多有一个 至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于第8页/共28页题型一题型一命题及其真假的判定命题及其真假的判定 判断下列语句是否是命题，若是，判断真假，并说判断下列语句是否是命题，若是，判断真假，并说明理由明理由(2)若若xR，则，则x24x70.(3)你是高一学生吗？你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数一个正整数不是
8、质数就是合数(5)xy是有理数，则是有理数，则x、y也都是有理数也都是有理数(6)60 x94.思路探索思路探索 判断一个语句是不是真命题，就是要看它判断一个语句是不是真命题，就是要看它是否符合是否符合“是陈述句是陈述句”和和“可以判断真假可以判断真假”这两个条这两个条件件【例1】第9页/共28页解解(1)祈使句，不是命题祈使句，不是命题(2)是真命题，因为是真命题，因为x24x7(x2)230对于对于xR，不等式恒成立，不等式恒成立(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题是疑问句，不涉及真假，不是命题(4)是假命题，正整数是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数既不是质数，也不是合数(6)不是命
9、题，这种含有未知数的语句，未知数的取值不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定能否使不等式成立，无法确定规律方法规律方法 判断一个语句是否是命题，关键看两点：第判断一个语句是否是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假一一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题第10页/共28页 下列语句是否是命题，若是命题，试判断其真下列语句是否是命题，若是命题，试判断其真假假(1)4是集合是集合1，2，3的元素；的元素；(2)三角函数是函数；三角函数是函数；(3)2比比1大
10、吗？大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行若两条直线不相交，则两条直线平行解解(1)是命题，且是假命题；是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是是疑问句，不是命题；命题；(4)是命题，且是假命题是命题，且是假命题【变式1】第11页/共28页 把下列命题写成把下列命题写成“若若p则则q”的形式，并写出它们的逆的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题命题、否命题与逆否命题(1)正数的平方根不等于正数的平方根不等于0；(2)当当x2时，时，x2x60；(3)对顶角相等对顶角相等思路探索思路
11、探索 由原命题写出其他三个命题关键在于弄清由原命题写出其他三个命题关键在于弄清命题的条件和结论，对于不是命题的条件和结论，对于不是“若若p，则，则q”形式的命题，形式的命题，则应先将命题改写成则应先将命题改写成“若若p，则，则q”的形式，再写出其他的形式，再写出其他三种命题在写出否命题和逆否命题时，还需对条件三种命题在写出否命题和逆否命题时，还需对条件和结论进行否定，这就需要熟练掌握一些常见的词语和结论进行否定，这就需要熟练掌握一些常见的词语和词语的否定和词语的否定题型题型二二四种命题及真假判断四种命题及真假判断【例2】第12页/共28页解解(1)原命题：原命题：“若若a是正数，则是正数，则a
12、的平方根不等于的平方根不等于0”逆命题：逆命题：“若若a的平方根不等于的平方根不等于0，则，则a是正数是正数”否命题：否命题：“若若a不是正数，则不是正数，则a的平方根等于的平方根等于0”逆否命题：逆否命题：“若若a的平方根等于的平方根等于0，则，则a不是正数不是正数”(2)原命题：原命题：“若若x2，则，则x2x60”逆命题：逆命题：“若若x2x60，则，则x2”否命题：否命题：“若若x2，则，则x2x60”逆否命题：逆否命题：“若若x2x60，则，则x2”(3)原命题：原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等若两个角是对顶角，则它们相等”逆命题：逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角若两个角
13、相等，则它们是对顶角”否命题：否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等”逆否命题：逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角若两个角不相等，则它们不是对顶角”第13页/共28页规律方法规律方法 本题主要考查四种命题的定义，分清原命本题主要考查四种命题的定义，分清原命题的条件与结论，利用四种命题的概念，是解题的关题的条件与结论，利用四种命题的概念，是解题的关键在写出四种命题时，若一个命题有大前提，则其键在写出四种命题时，若一个命题有大前提，则其他三种形式的命题的大前提始终保持不变他三种形式的命题的大前提始终保持不变第14页/共28页 对于命题对于命题“若数列若
14、数列an是等比数列，则是等比数列，则an0”，下列说法中正确的有下列说法中正确的有_(写出所有正确的序号写出所有正确的序号)它的逆命题是真命题；它的逆命题是真命题；它的否命题是真命题；它的否命题是真命题；它的逆否命题是假命题；它的逆否命题是假命题；它的否命题是假命题它的否命题是假命题答案答案【变式2】第15页/共28页 已知已知a，bR，求证：若，求证：若a3b33ab1，则，则ab1.证明：原命题证明较困难改证它的等价命题证明：原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题逆否命题)：已知已知a，bR，求证：若，求证：若ab1，则，则a3b33ab1.因为因为ab1，所以，所以a3b33ab(a
15、b)(a2abb2)3aba2abb23ab(ab)21.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确规律方法规律方法 (1)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题题(2)证明中，准确写出原命题的逆否命题是解题的关键证明中，准确写出原命题的逆否命题是解题的关键题型题型三三命题的等价性及其应用命题的等价性及其应用【例
16、3】第16页/共28页 判断命题判断命题“已知已知a、x为实数，如果关于为实数，如果关于x的不等的不等式式x2(2a1)xa220的解集非空，则的解集非空，则a1”的逆否命的逆否命题的真假题的真假解解法一法一逆否命题：已知逆否命题：已知a、x为实数，如果为实数，如果a1，则，则关于关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集的解集为空集判断如下：判断如下：抛物线抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，开口向上，判别式判别式(2a1)24(a22)4a7，因为因为a1，所以，所以4a70.即抛物线即抛物线yx2(2a1)xa22与与x轴无交点，轴无交点，所以关于所以关于x的不等式的
17、不等式x2(2a1)xa220的解集为的解集为空集，故逆否命题为真空集，故逆否命题为真【变式3】第17页/共28页法二法二先判断原命题的真假先判断原命题的真假因为因为a、x为实数，且关于为实数，且关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，的解集非空，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真法三法三利用集合的包含关系求解利用集合的包含关系求解命题命题p：关于：关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220有非空有非空解集，命题解集，命题q：a1.第18页/共28页q：Ba|a1因为因为AB，所以，所以“若若p，则，则q”为真，为
18、真，所以所以“若若p，则，则q”的逆否命题的逆否命题“若非若非q，则非，则非p”为真为真即原命题的逆否命题为真即原命题的逆否命题为真第19页/共28页 (14分分)已知集合已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若命题，若命题“AB”是假命题，求实数是假命题，求实数m的取值范围的取值范围规范解答规范解答 因为因为“AB”是假命题，所以是假命题，所以AB.设全集设全集Um|(4m)24(2m6)0，题型题型四四命题的综合应用命题的综合应用【例4】第20页/共28页第21页/共28页【题后反思题后反思】本题若从正面分析，首先要使本题若从正面分析，首先要使0，然，然后分两个负根，一正根一负根，
19、一负根一零根，三种后分两个负根，一正根一负根，一负根一零根，三种情况求并集再与情况求并集再与0求交集，这样解题十分繁琐，故采求交集，这样解题十分繁琐，故采用用“正难则反正难则反”思想简化解题过程思想简化解题过程第22页/共28页 已知非空集合已知非空集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若命题，若命题“AB”是真命题，求实数是真命题，求实数m的取值的取值范围范围【变式4】第23页/共28页 化归与转化思想，就是在研究和解决数学问题时化归与转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，将问题通过变换加以转化，进而达到采用某种方式，将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想转化是将数学
20、命题由一种形式向另解决问题的思想转化是将数学命题由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问题通过某一种形式变换的过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题题 常见的转化有：等与不等的相互转化、正与反的常见的转化有：等与不等的相互转化、正与反的相互转化、特殊与一般的相互转化、整体与局部的相相互转化、特殊与一般的相互转化、整体与局部的相互转化、高维与低维的相互转化、数与形的相互转化、互转化、高维与低维的相互转化、数与形的相互转化、函数与方程的转化函数与方程的转化方法技巧化归与转化思想方法技巧化归与转化思想
21、第24页/共28页 已知函数已知函数f(x)在在(，)上是增函数，上是增函数，a、bR，对命题，对命题“若若ab0，则，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论思路分析思路分析(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清楚判断一个命题的真假时，首先要弄清楚命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理来判定系其他相关的知识，经过逻辑推理来判定(2)要说明一
22、个命题为真命题，必须由条件及相关知识，要说明一个命题为真命题，必须由条件及相关知识，通过严格的逻辑推理得到结论；而要证明一个命题为通过严格的逻辑推理得到结论；而要证明一个命题为假命题，只需举一个反例即可假命题，只需举一个反例即可【示例】第25页/共28页解解(1)逆命题：若逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则，则ab0，为真命题，为真命题用间接法证明：假设用间接法证明：假设ab0，则，则ab，ba，f(x)在在(，)上为增函数，则上为增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)这与题设相矛盾，所以逆这与题设相矛盾，所以逆命题为真命题命题为真命题(2)
23、逆否命题：若逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则，则ab0，为真命题为真命题因为一个命题因为一个命题它的逆否命题，所以可由证明原命题为真它的逆否命题，所以可由证明原命题为真命题来证命题来证第26页/共28页ab0，ab，ba.又又f(x)在在(，)上是增函数，上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为真命题所以逆否命题为真命题方法点评方法点评 由于原命题与逆否命题有相同的真假性，所由于原命题与逆否命题有相同的真假性，所以我们在证明某一个命题有困难时，可以通过证明它以我们在证明某一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题的真假性，从而间接地证明原命题的真假的逆否命题的真假性，从而间接地证明原命题的真假性反之，也成立性反之，也成立第27页/共28页