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1、单元素养检测(一)(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5位同学报名参加两个课外活动，每位同学限报其中的一个活动，则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种【解析】选D.因为5位同学报名参加两个课外活动，每位同学限报其中的一个活动，都有2种方法，则不同的报名方法共有25=32种.【补偿训练】有3个同学随机选择去听5个双一流大学的自主招生讲座，则这3个同学的选择结果有()A.125种B.243种C.15种D.8种【解析】选A.每一个同学都有5种方法，所以由分步乘法计数原理
2、得这3个同学的选择结果有53=125种.2.展开式的第4项等于7，则x等于()A.-5B.-C.D.5【解析】选B .展开式的通项为Tr+1=x7-r.所以展开式的第4项是T4=-x=-35x.因为展开式的第4项等于7，所以-35x=7，所以x=-.3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A.1 440种B.960种C.720种D.480种【解析】选B.5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有24=960种不同的排法.4.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人
3、一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种【解析】选B.分三步，第一步：选派周五的2人，有种方法，第二步：选派周六、周日的2个人，有种方法，所以不同的选派方法共有=60种.5.四所大学同时向甲、乙、丙、丁四名学生发出录取通知书，若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有()A.288种B.144种C.108种D.72种【解析】选B.先把人分成2，1，1三组，有种方法，再给其安排学校有种安排方法，根据分步乘法计数原理可得就读方式有=144(种).6.从不同号码的五双鞋中
4、任取4只，其中恰好有一双的取法种数为()A.120B.240C.360D.72【解析】选A.先取出一双有种取法，再从剩下的4双鞋中取出2双，而后从每双中各取一只，有种不同的取法，共有=120种不同的取法.【补偿训练】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种【解析】选B.用排除法，因为从正方体的6个面中选取3个面，有种方法，其中3个面两两相邻的选法有8种，所以有2个面不相邻的选法共有-8=12种.7.某次文艺会演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如表所示：序号123456节目如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3
5、号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A.192种B.144种C.96种D.72种【解析】选B.由题意知A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看作一个元素，他们两个元素之间还有一个排列，A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，所以这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以节目单上不同的排序方式有=144种.8.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10，则(a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2的值为()A.0B.-1C.1D.(-1)10【解析】选C.由(+x)10=a0+a1x+a
6、2x2+a10x10可得：当x=1时，(+1)10=a0+a11+a212+a10110=a0+a1+a2+a10，当x=-1时，(-1)10=a0-a1+a2+a10.所以(a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a10)(a0-a1+a2-a3+a10)=(-1)10(+1)10=(-1)(+1)10=1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.已知 aN*，且a3，则m的取值可能是()A.6B.7C.8D.9【解析】选BC.根据题意，对于3，有
7、0m-18且0m8，则有1m8，若3，则有3，变形可得：m27-3m，解可得m，综合可得m8，则m=7或8.11.展开式中系数最大的项是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【解析】选BC.的展开式的通项公式为Tr+1=，其展开式的各项系数依次为1，4，7，7，所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项.12.现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有_种()A.(+)B.-C.D.-【解析】选AB.除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空档，第一类插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，第二类甲、乙、丙三人任两人有种方法，和剩余一人插入6个
8、空档有种方法，这样共有种排法，一共有(+)种排法；在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即-，故B正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的方法(用数字作答).【解析】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，即转化为从9个位置选4个位置放4个白球，从余下的5个位置选2个位置放红球，最后3个位置放黄球，所以共有=1 260.答案：1 260【一题多解】先把9个球排成一列，有种方法，再除掉红球、黄球、白球的顺
9、序，所以共有=1 260.答案：1 26014.(2019浙江高考)在二项式(+x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_.【解析】展开式通项是：Tr+1=()9-rxr，所以常数项是T1=()9=16，若系数为有理数，则9-r为偶数，所以r为奇数，所以r可取1，3，5，7，9.答案：16515.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_种.(用数字作答)【解析】由题意知，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3，5和4，4两类，第一类有(-1)=110种；
10、第二类有=70种，由分类计数原理，可得共有N=110+70=180种不同的方案.答案：18016.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有_个(用数字作答).【解析】可以分情况讨论：若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成2=12个五位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2=4个五位数；若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2(2)=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个.答案：24四、解答题(本大题共6小题，共70分
11、，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况.【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，如图，从上到下的三条支线路，分别记为支线a，b，c，支线a，支线b中至少有一个电阻断路的情况各有22-1=3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，每条支线都至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有337=63种情况.18.(12分)用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除.(2)比21 034大的偶数.(3)左起第二、
12、四位是奇数的偶数. 【解析】(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20，40，04时，其个数为3=18，当末两位数是12，24，32时，其个数为3=12.故满足条件的五位数共有18+12=30(个).(2)可分五类：当末位数是0，而首位数是2时，有=6(个)；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有=12(个)；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有=12(个)；当末位数字是4，而首位数字是2时，有+=3(个)；当末位数字是4，而首位数字是3时，有=6(个).故共有6+12+12+3+6=39(个).(3)可分两类，0是末位数，有=4(个)；2或4是末位数
13、，有=4(个).故共有4+4=8(个).19.(12分)求证：2n+23n+5n-4能被25整除.【证明】因2n+23n+5n-4=46n+5n-4=4(5+1)n+5n-4=4(5n+5n-1+5n-2+52+5+1)+5n-4=4(5n+5n-1+5n-2+52)+25n，显然(5n+5n-1+5n-2+52)能被25整除，25n能被25整除，所以2n+23n+5n-4能被25整除.20.(12分)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第96项是多少？(3)求这个数列的各项和.【解
14、析】(1)先考虑大于43 251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：=24.第二类：以45打头的有：=6.第三类：以435打头的有：=2.故不大于43 251的五位数有：-(+)=88(个).即43 251是第88项.(2)数列共有=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以以4打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45 321.(3)因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位上数字的和为：(1+2+3+4+5)10 000，同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以这个数列各项和为：(1+2+3+4
15、+5)(1+10+100+1000+10 000)=152411 111=3 999 960.21.(12分)若的展开式的二项式系数的和为128.(1)求n的值.(2)求展开式中二项式系数最大的项.【解析】 (1)因为的展开式的二项式系数的和为128，所以2n=128，n=7.(2)由(1)可知，二项式为，故二项式系数最大的项为第四项和第五项，T4=()4=-35，T5=()3=35x-7.22.(12分)若某一等差数列的首项为-，公差为展开式中的常数项，其中m是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.【解析】由已知得：又nN，所以n=2.所以-=-=-=-54=100，所以首项a1=100.7777-15=(76+1)77-15=7677+7676+76+1-15=76M-14，(MN*)，所以7777-15除以19的余数是5，即m=5.的展开式的通项Tr+1=(-1)r()5-2r，(r=0，1，2，3，4，5)，若它为常数项，则r-5=0，所以r=3，代入上式，所以T4=-4=d.从而等差数列的通项公式是：an=104-4n，设其前k项之和最大，则解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25=S26=1 300.