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1、1频谱周期信号为 f(t)，周期为T，其傅里叶级数为相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性指数形与三角形傅氏指数形与三角形傅氏级数的关系级数的关系第1页/共58页2l频谱图l振幅频谱图：l横坐标频率(角频率)；l纵坐标各谐波振幅l直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。第2页/共58页3l频谱图l相位频谱图：l横坐标频率(角频率)；l纵坐标各谐波相位l 只在 n 处有意义，即不连续，故称为离散频谱。第3页/共58页4例例先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，且所有项都表示为带正振幅的余弦项。三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图请画出其幅度谱和相位谱。三角函数形
2、式的傅里叶三角函数形式的傅里叶级数的谱系数级数的谱系数 注意：振幅频谱必然位于横轴的上方；相位频谱中的角度的绝对值不能大于 。谱线包络线第4页/共58页5化为指数形式化为指数形式请画出其幅度谱和相位谱。谱线谱线第5页/共58页6谱线谱线指数形式的频谱图指数形式的频谱图第6页/共58页7三角形式与指数形式的频谱图对比三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。指数型傅里叶谱又叫双边谱双边谱（在正负频率处均存在），三角型傅里叶谱又叫单边谱单边谱。振幅谱：直流分量一样，其它情
3、况双边谱振幅是单边谱振幅的一半。相位谱两者在n0时相同。双边振幅谱偶对称，相位谱奇对称。第7页/共58页8解：的振幅谱和相位谱画出周期信号例52 1 2 3 4 5 6 710 1 2 3 4 5 6 7第8页/共58页9，试画出其单边谱和双边谱。已知tttf3cossin1)(+=单边谱 0 1 2 3单边相位谱 0 1 2 31单边幅度谱例第9页/共58页10 0 1 2 3113 2 33 2，试画出其单边谱和双边谱。已知tttf3cossin1)(+=例第10页/共58页11三角形式与指数形式的频谱图对比 0 1 2 3113 2 33 2 0 1 2 3单边相位谱 0 1 2 31单
4、边幅度谱第11页/共58页12如图所示为单位冲激序列求其傅里叶级数与频谱。0 T 2T t(1)例第12页/共58页13已知某周期信号三角型傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数型傅氏级数的傅里叶谱图。0 3 6 9 12例0 3 6 9 121612 8 4第13页/共58页140 3 6 9 121680 3 6 9 120 3 6 9 12160 3 6 9 12第14页/共58页15周期矩形脉冲的频谱第15页/共58页16周期周期T不变，不变，脉冲宽度脉冲宽度 变化变化f(t)to22T(a)FnE2 ow w5t t4 t t2 TW Wf(t)t
5、oT(b)Eow w104 FnEEW WW W2t t第一个过零点：谱线间隔第一个过零点增加一倍谱线间隔不变脉冲宽度缩小一倍幅值减小一倍第16页/共58页17周期周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化第17页/共58页18结 论 由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，即 ，称为信号的带宽，确定了带宽。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。第18页/共58页19脉冲宽度脉冲宽度 不变不变,周期周期T变化变化f(t)tot t2T(a)FnEow w52 TW Wf(t)toT(b)Eow w10FnEEt t2t t2t t22T2 t t2
6、 TW W2 t tW WW W4 t t4 t t第一个过零点谱线间隔谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍 周期T扩展一倍第19页/共58页20脉冲宽度脉冲宽度 不变不变,周期周期T变化变化第20页/共58页21结 论 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 ，带宽不变。T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。T 时，谱线间隔 0，这时：周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱第21页/共58页22周期信号频谱的特点唯一性：一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。谐波性：频
7、谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。第22页/共58页23周期信号频谱的特点频带宽度理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率较低的一部分分量。周期信号的频带宽度从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽。包络线为抽样函数的频谱的频带宽度从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的频率(2/)之间的频率范围。一般信号的频谱的的频带宽度从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度）与频宽成反比；时间
8、函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。减小，频宽加大，当0时，频宽也无限趋大，此时，信号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限大的全频段。第23页/共58页24周期信号频谱的特点离散频谱与连续频谱时域中连续的周期函数，它的频谱在频域中是离散的非周期函数。当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当 T （周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。即，时域中连续的非周期函数，它的频谱在频域中是连续的非周期函数。第24页/共58页253 非周期信号的频谱与傅里叶变换l非周期信号的傅里叶变换l非周期信号的频谱l周期信号
9、与非周期信号的频谱比较第25页/共58页26非周期信号的傅里叶变换非周期信号：T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，离散频率n变成连续频率。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但FnT 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(j)。单位频带上的频谱值（复振幅）。可理解成各频率分量沿频率轴的分布，具有密度的量纲和概念，故称为频率密度函数。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱。但与周期信号的频谱概念上的不一样。第26页/共58页27非周期信号的傅里叶变换对傅里叶变换傅里叶变换傅里叶反变换傅里叶反变换简记：简记：F(jF(j )=)=F F f f (t(t)称频谱函数；称频谱函数；或记为：
10、或记为：f f (t(t)=F(jF(j )称为原函数。称为原函数。一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为 f(t)应满足绝对可积，即要求 第27页/共58页28与周期信号的傅里叶级数类似，一般为复函数称为幅频特性；称为相频特性。频率特性频率特性第28页/共58页29傅里叶变换的三角形式 求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号无穷多个振幅为无穷多个振幅为 无穷小的连续余弦信号之和，无穷小的连续余弦信号之和，频域范围：频域范围：无穷多个振幅为无穷多个振幅为 无穷小的连续余弦信号之和，无穷小的连续余弦信号之和，频域范围：频域范围：第29页/共58页30解：据傅里叶变换的定义有单个矩形脉冲频谱A第30页
11、/共58页31A单个矩形脉冲频谱幅度频谱：相位频谱：第31页/共58页321T周期信号 与频谱 一一对应1/40例如时域：连续、周期频域：离散、非周期周期信号与频谱第32页/共58页33非周期信号 与频谱F F(j(j)一一对应 11/4时域：连续、非周期频域：连续、非周期非周期信号与频谱例如第33页/共58页341/4周期T改变时，频谱的振幅和谱线间隔改变，但包络形状不变，即各频率分量振幅的比例关系不变。周期信号与非周期信号的频谱比较周期信号非周期信号1/40频谱连续；频率分量的复振幅为无穷小量；信号能量分布在所有频率分量上，但每个频率分量所包含的能量为无穷小量。频谱离散；频率分量的复振幅为
12、有限值；信号能量集中在一些离散的谐波分量中。大部分能量集中在低频段，即信号频带有限；脉冲的频带宽度和脉冲持续时间成反比；当脉宽足够小（窄脉冲）时，其频谱函数为一个等于脉冲面积的常数。第34页/共58页35傅里叶变换的解释基本思想任意信号任意信号 f f(t)t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号 ，它包括了一切频率，且各分量的幅值它包括了一切频率，且各分量的幅值 无穷小。这样系统无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：的输入和输出的关系为：线性非时变系统(零状态)第35页/共58页364 常用信号的傅里叶变换l矩形脉冲（门函数）l三角脉冲信号l单边指数信
13、号l双边指数信号l冲激信号l冲激偶l特殊信号l直流信号l符号函数l阶跃信号第36页/共58页37矩形脉冲（门函数）幅度频谱：相位频谱：第37页/共58页380三角脉冲信号频谱第38页/共58页39单边指数函数第39页/共58页40频谱图幅度频谱：相位频谱：第40页/共58页41双边指数函数otAeateat(a 0)f(t)F(jw)woa2A第41页/共58页42求f(t)的频谱函数。of(t)t1eateat(a 0)1X(w)woa1a1例第42页/共58页43冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而求。而(t)不满足绝对可积条件，不不满足绝对可积条
14、件，不能用定义求。能用定义求。脉冲宽度无限趋小后，频带具有无限宽度：(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。(t)实际上无法实现。时域无限窄，频带无限宽()jw wF1w wO第43页/共58页44冲激函数傅里叶反变换不满足绝对可积条件，不能直接用定义求借助于双边指数函数频谱在0时的极限：则otAeateat(a 0)f(t)t=0时无穷大，其余时刻都为0冲激函数性质。冲激强度第44页/共58页45直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求第45页/共58页46直流信号时域无限宽，频带无限窄w wO()E2()jw wF第46页/共58页47比较第47页/共58页48符号
15、函数处理方法：teatea做一个双边函数不满足绝对可积条件第48页/共58页49频谱图w w2w w)(jw wFO第49页/共58页50单位阶跃函数第50页/共58页515 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号可表示为周期信号可表示为:上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频中在基频和它所有谐波频率上。也可以说明，和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。第51页/共58页52举 例【例【例 1 1】冲激串函数冲激串函数 T(T(t)t)周期为=2/T第52页/共58页53举 例
16、【例【例 2 2】周期函数的频谱】周期函数的频谱周期函数周期函数 ，其中：，其中：为第一个周期，为第一个周期，为冲激串。为冲激串。若若 ，根据时域卷积定理：，根据时域卷积定理：周期函数的傅里叶变换的一般公式第53页/共58页54举 例【例【例 3 3】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换周期矩形脉冲信号的傅里叶变换第一个周期：第一个周期：故信号的频谱为：故信号的频谱为：显然这是显然这是T=2T=2 的频谱图的频谱图第54页/共58页55求傅里叶变换的思路四个基本信号的傅里叶变换二十一个常用信号的傅里叶变换所有信号的傅里叶变换利用傅里叶变换的性质利用已知信号推广求信号的傅里叶变换是一个难点,也是进入变换域分析的第一个积分变换!第55页/共58页56常用傅里叶变换对第56页/共58页57常用傅里叶变换对第57页/共58页58感谢您的观看！第58页/共58页