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1、 2020 年秋浙教版九年级数学上册期末压轴题训练（30 道题 含答案）一、解答题（共 30 题）1.已知：如图，在ABC 中，AB=AC ， 点 D、E 分别在边 BC、DC 上，AB =BE DC，2DE:EC=3:1 ， F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G （1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由；（2）当 DF 平分ADC 时，求 DG:DF 的值；（3）如图，当BAC=90，且 DFAE 时，求 DG:DF 的值2.已知在平面直角坐标系B 的左侧），且 AB=6.中，抛物线与轴交于点 A、B（点 A 在点xxOyy = mx 2mx + 4(m 0)2（1）
2、求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在 y 轴上取点E（0,2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF ， 如果 S四边形 OEFB = 10 ，求点 F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 轴上且在点 B 左侧，如果直线 PFx与 y 轴的夹角等于EBF ， 求点 P 的坐标.3.已知：如图，在 RtABC 和 RtACD 中，AC=BC，ACB=90，ADC=90，CD=2，(点 A、B 分别在直线 CD 的左右两侧)，射线 CD 交边 AB 于点 E，点 G 是 RtABC 的重心，射线 CG 交边 AB于点 F，AD=x，CE=y.
3、 （1）求证：DAB=DCF.（2）当点 E 在边 CD 上时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围.（3）如果CDG 是以 CG 为腰的等腰三角形，试求 AD 的长.4.如图，已知四边形 ABCD 中，ABDC ， ABDC ， 且 AB4cm，BC8cm，对角线 ACcm45（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）如图，点 Q 是 AC 上一点，点 P 是 BC 上一点，点 P 不与点 B 重合，AP ， 若 APBQ ， 求 BP 的值；，连接 BQ、5BP2CQ（3）如图，若动点 Q 从点 C 出发，以每秒cm 的速度在对角线 AC 上运动至点 A 止，过点 Q
4、作 BC5垂线于点 P ， 连接 PQ ， 将PQC 沿 PQ 折叠，使点 C 落在直线 BC 上的点 E 处，得PQE ， 是否存在某一时刻 t，使得EAQ 为直角三角形？请求出所有可能的结果5.我们知道：如图，点 把线段分成两部分，如果. 那么称点 为线段的黄金分ACBACBC = ABAB ACB割点.它们的比值为.512 （1）在图中，若，则的长为_ ；cmAC = 20cmAB（2）如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，CE20cm上，点 对应点 ，得折痕ABCDEF将折叠到. 试说明 是CG G的黄金分割点；CBCEBHABAD（3）如图，小明进一步探究：
5、在边长为 的正方形的边上任取点，连接E (AE DE)aABCD，作，交于点 ，延长、交于点 . 他发现当与满足某种关系时BCBECF BEABFEF的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.ABCBPPB、 恰好分别是、EFAD6.如图，四边形是正方形，点 是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形CFABCD按逆时针排列），连接 .BE, DGFADCF（CGFEC, G, F, E（1）当点 在线段上时.ADF求证：求证：；BE = DGCD FD = 2BE；（2）设正方形的面积为，正方形的面积为，以为原点的四边形的面积C, G, D, FABCDSCGFES12为，当 S = 13
6、时，请直接写出 S 的值.S21313S25S7.已知：菱形和菱形， ，起始位置点 在边上，ABCDABAD = B A DABCDAB点 在所在直线上，点 在点 的右侧，点在点的右侧，连接和ACACBBAABBA将菱形以 为旋转中心逆时针旋转 角（ 0 AB BABCDAB = BC = 5CD = 1到直线的距离为BEAD求的长BE若 M、N 分别是、边上的动点，求 MNC 周长的最小值ADAB14.如图，在矩形 ABCD 中，ADkAB（k0），点 E 是线段 CB 延长线上的一个动点，连接 AE，过点 A 作 AFAE 交射线 DC 于点 F.（1）如图 1，若 k1，则 AF 与 A
7、E 之间的数量关系是_；（2）如图 2，若 k1，试判断 AF 与 AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 k 的式子表示）（3）若 AD2AB4，连接 BD 交 AF 于点 G，连接 EG，当 CF1 时，求 EG 的长.15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点 O 是坐标原点，点 A 的坐标为 （ ， ） ，点 B 的坐标4 4 AOB为 （ ， ） ，动点 P 从 O 开始以每秒1 个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，设运动的时间为t 秒（6 00 ），过点 P 作轴，分别交于点 M，N.AO, ABt 4PN/x（1）填空：的长为_，的长为_ABAO（2）当时，求点 N 的坐标：t
8、 = 1（3）请直接写出的长为_（用含 t 的代数式表示）；MN （4）点 是线段上一动点（点 E 不与点重合），和的面积分别表示为和SEMNM, N AOE的积）的最大值为_.S ABE1，当时，请直接写出（即与S2t =43S SS121216.如图（1）（感知）如图，在四边形 ABCD 中，C=D=90，点 E 在边 CD 上，AEB=90，求证：= .AEEBDECB（2）（探究）如图，在四边形 ABCD 中，C=ADC=90，点 E 在边 CD 上，点 F 在边 AD 的延长线上，FEG=AEB=90，且=，连接 BG 交 CD 于点 H.求证：BH=GH.EFEGAEEB（3）（拓
9、展）如图，点 E 在四边形 ABCD 内，AEB+DEC=180，且交 AD 于点 F，若EFA=AEB，延长 FE 交 BC 于点 G.求证：BG=CG.=，过 E 作 EFAEEBDEEC17.矩形 ABCD 中，AB8，AD12.将矩形折叠，使点 A 落在点 P 处，折痕为 DE.（1）如图，若点 P 恰好在边 BC 上，连接 AP，求的值；APDE（2）如图，若 E 是 AB 的中点，EP 的延长线交 BC 于点 F，求 BF 的长.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于点，与 y 轴交于点 C ， 且y = x + bx + cA, B2直线过点B ， 与y 轴交于点D
10、 ， 点 C与点 D关于 x 轴对称点P 是线段上一动点，OBy = x 6过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M ， 交直线于点 N BD （1）求抛物线的函数解析式；（2）当 的面积最大时，求点 P 的坐标； MDB（3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q ， 使得以若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由三点为顶点的三角形是直角三角形，Q, M, N19.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON（1）求证：AM=BN；（2）请
11、判断OMN 的形状，并说明理由；（3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点），设 AK=x，OMN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（写出 x 的范围）；若点 K 在射线 AD 上运动，且OMN 的面积为，请直接写出 AK 长11020.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 （1）特例感知：如图（一），已知边长为 2 的等边的重心为点 O，求与 的面积 ABC ABC OBC（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点 O，请判断、 S是否都为定值？如果是， ABCODOAOBCSABC分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三）
12、，在正方形 中，点 E 是的中点，连接交对角线于点 MACABCD的长度；CDBE若正方形的边长为 4，求ABCDEM的面积若，求正方形S= 1ABCDCME21.如图所示，抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的y = x 2x 32顶点（1）求点 C 及顶点 M 的坐标（2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN CN、求面积的最大值及此时点 N 的 BCN坐标（3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由（4）直线
13、 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 ABC22.如图，已知抛物线 yax 过点 A（3， ）294（1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A ， M（ ，0）且与抛物线交于另一点 B ， 与 y 轴交于点 C ， 求证：MC322MAMB；（3）若点 P ， D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O ， C ， P ， D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标23.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为
14、对角线 AC 上一动点（点 E 与点 A，C 不重合），连接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD，AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G.（1）求证：EFDE；（2）当 AF2 时，求 GE 的长.24.如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F， 已知 OB=8.（1）求证：四边形 AEFD 为菱形.（2）求四边形 AEFD 的面积.（3）若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 D)，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G
15、，使得以点 A，P， Q，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由.25.探索规律如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、 BC、 AC 上，且 DF/BC，EF/AB.设ADF 的边DF 上的高为 h ， EFC 的边 CE 上的高为 h .12 （1）若ADF、EFC 的面积分别为 4 和 1，则 =_；h1h2（2）某校数学兴趣小组的同学对ADF、EFC、四边形 BDEF 的面积关系进行了研究设ADF、EFC、四边形 BDEF 的面积分别为 S 、 S 、S， EC 的长为 a，则 S =_ (用含 a 和 h 的式子表1222
16、示)；S =_ (用含 a、h 和 h 的式子表示)；S=_(用含 a、h 的式子表示)；从而得出 S=21121.s s1 2（3）解决问题如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，点 F、G 在 BC 上，且 DE/BC，DF/EG.若ADE、DBF.EGC 的面积分别为 2、3、 5，求ABC 的面积.26.如图，D是的外接圆，直线与相切于点，连接交于点BC O ABCEG OE, EG/BCAE（1）求证：平分 BAC；交AE（2）若 ABC 的平分线于点 F，且，求的长AFBFADDE = 3DF = 227.如图，是的外接圆，是的直径，点 D 在上，平分 BAD ，过
17、AC O ABCAB O O点 C 的切线交直径的延长线于点 E ， 连接、BCABAD（1）求证： ；BCE = CAD （2）若，求的长CEAB = 10, AD = 628.如图，AB 为O 的直径，D 是的中点，BC 与 AD，OD 分别交于点 E，F.BC（1）求证：ODAC；（2）求证：DC DEDA；2（3）若O 的直径 AB10，AC6，求 BF 的长.29.四边形 ABCD 是O 的圆内接四边形，线段 AB 是O 的直径，连结 ACBD点 H 是线段 BD 上的一点，连结 AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA 的延长线与 CD 的延长线相交与点 P（1）求证：四边形 A
18、DCH 是平行四边形；（2）若 ACBC，PBPD，AB+CD2（+1）55求证：DHC 为等腰直角三角形；求 CH 的长度30.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0，4），点 B 的坐标为（4，0），点 C的坐标为（-4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交Q 于点 F，连结 EF，BF。（1）求直线 AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时。求证：BDE=ADP； 设 DE=x，DF=y，请求出 y 关于 x 的函数
19、解析式；（3）点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由。 答案一、解答题1.（1）解：与ACD 相似的三角形有：ABE、ADC，理由如下：AB =BE DC ，2BE = ABAB DCAB=AC，B=C，BE = ACAB DCABEDCAAED=DACAED=C+EAC，DAC=DAE+EAC，DAE=CADECDA （2）解：ADECDA，DF 平分ADC，DG = DE = ADDFADCD设 CE=a，则 DE=3CE=3a，CD=4a，解得（负值已舍）AD = 23a3a
20、= ADAD 4a；DF = AD = 23a = 3DGCD4a2（3）解：BAC=90，AB=AC，B=C=45 ，DAE=C=45，DGAE，DAG=ADF=45，AG=DG=，2 AD= 2 23a = 6a22，EG= DE DG = 3a22AED=DAC ，ADEDFA，AD = AEDF AD2（ 6 3）a ， DF= AD = 4AE.DG = 2+2DF42. （1）解：将化为一般式得，y = mx 2mx + 4(m 0)2，y = m(x 1) + 4 m2 这条抛物线的对称轴为 x=1.又抛物线与 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6，x根据对
21、称性可得 A,B 两点的坐标分别为 A(-2，0),B(4，0).将 A 点坐标代入解析式，可解得 m=, 12所求抛物线的解析式为.y = 1 x + x + 422（2）解：设点 F 的坐标为（t,t +t+4），如图 1 可知2 12S=S+S四边形 OEFBOEFOBF= 2t+ 4（t +t+4）=10，211 1222解得，t=1 或 t=2,点 F 的坐标为或.(2,4)(1, 9)2（3）解：假设直线 PF 与 y 轴交于点 H,抛物线与 y 轴交于点 C,连接 CF，则根据题意得FHC=EBF,由（2）得点 F 的坐标为(2,4)，又点 C 坐标为(0,4),CFx 轴，过点
22、 F 作 FGBE 于点 G，有CFHGFB.在BEF 中，根据已知点坐标可以求得 BE=BF=2，EF=2，35根据面积法可求得 FG=,BG=85.6555设直线 FP 的解释式为 y=kx+b,则 OH=b,CH=4-b,CF = FG,CHBG65解得 b= .2 =4b= 3,4585543将点 F 的坐标（2,4）代入 FP 的解析式可得，k= ,43 即 FP 的解析式为 y= x+ ,4433令 y=0,可得 P 点坐标为（-1,0）.3. （1）证明：点 G 是 RtABC 的重心，CF 是 RtABC 的中线.又在 RtABC，AC=BC，ACB=90，CFAB，即AFC=
23、90.DEF=ADE+DAE=EFC+ECF，且ADE=EFC=90，DAB=DCF.（2）解：如图，过点 B 作 BHCD 于点 H.DAC = HCBAC = CBDCA = HBCCADBCH（ASA）.BH = CD = 2，CH = AD = x，DH = 2-x.ADC=BHC=90ADBH.AD = DEBH EH，.EH = 42xx = DEx+2 = DE+EH = DH2 EH EH2EHx+22.y = CE = CH + HE = x+ 42x = x +4 (0 x 2)x+2x+2（3）解：当 GC=GD 时，如图 1，取 AC 的中点 M，联结 MD.那么 MD
24、=MC，联结 MG，MGCD，且直线 MG 经过点 B.那么 BH 与 MG 共线. 又 CH=AD，那么 AD=CH=.1 CD = 12当 CG=CD 时，如图 2，即 CG=2，点 G 为ABC 的重心，AB=2CF=6，CF = CG = 332AC = AB = 3222.AD = AC CD = 18 4 = 1422综上所述，AD=1 或.144. （1）证明：ABDC，AB=DC，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=4，BC=8，AC=45AB +BC =80，AC =80，222AB +BC =AC ，222B=90，四边形 ABCD 是矩形；（2）解：如图， 过 Q 作
25、QEBC 于 E，则 CQECAB，CQ = CE = QECACBAB，CQ = CE = QE4584CQ= QE，CE=2QE，5 APBQ， ABC=90， ABPBEQ，AB = BP ，BEQEBE=BC-CE=8-2QE， BP=2CQ=2 QE，5 5BP=2QE，4= 2QE ，82QEQE QE=3，BP=6cm；（3）解：当AEQ=90时，由折叠的性质得 CQ=EQ= t，QPBC，EP=CP，5QPAB，CQPCAB， 即，CQ = PQCA AB5tPQ4 =45PQ=t，EP=CP=2t，AEQ=ABC=QPE=90，QEP+AEB=90，BAE+AEB=90，BA
26、E=QEP，ABEEPQ，AB = BE ， 即，4 = 84t2tEPPQtt= 秒.325. （1）105 10（2）解：如图，连接 GE，设 BG=x，则 GA=20-x，四边形 ABCD 是正方形，A=B=D=90，由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，GHC=B=90，AE=ED=10，在 RtCDE 中，CE=，ED + CD = 10522EH=，105 20在 RtGHE 中，在 RtGAE 中，GE = GH + EH = x + (105 20)22222,GE = AG + AE = (20 x) + 1002222，x + (105 20) = (20 x)
27、+ 100222解得：x=，105 10即，BG = 10510 = 51AB 202 是的黄金分割点ABG（3）解：当 PB=BC 时，、恰好分别是、的黄金分割点.ABEFAD理由：，CF BEBCF+CBE=90，又CBE+ABE=90，ABE=BCF，A=ABC=90，AB=BC，BAECBF（ASA），AE=BF，设 AE=BF=x，则 AF=a-x，ADBC 即 AEPB，即 x = ax ，AE = AFBP BFax，x + ax a = 022解得：或(舍去)，x = 5aax = 5aa22即 BF=AE=，5aa2，AE = BF = 51ADAB2、分别是、的黄金分割点E
28、FADAB6. （1）解：证明：四边形 和四边形都是正方形ABCDCGFEBCD = ECG = 90 ，BC = DC，EC = GC 即 BCD ECD = ECG ECDBCE = DCG BCE DCG(SAS)BE = DG证明：方法一：在线段上截，连接，设与相交于点CD MCDCH = FDHGFG四边形和四边形都是正方形ABCDCGFE ADC = CGF = 90，GC = GF MFD + FMD = 90 ，MCG + CMG = 90 FMD = CMGMFD = MCG FDG CHG(SAS)DG = HG，DGF = HGC DGF + FGH = HGC + FG
29、H = 90 ，即 DGH = 90在中，Rt DGHDH = DG + HG = 2DG2222DH = 2DG = 2BECD FD = CD HC = DHCD FD = 2BE方法二：连接AC四边形和四边形都是正方形CGFEABCDADC = FGC = 90 ，AD = DC，FG = CG，ACD = FCG = 45 即 ACD FCD = FCG FCDACF = DCG在和中，Rt FCGRt ADCAC = AD + CD = 2CD2222FC = FG + CG = 2CG2222AC = 2CD, FC = 2CGAC = FC = 2DCGC ACF = DCG A
30、CF DCGAF = AC = 2 AF = 2DG = 2BE，DGDCCD FD = 2BE （2）解： 或391025根据 S = 13 ，设 DC=5n，GC=，FD=n，由（1）有，DG = 22n13n2S251从而有1(n5n+5n2n)S =3= 32S15n5n10根据 S = 13 ，设 DC=5n，GC=，FD=n，13n2S251从而有1(n5n+13n13n)S =3= 92S15n5n25故答案为： 或 .3910257. （1）证明：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD90，四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形，DABDAB90，D
31、ADBAB，ADAB，ADAB，ADDBAB（SAS），DDBB；（2）解：解：如图 2 中，结论：ACBM，BPC45；2理由：设 AC 交 BP 于 O， 四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形，MAADAC45，AACMAB，MAMA，MAAMAA45，AMA90，AAAM，2ABC 是等腰直角三角形，AC AB，2=，2AA=ACAMABAACMAB，AACMAB，=，ACAABM，ACAA2=BMAMACBM，2AOBCOP，CPOOAB45，即BPC45；解：如图 3 中，设 AC 交 BP 于 O，在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD60，CABCAB30，AACMAB，MAMA，MAAMAA30，AAAM，3在ABC 中，BABC，CAB30，ACAB，3=，AA=AC3AMABAACMAB，AACMAB，=，ACAABM，ACAA=3BM，BM